第1章 矢量与坐标§1.1 矢量的概念1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点； （3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. [解]：（1）单位球面； （2）单位圆（3）直线； （4）相距为2的两点§1.3 数量乘矢量1.要使下列各式成立，矢量b a ,应满足什么条件？ （1=+ （2+=+ （3-=+ （4+=（5=[解]：（1）b a ,-=+；（2）b a ,+=+（3≥且b a ,-=+ （4）b a ,+=（5）b a ,≥-=-2. 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量AL , BM , CN 可 以构成一个三角形. [证明]： (1AC AB AL 3. 设L 、[证明] 4. [证明]但 OBOD OC OA OB OC OA OD BCAD OBOC BC OA OD AD +=+-=-∴=-=-=由于)(OC OA +∥,AC )(OD OB +∥,BD 而AC 不平行于BD ，∴0=+=+OB OD OC OA ，从而OA=OC ，OB=OD 。

5. 如图1-5，设M 是平行四边形ABCD 的中心，O 是任意一点，证明OA +OB +OC +OD ＝4OM .[证明]：因为OM ＝21(OA +OC ), OM ＝21(OB +OD ), 所以 2OM ＝21(OA +OB +OC +OD ) 所以OA +OB +OC +OD ＝4OM .6.[所以所以显然所以1. [所以从而 OP ＝λ+1.2. 在△ABC 中，设AB ＝1e ，AC ＝2e ，AT 是角A 的平分线（它与BC 交于T 点），试将AT分解为1e ,2e 的线性组合.图1-5由上题结论有||1e e e e e e e e 3. PA +PB [证明]： 4. 其中a [证明]或 (－λ由于1e , 2e , 3e 线性无关，故有⎪⎩⎪⎨⎧=++==-+-.01122,01263,034v v v μλμλμλ＋－ 解得 λ＝－10，μ＝－1，v ＝2.由于 λ＝－10≠0，所以a 能用b ,c 线性表示a ＝－101b ＋51c.5. 如图1-10，OB OA ,, OC 是三个两两不共线的矢量，且OC ＝λOA +μOB ，试证A , B , C 三点共线的充要条件是λ+μ＝1.图1-10图1-8[证明]：“⇒ ”因为 A ，B ，C 共线，从而有AC //CB ,且有m ≠－1, 使AC ＝m CB ,OC －OA ＝m (OB －OC ),(1+m )OC ＝OA ＋m OB ,OC ＝m +11OA ＋mm+1OB . 但已知OC ＝λOA ＋μOB . 由OC 对OA , OB 分解的唯一性可得λ＝m +11, μ＝mm +1从而 λ+μ＝m +11+mm+1＝1.“⇐” 设λ+μ＝1. 则有OC ＝λOA ＋μOB ＝λOA ＋(1－λ)OB=OB +λ(OA －OB ),OC －OB ＝λ(OA －OB ),所以 BC ＝λBA , 从而 BC //BA .故 A ，B ，C 三点共线.§1.5 标架与坐标1. 在空间直角坐标系{O ;k j i,,}下，求P (2,－3,－1)，M (a , b , c )关于 (1) 坐标平面；(2) 坐标轴；(3) 坐标原点的各个对称点的坐标. [解]：M (a , b , c )关于xOy 平面的对称点坐标为(a , b , －c )，M (a , b , c )关于yOz 平面的对称点坐标为(－a , b , c )， M (a , b , c )关于xOz 平面的对称点坐标为(a ,－b , c )， M (a , b , c )关于x 轴平面的对称点坐标为(a ,－b ,－c )， M (a , b , c )关于y 轴的对称点的坐标为(－a , b ,－c )， M (a , b , c )关于z 轴的对称点的坐标为(－a ,－b , c ). 类似考虑P (2,－3，－1)即可. 2. 已知矢量a , b , c 的分量如下：(1) a ＝{0, －1, 2}，b ＝{0, 2, －4}，c ＝{1, 2, －1}； (2) a ＝{1, 2, 3}，b ＝{2, －1, 0}，c ＝{0, 5, 6}.试判别它们是否共面？能否将c 表成a ，b 的线性组合？若能表示，写出表示式.[解]:(1) 因为 121420210---＝0,所以 a , b , c 三矢量共面,又因为a , b 的对应坐标成比例，即a //b ，故不能将c 表成a , b 的线性组合.(2) 因为 65012321-＝0,所以 a , b , c 三矢量共面.又因为 a , b 的对应坐标不成比例，即a ，故可以将c 表成a , b 的线性组合.设 c ＝λa+μb , 亦即{0, 5, 6}＝λ{1, 2, 3}+μ{2, －1, 0} 从而⎪⎩⎪⎨⎧==-=+.63,02,02λμλμλ 解得 λ＝2，μ＝－1,所以 c ＝2a －b.3.证明：四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点，且这点到顶点的距离是它到对面重心距离的三倍. 用四面体的顶点坐标把交点坐标表示出来.[证明]：设四面体A 1A 2A 3A 4,A i 对面重心为G i , 欲证A i G i 交于一点(i ＝1, 2, 3, 4).在A i设A i (所以同理得P 2三倍.1．