2019-2020学年广东省广州市中山大学附中八年级（下）期中数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）二次根式中，x的取值范围是（）A．x≤3B．x＝3C．x≠3D．x＜32．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A．B．C．2D．3．（3分）下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（）A．1，2，2B．1，1，C．4，5，6D．1，，2 4．（3分）下列命题的逆命题是假命题的是（）A．两直线平行，同位角相等B．全等三角形的对应角相等C．等边三角形三个角相等D．直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和5．（3分）某学校组织学生进行速算知识竞赛，进入决赛的共有10名学生，他们的决赛成绩如表所示：决赛成绩/分95908580人数2341那么10名学生决赛成绩的众数和中位数分别是（）A．85，90B．85，87.5C．90，85D．95，906．（3分）已知y＝，则的值为（）A．B．﹣C．D．﹣7．（3分）一次函数y＝﹣mx+n的图象经过第二、三、四象限，则化简所得的结果是（）A．m B．﹣m C．2m﹣n D．m﹣2n8．（3分）王老师在讲“实数”时画了一个图（如图），即“以数轴的单位长度的线段为边作一个正方形，然后以表示﹣1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴于点A”．则数轴上点A所表示的数是（）A．﹣1B．﹣+1C．D．﹣9．（3分）如图，将一个边长分别为4、8的矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合（AB ＝4，BC＝8），则折痕EF的长度为（）A．B．2C．D．210．（3分）在一条笔直的公路上有A，B两地，甲骑自行车从A地到B地；乙骑自行车从B 地到A地，到达A地后立即按原路返回B地．如图是甲、乙两人离B地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象．下列说法中正确的个数为（）①A，B两地距离是30千米；②甲的速度为15千米/时；③点M的坐标为（，20）；④当甲、乙两人相距10千米时，他们的行驶时间是小时或小时．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（每题3分，共18分）11．（3分）把函数y＝2x的图象沿着y轴向下平移3个单位，得到的直线的解析式为．12．（3分）已知a，b，c为三角形的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，那么它的形状是．13．（3分）若的整数部分为x，小数部分为y，则（x+）y的值是．14．（3分）已知直角三角形的两边a，b满足a2+＝10a﹣25，则第三边长为．15．（3分）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠ABC＝135°，CD＝6，AB＝2，则四边形ABCD的面积为．16．（3分）如图，直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2．则下列结论：①m＜0，n＞0；②直线y＝nx+4n一定经过点（﹣4，0）；③m与n满足m＝2n﹣2；④当x＞﹣2时，nx+4n＞﹣x+m，其中正确结论的个数是个．三、解答题（共8题，72分）17．（8分）计算（1）3+﹣4；（2）9÷×（﹣）．18．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝+，b＝﹣．19．（8分）如图，在7×7网格中，每个小正方形边长都为1．建立适当的平面直角坐标系，使点A（3，4）、C（4，2）．（1）判断△ABC的形状，并求图中格点△ABC的面积；（2）在x轴上有一点P，使得P A+PC最小，则P A+PC的最小值为．20．（8分）小青在本学期的数学成绩如下表所示（成绩均取整数）：测验平时期中期末类别测验1测验2测验3课题考试考试练习成绩8870968685X （1）计算小青本学期的平时平均成绩；（2）如果学期的总评成绩是根据图所示的权重计算，那么本学期小青的期末考试成绩x 至少为多少分才能保证达到总评成绩90分的最低目标？21．（8分）如图，折叠长方形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与BD重合，得折痕DG，若AB＝4，BC＝3，求AG的长．22．（10分）已知O为坐标原点，过点A（1，2）的直线y＝kx+b与x轴交于点B，且S△ABO ＝4，求k的值．23．（10分）某工厂新开发生产一种机器，每台机器成本y（万元）与生产数量x（台）之间满足一次函数关系（其中10≤x≤70，且为整数），函数y与自变量x的部分对应值如表：x（单位：台）102030y（单位：万元/台）605550（1）求y与x之间的函数关系式；（2）市场调查发现，这种机器每月销售量z（台）与售价a（万元/台）之间满足如图所示的函数关系．