n
l
N
m
mg
建立如图自然坐标
受力分析如图 切向运动方程
F ma ml
mg sin
ml
d2
dt2
d2
dt 2
g sin
l
0
d 2
dt 2
g l
s in
0
令 2 g l 得：
d2
dt2
2
sin
0
sin 3 5
3! 5!
单摆运动的微分方程
非线性微分方程 无解析解
四. 孤立谐振动系统的能量
不计振动传播带来的能量损失 —— 辐射阻尼
不计摩擦产生的热损耗 —— 摩擦阻尼
➢水平放置的弹簧振子
以平衡位置为坐标原点
{ x Acos(t 0)
Εp
1 2
k x2
1 2
k A2
cos2 (t
0 )
v A sin(t 0)
Ek
1 2
mv2
1 2
mA2 2
sin2 (
t
0 )
kx2
1 2
kx02
E
EP
EK
( 1 kx2 2
1 2
mv
2
)
1 2
k
x02
1 kA2 1 kx2
2
20
恒量
恰当选择零势点，可去掉第二项。 如何选？以平衡位置为坐标原点和势能零点
k
x0 EP=0
k
k
O
m
x
mg=kx0
x
Ep
1 2
k(x
x0 )2
mgx
1 2
k x02
1 2
k(x
x0 )2
sin2 t
E - x 曲线
Ek , Ep变化频率为 x 的2倍 Ek , Ep彼此变化步调相反
➢竖直悬挂的弹簧振子
以弹簧原长处为重力势能、弹性势能零点
以平衡位置为坐标原点
k
EP=0 x0
k
m
mg-kx0=0
k
O
x
x
Ep
1 2
k(x
x0 )2
mg(x
x0)
)
1 2
k(x
x0
)2
kx0
(x
x0
)
1 2
k
练 习
质量为 0.1的0k物g 体，以振幅
简谐振动，其最大加速度为
1.0102 m作
4.0,m求：s2
（1）振动的周期； （2）通过平衡位置的动能； （3）总能量； （4）物体在何处其动能和势能相等？
解 （1） amax A 2
T 2π 0.314s
amax 20s1 A
（2）
Ek ,m a x
同学们好！
k
上讲内容
一. 简谐振动的运动方程(平衡位置为坐标原点）
F kx
d2 x dt 2
2
x
0
x Acos(t ) 0
二. 特征量
角频率 k m
振幅 初相
A
x02
v02 2
0
arctg(
v0
x0
)
三. 旋转矢量法 思考：
写出质点 m 以角速率 沿
半径 A 的圆周匀速运动的 参数方程
直观地表达谐振动的各特征量 旋转矢量法优点： 便于解题, 特别是确定初相位
便于振动合成
由 x、v 的符号确定 A所在的象限：
练
教材P.410 13-6 / P.40 12-6
习
已知： A = 24cm, T = 3s, t = 0时 x0 12cm, v0 0,
求：质点运动到 x = -12 cm处所需最短时间。
1 2
k A2
sin2 ( t
0 )
E E E 1 kA2 恒量
p
k2
孤立谐振动系统机械能守恒
x, v
E-t 曲线
xt 0
o
t x Acost
T v t v A sint
能量
o T T T 3T 42 4
E 1 kA2 2
E2 t
t Ek
1 2
m 2 A2
a
d2 x dt 2
2 x T
2
自学 教材 P381 [例6]、[例7] / P.12 [例5]
例：能量法求谐振动的周期
已知： k , R, J ,m
求： T 解：以平衡位置为坐标原点
m
和零势点，向下为正，任意
x
时刻 t 系统的机械能为：
Ek
1 m v2 2
1 2
J 2
1 2
m v2
1 2
1 2
mvm2 ax
1 2
m 2 A2
2.0103 J
（3） E Ek,max 2.0103 J
（4） Ek Ep 时， Ep 1.0103 J
由
Ep
1 2
k x2
1 2
m 2 x2
x2
2Ep
m 2
0.5104 m2
x 0.707cm
摆动（单摆、复摆介绍）
研究摆动的理想模型 —— 单摆和复摆 一、单摆：无伸长的轻线下悬挂质点作无阻尼摆动
解：作t = 0时刻的旋转矢量 A0
作x = -12cm处的旋转矢量
A
A
A0
-12 o 12 24 x(cm)
t m in
1T 6
0.5 s
练 习
两个小球a和b分别沿o-x轴作简谐振动，在 t=0时，两球均在平衡位置，且球a向x轴的正方向 运动，球b向x轴的负方向运动，比较t=4/3s时两球 的振动相位差。（Ta=2Tb=2s）
y
m
A
0
x
o
x A cos(t 0 ) y Asin(t 0 )
x、y 方向分运动均为简谐振动
旋转矢
量 A的
端点在 x
轴上的投 影点的运 动为简谐 运动.
x Acos(t )
旋转矢量 A与简谐振动的对应关系（教材 P.378 表13.1.2/P.8表12.1.1）
旋转矢量
A
模
角速度 t=0时，A与ox夹角
kx0 x
1 2
k x02
1 kx2 2
E
Ek
Ep
1 2
mv2
1 2
k x2
1 2
k A2
比较 水平放置的弹簧振子
回复力 弹簧的弹力
F kx
弹簧的伸长
竖直悬挂的弹簧振子
准弹性力：弹力与重力的合力
F kx
离系统平衡位置的位移
势能 总能
kx2 2 弹性势能
kx2 2 准弹性势能， 重力势能和弹性势能的总和
旋转周期 t时刻，A与ox夹角
r A 在ox 上的投影 r A 端点速度在ox 上的投影 r A 端点加速度在ox 上的投影
简谐振动 符号或表达式
振幅 角频率 初相
A
ωM
0O
A (ωt +0 )
x
振动周期 T=2/
相位
t+ 0
位移
x =Acos(t+ 0)
速度
v =- Asin(t+ 0)
加速度 a =- 2Acos(t+ 0)
J
v 2
R
Ep
1 2
kx 2
Ep滑 轮
1 kx2 2
c
振动系统机械能守恒：
E
Ek
Ep
1 2
m v2
1 2
J
v R
2
1 2
kx2
c
恒量
两边对时间求导：
Jva m va R2 kxv 0
a
d2 x dt 2
kx mJ
R2
2 x
得：
k m J R2 ;
T 2 2 m J R2
1 m v2 1 kx2 1 kA2
2
2
2
统一描述：只要以平衡位置为坐标原点和零势点
E 1 kx2 准弹性势能: p 2 （包括重力势能、弹性势能）
E 1 kA2 2
振动系统 总能量
• 能量法求谐振动的振幅
机械能守恒：
1 m v2 1 kx2 1 kA2
2
2
2
• 能量法求谐振动的周期
两边对时间求导：