3. （本小题共13分）已知椭圆22221(0)1y xa ba+=>>的离心率为22，斜率为(0)k k≠的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点(0,)M m．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求的取值范围；（Ⅲ）试用表示△MPQ的面积，并求面积的最大值．4．（本小题共14分）已知椭圆2222:1x yCa b+=(0)a b>>经过点3(1,),2M其离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C的方程；(Ⅱ)设直线1:(||)2l y kx m k=+≤与椭圆C相交于A、B两点，以线段,OA OB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点.求OP的取值范围.（Ⅰ）求椭圆C的方程；⋅的取值范围；BM BN（Ⅲ）设直线AM和直线解析几何大题参考答案： 1．（共13分）（Ⅰ）解：由已知，动点P 到定点1(0,)4F 的距离与动点P 到直线14y =-的距离相等． 由抛物线定义可知，动点P 的轨迹为以1(0,)4为焦点，直线14y =-为准线的抛物线． 所以曲线C 的方程为2y x =． ………………3分（Ⅱ）证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ．由2,1,y x y kx ⎧=⎨=+⎩得210x kx --=． 所以12x x k +=，121x x =-． 设00(,)M x y ，则02k x =． 因为MN x ⊥轴， 所以N 点的横坐标为2k ． 由2y x =，可得'2y x = 所以当2kx =时，'y k =． 所以曲线C 在点N 处的切线斜率为k ，与直线AB 平行．………………8分 （Ⅲ）解：由已知，0k ≠． 设直线l 的垂线为'l ：1y x b k=-+． 代入2y x =，可得210x x b k+-= （*） 若存在两点3344(,),(,)D x y E x y 关于直线l 对称，则34122x x k +=-，342122y y b k +=+又3434(,)22x x y y ++在l 上， 所以211()122b k k k +=-+， 21122b k =-． 由方程（*）有两个不等实根所以21()40b k∆=+>，即221220k k+-> 所以212k <，解得2k <-或2k >． ………………13分 2.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为椭圆M 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为246+，所以24622+=+c a ， ……………1分又椭圆的离心率为3，即3c a =，所以3c =， ………………2分 所以3a =，c = ………………4分所以1b =，椭圆M 的方程为1922=+y x . ………………5分 （Ⅱ）方法一：不妨设BC 的方程(3),(0)y n x n =->，则AC 的方程为)3(1--=x ny . 由22(3),19y n x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得0196)91(2222=-+-+n x n x n ， ………………6分 设),(11y x A ，),(22y x B ，因为222819391n x n -=+，所以19327222+-=n n x ， ………………7分 同理可得2219327n n x +-=， ………………8分所以1961||22++=n n BC ，222961||n n n n AC ++=， ………………10分964)1()1(2||||212+++==∆n n n n AC BC S ABC ， ………………12分设21≥+=n n t ，则22236464899t S t t t ==≤++， ………………13分当且仅当38=t 时取等号，所以ABC ∆面积的最大值为83. ………………14分 方法二：不妨设直线AB 的方程x ky m =+.由22,1,9x ky m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去x 得222(9)290k y kmy m +++-=， ………………6分 设),(11y x A ，),(22y x B ，则有12229kmy y k +=-+，212299m y y k -=+. ① ………………7分因为以AB 为直径的圆过点C ，所以 0CA CB ⋅=. 由 1122(3,),(3,)CA x y CB x y =-=-，得 1212(3)(3)0x x y y --+=. ………………8分 将1122,x ky m x ky m =+=+代入上式，得 221212(1)(3)()(3)0k y y k m y y m ++-++-=.将 ① 代入上式，解得 125m =或3m =（舍）. ………………10分 所以125m =（此时直线AB 经过定点12(,0)5D ，与椭圆有两个交点），所以121||||2ABC S DC y y ∆=-12==……………12分 设211,099t t k =<≤+，则ABC S ∆= 所以当251(0,]2889t =∈时，ABC S ∆取得最大值83. ……………14分3.