则当该厂第一个月生产的这种机器40台都按同一售价全部售出，请求出该厂第一个月销售这种机器的总利润．（注：利润＝售价﹣成本）24．（12分）如图1，直线AB：y＝﹣x﹣b分别与x、y轴交于A（6，0）、B两点，过点B 的直线交x轴负半轴于点C，且OB：OC＝3：1．（1）求直线BC的解析式；（2）如图2，P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰直角△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K，当P点运动时，K点的位置是否发现变化？若不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由．2019-2020学年广东省广州市中山大学附中八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）二次根式中，x的取值范围是（）A．x≤3B．x＝3C．x≠3D．x＜3【解答】解：根据题意，得3﹣x≥0，解得x≤3．故选：A．2．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A．B．C．2D．【解答】解：A、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式；B、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式；C，2，是最简二次根式；D、＝|x|，含能开得尽方的因式，不是最简二次根式；故选：C．3．（3分）下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（）A．1，2，2B．1，1，C．4，5，6D．1，，2【解答】解：A、∵12+22＝5≠22，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项错误；B、∵12+12＝2≠（）2，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项错误；C、∵42+52＝41≠62，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项错误；D、∵12+（）2＝4＝22，∴此组数据能作为直角三角形的三边长，故本选项正确．故选：D．4．（3分）下列命题的逆命题是假命题的是（）A．两直线平行，同位角相等B．全等三角形的对应角相等C．等边三角形三个角相等D．直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和【解答】解：A、两直线平行，同位角相等的逆命题为同位角相等，两直线平行，此逆命题为真命题；B、全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的两三角形全等，此逆命题为假命题；C、等边三角形三个角相等的逆命题为三个角相等的三角形为等边三角形，此逆命题为真命题；D、直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和的逆命题为如果一个三角形的一边的平方等于另外两边的平方和，那么这个三角形为直角三角形，此逆命题为真命题．故选：B．5．（3分）某学校组织学生进行速算知识竞赛，进入决赛的共有10名学生，他们的决赛成绩如表所示：决赛成绩/分95908580人数2341那么10名学生决赛成绩的众数和中位数分别是（）A．85，90B．85，87.5C．90，85D．95，90【解答】解：85分的有4人，人数最多，故众数为85分；10个数据从大到小依次排列，处于中间位置的数为第5、6两个数，分别为90分，85分，所以中位数为87.5分．故选：B．6．（3分）已知y＝，则的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：由题意得，4﹣x≥0，x﹣4≥0，解得x＝4，则y＝3，则＝，故选：C．7．（3分）一次函数y＝﹣mx+n的图象经过第二、三、四象限，则化简所得的结果是（）A．m B．﹣m C．2m﹣n D．m﹣2n【解答】解：∵一次函数y＝﹣mx+n的图象经过第二、三、四象限，∴﹣m＜0，n＜0，即m＞0，n＜0，∴＝|m﹣n|+|n|＝m﹣n﹣n＝m﹣2n．故选：D．8．（3分）王老师在讲“实数”时画了一个图（如图），即“以数轴的单位长度的线段为边作一个正方形，然后以表示﹣1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴于点A”．则数轴上点A所表示的数是（）A．﹣1B．﹣+1C．D．﹣【解答】解：由勾股定理得，正方形的对角线的长＝＝，∴数轴上点A所表示的数﹣1，故选：A．9．（3分）如图，将一个边长分别为4、8的矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合（AB ＝4，BC＝8），则折痕EF的长度为（）A．B．2C．D．2【解答】解：过点F作FM⊥BC于GM，∵EF是直角梯形AECD的折痕∴AE＝CE，∠AEF＝∠CEF．又∵AD∥BC，∴∠AFE＝∠FEM，根据翻折不变性，∠AEF＝∠FEM，∴∠AFE＝∠AEF，∴AE＝AF．