河南省天一大联考2019届阶段性测试
高三数学（理）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1.设全集U N *
=，集合{}{}1,2,3,5,2,4,6A B ==，则图中的阴影部分表示的集合为
A. {}2
B. {}2,4,6
C.{}4,6
D. {}1,3,5
2.已知i 是虚数单位，复数z 满足()1i z i -=，则z 的虚部为 A. 12- B. 12 C. 12i D. 12
i -
3.若cos 2πα⎛⎫-=
⎪⎝⎭()cos 2πα-= A. 59 B. 59- C. 29 D.29
- 4.在区间0,
2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任选两个数x 和y ，则sin y x <的概率为 A. 22
1π- B. 22
π C. 24
1π- D. 24
π
5.将函数cos 26y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭图象上的点,4P t π⎛⎫ ⎪⎝⎭
向右平移()0m m >个单位长度得到点P '，若P '位于函数
cos 2y x =的图象上，则
A.1
2t =-，m 的最小值为6
π B. t =，m 的最小值为12π
C. 12t =-
，m 的最小值为12π D. t =m 的最小值为6π 6.执行如图所示的程序框图，若输入4,3m t ==，则输出y =
A.184
B. 183
C. 62
D.61
7.在1n x ⎫⎪⎭的展开式中，所有项的二项式系数和为4096，则其常数项为 A. 220- B. 220 C. 110 D.110-
8.已知M 是抛物线()2:20C y px p =>上一点，F 是抛物线C 的焦点，若,MF p K =是抛物线C 的准线
与x 轴的交点，则MKF ∠=
A. 60
B. 45
C. 30
D.15
9.函数()2a f x x x
=+（其中a R ∈）的图象不可能是
10.已知P 是矩形ABCD 所在平面内一点，AB=4，AD=3
，PA PC =
=则PB PD ⋅= A. 0 B.-5或0 C.5 D.-5
11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A. 2 B. 1 C. 13 D.16
12.已知函数()()
221x f x x x e =--，则方程()(
)()2
0ef x tf x t R +-=∈⎡⎤⎣⎦的根的个数为
A. 5
B. 4
C. 3
D.2
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一条渐近线与直线30x y -+=平行，则此双曲线的离心率为 .
14.若实数,x y 满足1002x y x y -+≤⎧⎪>⎨⎪≤⎩，则221y x +的取值范围为 . 15.《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖，周五张四尺，深一丈八尺.问受栗几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面周长为五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能装多少斛米.”则该圆柱形容器能装米 斛.
（古制1丈=10尺，1斛=1.62立方尺，圆周率3π=）
16.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且,a b a c >>，ABC ∆的外接圆半径为1
，a =边BC 上一点D 满足2BD DC =，且90BAD ∠=，则ABC ∆的面积为 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17.（本题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()
21.n n a S n N *=+∈，
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若()21n n b n a =-⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .
18.（本题满分12分）
某市为了制定合理的节电方案，供电局对居民用电情况进行了调查，通过抽样，获得了某年200户居民每户的约均用电量（单位：度），将数据按照[)[)[)0,100,100,200,300,400, [)[)[)[]400,500,600,700,700,800,800.900分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
用电量（1）求直方图中m 的值并估计居民月均
的中位数；
的用户 （2）从样本中月均用电量不低于700度
中随机抽取4户，用X 表示月均用电量不低
于800度的用户数，求随机变量X 的分布列和数学
期望.
19.（本题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =,侧面11ABB A 是边长为2的正方形，点,E F 分别是线段111,AA A B 上的点，且113,,.24
AE A F CE EF =
=⊥
（1）证明：平面11ABB A ⊥平面ABC ；
（2）若CA CB ⊥，求直线1AC 与平面CEF 所成角的正弦值.
20.（本题满分12分） 已知圆22
:1O x y +=过椭圆()22
22:10x y C a b a b +=>>的短轴端点，,P Q 分别是圆O 与椭圆C 上任
意两点，且线段PQ 长度的最大值为3.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点()0,t 作圆O 的一条切线交椭圆C 于,M N 两点，求OMN ∆的面积的最大值.
21.（本题满分12分）已知函数()22cos f x x ax b x =++在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为3.4y π= （1）求,a b 的值，并讨论()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的增减性； （2）若()()12f x f x =，且120x x π<<<，求证：1202x x f +⎛⎫'<
⎪⎝⎭. 参考公式cos cos 2sin
sin 22θϕθϕθϕ+--=-
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

22.（本题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系
在平面直角坐标系xoy 中，曲线C
的参数方程为1,21x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴
的正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的极坐标方程为2sin .ρθ=
（1）判断直线l 与圆C 的交点个数；
（2）若圆C 与直线l 交于,A B 两点，求线段AB 的长度.
23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()()22.f x x x m m R =+--+∈
（1）若1m =，求不等式()0f x ≥的解集；
（2）若方程()f x x =有三个实数根，求实数m 的取值范围.。