（共13分）解：（Ⅰ）依题意可得，22=a c ，c b =， 又222c b a +=，可得1,b a ==所以椭圆方程为2212y x +=． （Ⅱ）设直线l 的方程为1y kx =+，由221,1,2y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得22(2)210k x kx ++-=．设1122(,),(,)P x y Q x y ， 则12222k x x k -+=+，12212x x k =-+． 可得121224()22y y k x x k +=++=+． 设线段PQ 中点为N ，则点N 的坐标为222(,)22k k k -++， 由题意有1-=⋅k k MN ，可得222212m k k k k -+⋅=-+． 可得212m k =+， 又0k ≠， 所以102m <<． （Ⅲ）设椭圆上焦点为F ，则1212MPQ S FM x x ∆=⋅⋅-.12x x -== 由212m k =+，可得212k m+=．所以12x x -==又1FM m =-，所以MPQ S ∆=所以△MPQ 的面积为3)1(2m m -（210<<m ）． 设3)1()(m m m f -=， 则)41()1()('2m m m f --=．可知)(m f 在区间)41,0(单调递增，在区间)21,41(单调递减． 所以，当41=m 时，)(m f 有最大值6427)41(=f ． 所以，当41=m 时，△MPQ 的面积有最大值863．4. （本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由已知(,0)2pF ,设11(,)A x y ，则2112y px =， 圆心坐标为112(,)42x p y +，圆心到y 轴的距离为124x p+， …………………2分 圆的半径为1121()2224FA x p px +=⨯--=， …………………4分 所以，以线段FA 为直径的圆与y 轴相切. …………………5分 （Ⅱ）解法一：设022(0,),(,)P y B x y ，由1FA AP λ=,2BF FA λ=,得111101(,)(,)2p x y x y y λ-=--，22211(,)(,)22p px y x y λ--=-， …………………6分 所以1111101,()2px x y y y λλ-=-=-，221221(),22p px x y y λλ-=-=-， …………………8分 由221y y λ=-，得222221y y λ=. 又2112y px =，2222y px =，所以 2221x x λ=. …………………10分代入221()22p p x x λ-=-，得22121()22p p x x λλ-=-，2122(1)(1)2px λλλ+=+， 整理得122p x λ=， …………………12分代入1112px x λ-=-，得122222p p p λλλ-=-， 所以12211λλλ=-， …………………13分 因为1211[,]42λλ∈，所以2λ的取值范围是4[,2]3. …………………14分 解法二：设),(),,(2211y x B y x A ，:2pAB x my =+， 将2p x my =+代入22y px =，得2220y pmy p --=， 所以212y y p =-（*）， …………………6分由1FA AP λ=，2BF FA λ=，得111101(,)(,)2p x y x y y λ-=--，22211(,)(,)22p px y x y λ--=-， …………………7分 所以，1111101,()2px x y y y λλ-=-=-，221221(),22p px x y y λλ-=-=-， …………………8分 将122y y λ-=代入（*）式，得2212p y λ=， …………………10分所以2122p px λ=，122p x λ=. …………………12分代入1112px x λ-=-，得12211λλλ=-. …………………13分因为1211[,]42λλ∈，所以2λ的取值范围是4[,2]3. …………………14分6.解：（Ⅰ）由已知可得222214a b e a -==，所以2234a b = ① ……………1分 又点3(1,)2M 在椭圆C 上，所以221914a b+= ② ……………2分 由①②解之，得224,3a b ==.故椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………5分 (Ⅱ) 由22,1.43y kx m x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y 化简整理得：222(34)84120k x kmx m +++-=，222222644(34)(412)48(34)0k m k m k m ∆=-+-=+-> ③ ……………8分 设,,A B P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、，则 012012122286,()23434km mx x x y y y k x x m k k=+=-=+=++=++. ……………9分 由于点P 在椭圆C 上，所以 2200143x y +=. ……………10分 从而222222216121(34)(34)k m m k k +=++，化简得22434m k =+，经检验满足③式. ………11分又||OP ===== ………………………12分因为12k ≤，得23434k <+≤，有2331443k ≤<+，2OP ≤≤. 