在Rt△ABE中，设BE＝x，AB＝4，AE＝CE＝8﹣x．x2+42＝（8﹣x）2解得x＝3．在Rt△FEM中，EM＝BM﹣BE＝AF﹣BE＝AE﹣BE＝5﹣3＝2，FM＝4，∴EF＝＝2．故选：D．10．（3分）在一条笔直的公路上有A，B两地，甲骑自行车从A地到B地；乙骑自行车从B 地到A地，到达A地后立即按原路返回B地．如图是甲、乙两人离B地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象．下列说法中正确的个数为（）①A，B两地距离是30千米；②甲的速度为15千米/时；③点M的坐标为（，20）；④当甲、乙两人相距10千米时，他们的行驶时间是小时或小时．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：根据题意可以列出甲、乙两人离B地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系得y甲＝﹣15x+30y乙＝由此可知，①②正确．当﹣15x+30＝30x时，解得x＝则M坐标为（，20），故③正确．当两人相遇前相距10km时，30x+15x＝30﹣10x＝，当两人相遇后，相距10km时，30x+15x＝30+10，解得x＝15x﹣（30x﹣30）＝10解得x＝∴④错误．故选：C．二、填空题（每题3分，共18分）11．（3分）把函数y＝2x的图象沿着y轴向下平移3个单位，得到的直线的解析式为y＝2x﹣3．【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将直线y＝2x沿着y轴向下平移3个单位得到直线解析式为：y＝2x﹣3．故答案为：y＝2x﹣3．12．（3分）已知a，b，c为三角形的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，那么它的形状是等腰三角形或直角三角形．【解答】解：∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，∴c2（a2﹣b2）＝（a2+b2）（a2﹣b2），∴a2﹣b2＝0或c2＝a2+b2，当a2﹣b2＝0时，a＝b；当c2＝a2+b2时，∠C＝90°，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．故答案为：等腰三角形或直角三角形．13．（3分）若的整数部分为x，小数部分为y，则（x+）y的值是4．【解答】解：∵9＜13＜16，∴3＜＜4，∴的整数部分为x＝3，小数部分为y＝﹣3，∴（x+）y＝（3）（﹣3）＝4．故答案为：4．14．（3分）已知直角三角形的两边a，b满足a2+＝10a﹣25，则第三边长为4或．【解答】解：由a2+＝10a﹣25，得（a﹣5）2+＝0．所以a＝5，b＝3．①当a＝5是斜边时，第三边的长度为：＝4．②当a＝5是直角边时，第三边的长度为：＝．综上所述，第三边的长度为4或．故答案是：4或．15．（3分）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠ABC＝135°，CD＝6，AB＝2，则四边形ABCD的面积为16．【解答】解：延长AB和DC，两线交于O，∵∠C＝90°，∠ABC＝135°，∴∠OBC＝45°，∠BCO＝90°，∴∠O＝45°，∵∠A＝90°，则OB＝BC，OD＝OA，OA＝AD，BC＝OC，设BC＝OC＝x，则BO＝x，∵CD＝6，AB＝2，∴6+x＝（x+2），解得：x＝6﹣2，∴OB＝x＝6﹣4，BC＝OC＝6﹣2，OA＝AD＝2+6﹣4＝6﹣2，∴四边形ABCD的面积S＝S△OAD﹣S△OBC＝×OA×AD﹣＝×（6﹣2）×﹣＝16，故答案为：16．16．（3分）如图，直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2．则下列结论：①m＜0，n＞0；②直线y＝nx+4n一定经过点（﹣4，0）；③m与n满足m＝2n﹣2；④当x＞﹣2时，nx+4n＞﹣x+m，其中正确结论的个数是4个．【解答】解：①∵直线y＝﹣x+m与y轴交于负半轴，∴m＜0；∵y＝nx+4n（n≠0）的图象从左往右逐渐上升，∴n＞0，故结论①正确；②将x＝﹣4代入y＝nx+4n，得y＝﹣4n+4n＝0，∴直线y＝nx+4n一定经过点（﹣4，0）．故结论②正确；③∵直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，∴当x＝﹣2时，y＝2+m＝﹣2n+4n，故结论③正确；④∵当x＞﹣2时，直线y＝nx+4n在直线y＝﹣x+m的上方，∴当x＞﹣2时，nx+4n＞﹣x+m，故结论④正确．故正确结论的个数是4个，故答案为4．三、解答题（共8题，72分）17．（8分）计算（1）3+﹣4；（2）9÷×（﹣）．【解答】解：（1）原式＝9+﹣2＝8；（2）原式＝9××（﹣）×＝﹣．18．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝+，b＝﹣．【解答】解：（﹣）÷＝＝＝＝，当a＝+，b＝﹣时，原式＝＝＝．19．（8分）如图，在7×7网格中，每个小正方形边长都为1．建立适当的平面直角坐标系，使点A（3，4）、C（4，2）．