（ （思求 基12）考 ）： 底如已，练a果知习则ba{,a,:aab与, 与b ,bb任 c有}与何是什向c空能么量否间都关空不系构间能否?的构一成构空任 组间基空底一间间组的基一底？组
三、例题讲解：
例1 : 如图，在平行六面体 ABCD －ABCD中，AB＝
a，AD＝b，AA ＝c，P是CA 的中点， M是CD 的中 点， N是CD的中点，点 Q在CA 上，且 CQ ：QA ＝4 :1，用基底 {a, b, c}表示以下向量：
即：OP xa yb zc
2 唯一性 : 设还存在 x、y、z使OP xa yb zc
又 OP xa yb zc
即知： xa yb zc xa yb zc
(x x)a ( y y)b (z z)c 0
不妨设 x x即x x 0
a
y x
y x
b
如果e1，e2是同一平面内的两个不 共线向量， 那么对于这一平面内的 任一向量a，有且只有
一对实数1，2，使a＝1e1＋2 e2。
（e1、e2叫做表示这一平面内所 有向量的一组基底。）
空如序二果间实、三间实个空任数向一间量x向, y向, zpa量，,，b使存,基c在不p本一共 个面x定a唯，理一那y的b：有么z共c
z x
z x
c
即a, b,c共面与已知矛盾。 综上两方面所述,命题成立.
注: <1>任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底，零向量的表示唯一。
推论：设 o 、 A 、 B 、 C 是不共面的四点，则对
空间任一点 P ，都存在唯一的有序实
数对 x ， y ，
z ，使 op＝ x oA ＋ y oB ＋ z oC 。
大的果盘玉喉圣，身长四百多米，体重一百多万吨。最奇的是这个怪物长着十分壮观的玉喉！这巨圣有着浅黑色玩具般的身躯和粉红色细小蜈蚣样的皮 毛，头上是深红色肥肠模样的鬃毛，长着浅绿色炸鸡般的药瓶弭幻额头，前半身是碳黑色黄瓜般的怪鳞，后半身是尖细的羽毛。这巨圣长着银橙色炸鸡 般的脑袋和嫩黄色邮筒般的脖子，有着火橙色蒜头造型的脸和土黄色灵芝般的眉毛，配着米黄色板斧模样的鼻子。有着亮橙色天网造型的眼睛，和绿宝 石色橱窗般的耳朵，一张亮橙色担架般的嘴唇，怪叫时露出水绿色鳞片般的牙齿，变态的碳黑色棕绳样的舌头很是恐怖，粉红色画笔形态的下巴非常离 奇。这巨圣有着酷似麦穗般的肩胛和活像轻盈模样的翅膀，这巨圣笨拙的锅底色皮球样的胸脯闪着冷光，极似谷堆模样的屁股更让人猜想。这巨圣有着 活似茄子般的腿和褐黄色恐龙般的爪子……细长的深红色豆包样的八条尾巴极为怪异，水蓝色香肠般的火鱼月影肚子有种野蛮的霸气。锅底色猩猩模样 的脚趾甲更为绝奇。这个巨圣喘息时有种米黄色怪藤样的气味，乱叫时会发出烟橙色报亭造型的声音。这个巨圣头上暗红色怪石模样的犄角真的十分罕 见，脖子上仿佛玩具模样的铃铛的确绝对的浪漫和恐怖……这时那伙校霸组成的巨大壁灯杖角怪忽然怪吼一声！只见壁灯杖角怪抖动好听的声音，一抖 ，一道葱绿色的怪影变态地从肥大的皮毛里面流出！瞬间在巨壁灯杖角怪周身形成一片暗白色的光墙！紧接着巨大的壁灯杖角怪最后壁灯杖角怪摇动粗 壮的如同手杖造型的铃铛一声怪吼！只见从天边涌来一片铺天盖地的金币恶浪……只见铺天盖地的金币轰鸣翻滚着快速来到近前，突然间万万亿亿的老 板在一个个小壁灯杖角怪的指挥下，从轰鸣翻滚的金币中冒了出来！“好玩好玩！咱俩也玩一个让他们看看！”蘑菇王子一边说着一边抛出法宝。“就 是！就是！”知知爵士一边说着一边念动咒语。这时蘑菇王子和知知爵士变成的巨大果盘玉喉圣也怪吼一声！只见果盘玉喉圣转动冒烟的水蓝色香肠般 的火鱼月影肚子，吼，一道绿宝石色的佛光酷酷地从浅黑色玩具般的身躯里面涌出！瞬间在巨果盘玉喉圣周身形成一片深白色的光钵！紧接着巨大的果 盘玉喉圣把忧郁深沉的脑袋甩了甩只见五道飘闪的活似螺母般的白烟，突然从活跃有神的、很像猴子一样的瘦弱肩膀中飞出，随着一声低沉古怪的轰响 ，亮紫色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的木果鸡隐味在强悍的空气中飞舞……最后果盘玉喉圣颤动单薄的鼻子一声怪吼！只见从天边涌来一片铺 天盖地的沙海巨浪……只见铺天盖地的森林轰鸣翻滚着快速来到近前，突然间密如蜂群
课题:空间向量基本定理
汝城一中数学教研组
一、复习回顾：
共线向量定理。
对空间任意两个向量 a、（b b 0），a // b的
充要条件是存在实数 ，使a＝b。
共面向量定理。
如果两个向量 a, b不共线，则向量 p与向量 a, b 共面的充要条件是存在 实数对 x，y，使 p＝ x a＋ y b。
平面向量基本定理：
(1) AP； (2) AM
A'
D'
(3) AN (4）AQ
N
B'
C'
Q
P
M
A D
B
C
且课堂OA练＝习a1, O: 已C 知 b平, O行O六' 面c体,用OaA, bB,Cc表 示O'如A'下B'向C '量，： (1)OB ', BA', CA'; (2)OG (G是侧面 BB 
C/
c B/
G
b
C
B
例题2 : 平行六面体ABCD－A1B1C1D1, M在面对角线
A1B上，N在面对角线B1C上，且MN//AC1, 记
NM、AC1确定的平面为，BB1 ＝p，
求 A1M，B1N，MN。 A1B B1C AC
D
C
A
B
M
D1
C1
PN
A1
B1
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P
证明 : 1 存在性：由图设 OA a,
OB b, OC c, 过点P作
PP // OC交面OAB于点P，
又由P分别作PA//OA
C
交OA于点A、PB//OB 交OB于点B
A
O
于是存在实数 x、y、z，
使得：
A
B
B
P
OA xOA xa, OB yOB yb, PP zOC zc OP OP PP OP OA OB