即所求OP的取值范围是2. ………………………14分 (Ⅱ)另解：设,,A B P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、， 由,A B 在椭圆上，可得2211222234123412x y x y ⎧+=⎨+=⎩①②………………………6分 ①—②整理得121212123()()4()()0x x x x y y y y -++-+=③ ………………………7分由已知可得OP OA OB =+，所以120120x x x y y y +=⎧⎨+=⎩④⑤……………………8分由已知当1212y y k x x -=- ,即1212()y y k x x -=- ⑥ ………………………9分把④⑤⑥代入③整理得0034x ky =- ………………………10分与22003412x y +=联立消0x 整理得202943y k =+ ……………………11分 由22003412x y +=得2200443x y =-， 所以222222000002413||4443343OP x y y y y k =+=-+=-=-+ ……………………12分 因为12k ≤，得23434k ≤+≤，有2331443k ≤≤+，OP ≤≤………………………13分 所求OP的取值范围是. ………………………14分 5.（本小题共14分）解：（Ⅰ）由椭圆的定义可知，动点P 的轨迹是以A ，B为焦点，长轴长为∴1c =，a =22b =． ∴W 的方程是22132x y +=． ………………4分（Ⅱ）设C ，D 两点坐标分别为11(,)C x y 、22(,)D x y ，C ，D 中点为00(,)N x y ．当0k =时，显然0m =； 当0k ≠时，由221132y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得 22(32)630k x kx ++-=．所以122632k x x k +=-+， ∴12023232x x k x k +==-+， 从而0022132y kx k =+=+． ∴MN 斜率2002232332MN y k k k x m m k +==---+． 又∵CM DM =， ∴CD MN ⊥，∴222132332k k k mk +=---+ 即 212323k m k k k =-=-++6[(0,]12∈．故所求m的取范围是[． ……………… 6.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得22222411,,a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩解得a =b =故椭圆C 的方程为22163x y +=． ……………………………………4分 （Ⅱ）由题意显然直线l 的斜率存在，设直线l 方程为(3)y k x =-，由22(3),1,63y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)121860k x k x k +-+-=. …………………5分因为直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，所以42221444(12)(186)24(1)0k k k k ∆=-+-=->，解得11k -<<. ……6分 设M ，N 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则21221212k x x k +=+，212218612k x x k-=+，11(3)y k x =-，22(3)y k x =-．… 7分 所以1212(3)(3)BM BN x x y y ⋅=--+ ……………………………………8分21212(1)[3()9]k x x x x =+-++223312k k+=+ 23322(12)k =++． ……………………………………9分 因为11k -<<，所以2332322(12)k <++≤．故BM BN ⋅的取值范围为(2, 3]． ……………………………………10分 （Ⅲ）由（Ⅱ）得AM AN k k +12121122y y x x --=+-- ……………………………………11分 122112(31)(2)(31)(2)(2)(2)kx k x kx k x x x ---+---=--121212122(51)()1242()4kx x k x x k x x x x -++++=-++2222222(186)(51)12(124)(12)186244(12)k k k k k k k k k --+⋅+++=--++2244222k k -+==--． 所以AM AN k k +为定值2-． ……………………………………14分7.石景山一模8. 