2
O
(3)是线段AB的中点公式
二、共面向量
(1).已知平面α与向量 a,如果 向量a 所在的直线OA平行于
a
O
A
平面α或向量 a在平面α内,那 么我们就说向量 平a 行于平面
a
α,记作 //aα.
α
(2)共面向量:平行于同一平面的向量 思考: 空间任意两个向量是否一定共面? B 空间任意三个向量哪?
C
OG
1
a b
1
c
2
2
A
B
3 如图，在平行六面体 ABCD ABCD中，E, F,G 分 新疆 王新敞 奎屯
别是 AD, DD, DC 的中点，请选择恰当的基底向量 证明：
（1） EG // AC
（2）平面 EFG // 平面ABC 新疆 王新敞 奎屯
D'
E
A'
F
G
C'
B'
D
C
A
B
； https:///u/5028959491
OP = OM + xMA + yMB.
三、平面向量的基本定理
如 于果这一e1，平e面2是内平的面任内一两向个量不共a 线，向有量且，只那有么一对对
实数t1，t2使
a1 t1e1 t2 e2
e2
M
a
O N
C 对向量a进行分
解：
e1 OC OM ON
t1e1 t2 e2
新课 空间向量的基本定理：
O
注：空间任意三个不
P
共面向量都可以构成
C
空间的一个基底 A
如： a, b, c
PB P
思考
1.已知向量{a , b , c} 是空间的一个基底，从 a , b , c中选哪一个向量，一定可以与向量 p a b ，p a b 构成空间的另一个基底？
2.如果向量 a , b与任何向量都不能构成 空间的一个基底，那么a , b 之间应有什 么关系？
空间向量基本定理
复习
一、共线向量:
1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些
向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个 向量 a, b(b o), a // b 的充要条件是存在实 数使 a b
3.推论：如果l为经过已知点A且平行于已知
jbh68lcf
这样，想找个有骨节有肩膊的都不能。”“或者也有，只轮不着我们罢了。”“你我倒也算了，老板——”“嘘！”很怕蝶宵华听见了伤心，偷 眼看他，他端坐鞍上，双目微阖，竟似僧人入定了。苏家，全凭苏小横在，才安定下来。明柯逃跑了，谁知嘉颜是帮着明柯弄亏空贪官中银子的， 也跟了明柯逃跑，临走还卷了一票。明远据说进京去，太守家似有悔婚之意。桩桩件件，每件都要压垮老太太。苏小横只道：“有我在！你们不 必问端底，等着就好。”众人也终于静了。回道观里，裳儿拿红纸剪着玩，有一搭没一搭的，又似剪窗花，又似只糟塌纸张，见苏小横回来，嘻 嘻笑道：“爷爷也计算差了。”苏小横道：“哦？”“盗坠索银的人，爷爷先把目标锁定在大哥、五哥身上，尤以五哥嫌疑更重，五哥手里也确 实有大笔银子来路不名，叫爷爷查出来，”裳儿弄着剪子，侃侃谈道，“可他旋即却糊涂得把田庄里贪得来的银子，都输在赌局里，以至于受蕙 妹妹胁迫，坏了笙表妹名声，吃了爹爹一顿杖，爬都爬不起来，爷爷就重点去调查大哥了罢？谁知五哥买通爹爹身边行杖的，筋骨无碍，装着养 伤，悄没声儿一切都打点好，拐了嘉颜姐姐，扔嘣就走了！把爷爷可摆了一道。”“是你被摆了一道。”苏小横道。裳儿手里的剪子，停了停。 “你将是独当一面的人，特立专行，生杀予夺，非如此，不足以在宫中固宠。”苏小横道，“内外种种，我知道的，你也知道，我并未瞒你，我 所不知道的，你也应该自己想办法知道，定出方略，克敌制胜。你没有做到，就是败了。宫中败亡，你把责任怪在爷爷头上，纵然爷爷肯承担， 有用么？”裳儿默然片刻，将剪子放下，端端正正拜苏小横一礼：“孙女谨受教。”“你剪的是什么？”苏小横看着那张叠了数叠、被剪了许多 刀的红纸。裳儿将红纸展开，胡乱纵横的刀痕，并未能形成任何花样：“这是裳儿的心境。”“本应如何呢？”苏小横又问。“本应，”裳儿打 开一本书，取出里面压得平平的剪纸，是鸳鸯戏水，“送于四姐姐贴在嫁妆箱上，给四姐姐道喜。”苏小横神色不动：“你四姐姐婚事有阻 碍。”“是。”裳儿知这也是考题，“大哥既进京，四姐姐婚事就没有阻碍了。”苏小横微微叹了口气：“你会看不起你大哥吗？”“不会。” 这倒是真心话，“虽说男女分工有别，但强盗杀来，若只余妇女，那妇女也必须举刃招架；同样道理，床帷间、私室里，若只有男儿能去，那末 男儿也该去。为家族效命，诗姐姐如此，裳儿如此，大哥如此，原没什么分别。”说着伤感起来，“爷爷，你可知孙女流落在外，最困苦时，只 为一勺掺着砂子的糙豆饭，他要我做什么都可以。”苏小横抚着裳儿的头：“爷爷救你太迟。”“相比很多人来说，已经
C
A N
B
2.已知平行六面体OABC－O’A’B’C’,且
OA a ，OC b，OO c，用a , b , c 表示如下
向量:(1) OB , BA , CA；
(2)OG（点G是侧面BB’C’C的中心）
Байду номын сангаасO /
A/ c B/
C/
OB /
a b c
/
BA c b
O a
b
G
CA /
a b c
如果三个向量 a, b, c不共面，那么对
空间任一向量 p ，存在一个唯一的有序
实数组 x、y、z，使
b
O C
a
p xa yb zc 思路：作
E A
p
AB//b, BD// a, BC// c
p OB BA
D c OC OD OE
B
xa yb zc
推论：设点O、A、B、C是不共 面的四点，则对空间任一点P，都 存在唯一的有序实数对 x、y、z 使 OP xOA yOB zOC
3.O、A、B、C为空间四点，且向量 OA , OB , OC 不能构成空间的一个基底，那么点O、A、 B、C是否共面？
例1：已知空间四边形OABC，对角线
OB、AC，M和N分别是OA、BC的中点，
点G在MN上，且使MG=2GN，试用基
底
OA,OB,OC
表示向量OG
O
解：在△OMG中，
OG
OM
非零向量a的直线，那么对任一点O，点P在直
线l上的充要条件是存在实数t，满足等式
OP = OA + t a.
(1)
其中向量 a 叫做直线l的方向向量.
P
OP = (1- t)OA + t OB.
(2)
B
说明: (1),(2)都叫做空间直 线的向量参数表示式.
a
A
若P为A,B中点, 则 OP= (OA1 +OB)(3)
A D
C
(3) 共面向量定理:
如果两个向量 a 、b不共线， 则向量 与向p 量 a 、共b
B b
p
P
面的充要条件是存在实数 对x、y，使
M a A A'
p xa yb
O
推论:空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有 序实数对x、y，使
MP = xMA + yMB 或对空间任一定点O，有
MG
1 OA 2
2 3
MN
M
1 OA 2 (ON OM )
A
GC N
2
3
1 OA 1 OB 1 OC
6
3
3
B
练习
1.已知空间四边形OABC，点M、N分别是
边OA、BC的中点，且OA a，OB b ，
OC c，用 a , b , c 表示向量 MN
O M
MN 1 OB 1 OC 1 OA 222