已知矢量AB 与单位矢量e 的夹角为150，10=，求射影矢量AB e 与射影AB e ，又如果e e ='.[解] ,35150.10),(-==∠COS AB e 射影矢量AB e =- ︒︒=∠-='∠∴-='30),(180),(,AB e AB e e e∴,3530.10),(=='∠COS AB e 射影矢量AB e '=2试证明：射影l (λ+1a λ2a +…+λn n a )＝λ1射影l 1a +2λ射影l 2a+…+λn 射影l n a .[证明]：用数学归纳法来证.当n ＝2时，有射影l (λ1+1a λ22a )＝射影l (11a λ)+射影l (22a λ)＝λ1射影l 1a +λ2射影l 2a . 假设当n ＝k 时等式成立，即有射影l (k k a a λλ++ 11)＝λ1射影l 1a +…+λk 射影l k a . 欲证当n ＝k +1时亦然. 事实上 射影l＝λ11．证明[证明＝＝故 (a 由c从而 2．3=计算：)(1(a [解]：1132460cos 32460cos 3214424)2)(4(;2760cos 32660cos .398.6.92.3)3).(23)(3(;321))()(2()(1(2222222222=+⨯+⨯⨯-⨯-=++--+=-+-=⨯⨯+⨯--=+--=---=-=+=-+︒︒︒︒c b c b c a b a a c b a cb c a b b a c b b a b a b a b a a3. 用矢量法证明以下各题：(1) 三角形的余弦定理 a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ;图1-11(2) 三角形各边的垂直平分线共点且这点到各顶点等距.证明：（1）如图1-21，△ABC 中，设AC ＝b,AB ＝c ,BC ＝a ，且|a|＝a ，|b |＝b ,|c |＝c . 则a ＝b －c ,a 2＝(b －c )2＝b 2+c 2－2b ⋅c ＝b 2+c 2－2|b ||c此即 a 2＝b 2+c 2－2bc cos A.(2) 如图1-22，设AB , BC 边的垂直平分线PD , PE 相交于P ,D, E, F 为AB, BC, CA 的中点, 设PA ＝a , PB ＝b , PC ＝c , 则AB ＝b －a , BC ＝c －b ,CA ＝a －c , PD ＝21(a +b ),PE ＝1(c ＋b ).因为 所以 所以 1.[证明2. [证明]： 由a +b +c ＝0, 有 (a +b +c )⨯c ＝0⨯c ＝0, 但 c ⨯c ＝0，于是 a ⨯c +b ⨯c ＝0,所以 b⨯c ＝c ⨯a .同理 由 (a +b +c )⨯a ＝0, 有 c ⨯a ＝a ⨯b ,从而 a ⨯b ＝b⨯c ＝c ⨯a .其几何意义是以三角形的任二边为邻边构成的平行四边形的面积相等.3. 如果非零矢量i r (i ＝1,2,3)满足321r r r ⨯=，2r ＝3r ⨯1r ，3r ＝1r ⨯2r ，那么1r ,2r ,3r 是彼此垂直的单位矢量，并且按这次序构成右手系.[证明]：由矢性积的定义易知1r ,2r ,3r 彼此垂直，且构成右手系.下证它们均为单位矢量.因为 1r ＝2r ⨯3r ，2r ＝3r ⨯1r ,图1-12所以 |1r |＝|2r ||3r |, |2r |＝|3r ||1r |, 所以 |1r |＝|3r |2|1r |.由于 |1r |≠0，从而 |3r |2＝1，|3r |＝1. 同理可证 |2r |＝1，|1r |＝1. 从而1r ,2r ,3r 都是单位矢量. 4. 用矢量方法证明： （1）三角形的正弦定理A a sin ＝B b sin ＝Ccsin . （2）三角形面积的海伦(Heron)公式，即三斜求积公式：∆2＝p (p －a )(p －b )(p －c ).式中1[证明]： (2) 故有 ∆2＝41[a 2b 2－41(c 2－a 2－b 2)2]＝161[2ab －(c 2－a 2－b 2)][2ab +(c 2－a 2－b 2)] ＝161[(a +b )2－c 2][c2－(a －b )2] ＝161(a +b +c )(a +b －c )(c +a －b )(c －a ＋b ) ＝161⋅2p ⋅(2p －2c )(2p －2b )(2p －2a ). 所以 ∆2=p (p -a )(p -b )(p -c ),或 ∆=))()((c p b p a p p ---.图1-13§1.9 三矢量的混合积1. 设a , b , c 为三个非零矢量，证明(1) (a , b , c +λa +μb ) =(a , b , c ); (2) (a ＋b , b ＋c , c ＋a ) =2(a , b , c ). [证明]：(1)左端=(a ⨯b )⋅(c +λa +μb )=(a ⨯b )⋅c +(a ⨯b )⋅(λa )+(a ⨯b )⋅(μb ) =(a ⨯b )⋅c +λ(a ⨯b )⋅a +μ(a ⨯b )⋅b =(a b c )+λ(a b a )+μ(a b b ) =(a b c )=右端.(2) 左端=[(b +c )⨯(c +a )]⋅(a +b )b c b a c a a b 2． [证明]:3．u =a [证明]： ∴(v u ,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++322113221132211b a c a c a c b c b c b a b a (1e ⨯2e )⋅3e =333222111c b a c b a c b a (1e ,2e ,3e ).。