（1）判断△ABC的形状，并求图中格点△ABC的面积；（2）在x轴上有一点P，使得P A+PC最小，则P A+PC 的最小值为．【解答】解：（1）△ABC是直角三角形，理由：∵AC2+BC2＝25，AB2＝25，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC 是直角三角形；△ABC的面积＝××＝5；（2）如图所示，作点C关于x轴的对称点C'，连接AC'交x轴于P，连接CP，则CP＝C'P，∴P A+PC 的最小值为AC '的长，∵AC'＝＝，∴P A+PC的最小值为，故答案为：．20．（8分）小青在本学期的数学成绩如下表所示（成绩均取整数）：测验类别平时期中考试期末考试测验1测验2测验3课题练习成绩8870968685X （1）计算小青本学期的平时平均成绩；（2）如果学期的总评成绩是根据图所示的权重计算，那么本学期小青的期末考试成绩x至少为多少分才能保证达到总评成绩90分的最低目标？【解答】解：（1）小青该学期的平时平均成绩为：（88+70+96+86）÷4＝85；（2）按照如图所示的权重，小青该学期的总评成绩为：85×10%+85×30%+60%x，依题意得：85×10%+85×30%+60%x＝90解得：x＝93.33．答：小青期末考试成绩至少需要94分．21．（8分）如图，折叠长方形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与BD重合，得折痕DG，若AB＝4，BC＝3，求AG的长．【解答】解：过点G作GE⊥BD于E，根据题意可得：∠GDA＝∠GDB，AD＝ED，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD＝BC＝3，∴AG＝EG，ED＝3，∵AB＝4，BC＝3，∠A＝90°，∴BD＝5，设AG＝x，则GE＝x，BE＝BD﹣DE＝5﹣3＝2，BG＝AB﹣AG＝4﹣x，在Rt△BEG中，EG2+BE2＝BG2，即：x2+4＝（4﹣x）2，解得：x＝，故AG＝．22．（10分）已知O为坐标原点，过点A（1，2）的直线y＝kx+b与x轴交于点B，且S△ABO ＝4，求k的值．【解答】解：∵S△ABO＝4，∴OB•y A＝4，即×2OB＝4，∴OB＝4，∴点B的坐标为（4，0）或（﹣4，0）．当点B的坐标为（4，0）时，将A（1，2），B（4，0）代入y＝kx+b，得：，解得：；当点B的坐标为（﹣4，0）时，将A（1，2），B（﹣4，0）代入y＝kx+b，得：，解得：．∴k的值为﹣或．23．（10分）某工厂新开发生产一种机器，每台机器成本y（万元）与生产数量x（台）之间满足一次函数关系（其中10≤x≤70，且为整数），函数y与自变量x的部分对应值如表：x（单位：台）102030y（单位：万元/台）605550（1）求y与x之间的函数关系式；（2）市场调查发现，这种机器每月销售量z（台）与售价a（万元/台）之间满足如图所示的函数关系．则当该厂第一个月生产的这种机器40台都按同一售价全部售出，请求出该厂第一个月销售这种机器的总利润．（注：利润＝售价﹣成本）【解答】解：（1）设每台机器成本y（万元）与生产数量x（台）之间函数关系为y＝kx+b，，解得，，即y与x之间的函数关系式为y＝﹣0.5x+65；（2）当x＝40时，y＝﹣0.5×40+65＝45，设z与a之间的函数关系式为z＝ma+n，，解得，，即z与a之间的函数关系式为z＝﹣a+90，当z＝40时，40＝﹣a+90，解得，a＝50，（50﹣45）×40＝5×40＝200（万元），答：该厂第一个月销售这种机器的总利润是200万元．24．（12分）如图1，直线AB：y＝﹣x﹣b分别与x、y轴交于A（6，0）、B两点，过点B 的直线交x轴负半轴于点C，且OB：OC＝3：1．（1）求直线BC的解析式；（2）如图2，P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰直角△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K，当P点运动时，K点的位置是否发现变化？若不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由．【解答】解：（1）直线AB：y＝﹣x﹣b分别与x，y轴交于A（6，0）、B两点，∴0＝﹣6﹣b，∴b＝﹣6，∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+6，∴B（0，6），∴OB＝6，∵OB：OC＝3：1，∴OC＝OB＝2，∴C（﹣2，0），设BC的解析式是y＝ax+c，∴，∴，∴直线BC的解析式是：y＝3x+6；（2）K点的位置不发生变化，K（0，﹣6）．理由如下：如图2，过Q作QH⊥x轴于H，∵△BPQ是等腰直角三角形，∴∠BPQ＝90°，PB＝PQ，∵∠BOA＝∠QHA＝90°，∴∠BPO＝∠PQH，在△BOP与△PHQ中，，∴△BOP≌△PHQ（AAS），∴PH＝BO，OP＝QH，∴PH+PO＝BO+QH，即OA+AH＝BO+QH，又∵OA＝OB，∴AH＝QH，∴△AHQ是等腰直角三角形，∴∠QAH＝45°，∴∠OAK＝45°，∴△AOK为等腰直角三角形，∴OK＝OA＝6，∴K（0，﹣6）．。