顺义2 解（1）因为23=a c ，且3=c ，所以1,222=-==c a b a 所以椭圆C 的方程为1422=+y x …………………………………………….3分 (2 ) 易知椭圆C 的左，右顶点坐标为)0,2(),0,2(B A -,直线AS 的斜率k 显然存在，且0>k 故可设直线AS 的方程为)2(+=x k y ，从而)34,310(k M --由⎩⎨⎧14)2(22=++=y x x k y 得041616)41(2222=-+++k x k x k 设),(11y x S ，则22141416)2(k k x +-=-，得2214182k k x +-= 从而21414kky +=，即)414,4182(222k k k k S ++- 又)0,2(B ,故直线BS 的方程为)2(41--=x ky 由⎪⎩⎪⎨⎧-=--=310)2(41x x k y 得⎪⎩⎪⎨⎧==-=k y x 34310，所以)34,310(k N - 故kk MN 3434+=又0>k ，所以38343423434=⋅≥+=k k k k MN 当且仅当kk 3434=时，即1=k 时等号成立 所以1=k 时，线段MN 的长度取最小值38………………………………..9分（3）由（2）知，当线段MN 的长度取最小值时，1=k此时AS 的方程为02=+-y x ，)54,56(-S ,所以524=AS ,要使TSA ∆的面积为51，只需点T 到直线AS 的距离等于42， 所以点T 在平行于AS 且与AS 距离等于42的直线'l 上 设0:'=+-t y x l ，则由4222=-t ，解得2523==t t 或① 当23=t 时，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+0231422y x y x 得051252=++x x由于044>=∆，故直线'l 与椭圆C 有两个不同交点②25=t 时，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+0251422y x y x 得0212052=++x x由于020<-=∆，故直线'l 与椭圆C 没有交点综上所求点T 的个数是2. ……………………………………………..14分9.解：（Ⅰ） a c e ==22， 12122=+ab ，222c b a += ∴2=a ，2=b ，2=c∴14222=+y x --------------------------------------------------------------------------------------5分（Ⅱ）设直线BD 的方程为b x y +=2∴⎩⎨⎧=++=42222y x b x y 0422422=-++⇒b bx x ∴06482>+-=∆b 2222<<-⇒b,2221b x x -=+ ----① 44221-=b x x -----② 222128264864343)2(1b b x x BD -=-=∆=-+= ，设d 为点A 到直线BD ：b x y +=2的距离， ∴3b d =∴2)8(422122≤-==∆b b d BD S ABD ，当且仅当2±=b 时取等号. 因为2±)22,22(-∈，所以当2±=b 时，ABD ∆的面积最大，最大值为2--------10分（Ⅲ）设),(11y x D ，),(22y x B ，直线AB 、AD 的斜率分别为：AB k 、AD k ，则=+AB AD k k 122122121222112211--++--+=--+--x b x x b x x y x y =]1)(2[22212121++--++x x x x x x b ------* 将（Ⅱ）中①、②式代入*式整理得]1)(2[22212121++--++x x x x x x b =0，即=+AB AD k k 0----------------------------------------------------------------------------------------------14分 10．（Ⅰ）设椭圆方程为22221,(0)x y a b a b+=>> ， …………… 1分∵ 抛物线24y x =的焦点坐标为(0,1) ∴1b = ……………… 2分由已知得2c a =， ∴ 222212a c a c⎧-=⎪⎨=⎪⎩ ，………………………… 3分解得1a c == …………………………………… 4分∴ 椭圆方程为2212x y += …………………………………… 5分 （Ⅱ）设1122(,),(,),M x y B x y (1,0),(0,1),F B ，∴ 1BF k =-∵F 是垂心，∴ 1MN K =∴ 设MN 的方程为y x t =+， ……………………………… 7分 代入椭圆方程后整理得：2234220x tx t ++-= ……………………8分∴ 21212422,33t t x x x x -+=-= ……………………………… 9分 将x y t =-代入椭圆方程后整理得：223220y ty t -+-=∴ 2121222,33t t y y y y -+==…………………………………… 10分 ∵ F 是垂心，∴ MF BN ⊥， 1122(1,),(,1)MF x y BN x y =--=- ∴ 1212(1)(1)0x x y y ---=， ………………………………… 11分 整理得：1212120x x x x y y t +--+=∴ 2242220333t t t t -----+=∴ 2340t t +-= ………… 12分 ∴ 43t =-或1t =（舍） ∴存在直线 l ，其方程为43y x =-使题设成立。