2021届河南省天一大联考高三阶段性测试数学（文）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集*U N =，集合{}{}1,2,3,5,2,4,6A B ==，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}2B ．{}2,4,6C ．{}4,6D ．{}1,3,5 2.已知i 是虚数单位，复数z 满足()1i z i -=，则z 的虚部是（ ） A ．12-B ．12C ．12iD ．12i - 3.若2cos 2πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则()cos 2πα-= （ ） A ．59 B ．59- C ．29 D ． 29- 4.“113x⎛⎫< ⎪⎝⎭”是“11x >”的（ ）A ．充分且不必要条件B ．既非充分也非必要条件 C. 充要条件 D ．必要且不充分条件 5.在区间[]0,1上任选两个数x 和y ，则21y x ≥- ）A ．16π-B ．6πC. 14π-D ．4π6. 将函数cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上的点,4P t π⎛⎫⎪⎝⎭向右平移()0m m >个单位长度得到点P '，若P '位于函数cos 2y x =的图象上，则（ ）A ．3t m =的最小值为6πB ．3t m =的最小值为12π C. 1,2t m =-的最小值为6π D ．1,2t m =-的最小值为12π7.执行如图所示的程序框图，若输入4,3m t ==，则输出y = （ ）A ．184B ．183 C. 62 D ．61 8.函数()2af x x x =+（其中a R ∈）的图象不可能是（ ） A ． B ．C. D ．9.已知M 是抛物线()2:20C y px p =>上一点，F 是抛物线C 的焦点.若,MF p K =是抛物线C 的准线与x 轴的交点，则MKF ∠=（ ）A ．60°B ．45° C. 30° D ．15°10.已知P 为矩形ABCD 所在平面内一点，4,3,5,25AB AD PA PC ====，则PB PD = （ ） A ．0 B ．-5或0 C. 5 D ．-511.某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．3π C. 2π D ．π12.已知函数()2,01,0x e x f x x ax x ⎧≤=⎨++>⎩，()()1F x f x x =--，且函数()F x 有2个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(],0-∞B ． [)1,+∞ C. ()0,+∞ D ．(),1-∞第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线30x y -+=平行，则此双曲线的离心率为 ．14.若实数,x y 满足1002x y x y --≤⎧⎪>⎨⎪≤⎩，则221y x +的最小值是 ．15.《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖，周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能装多少斛米.”则该圆柱形容器能装米 斛.（古制1丈=10尺，1斛=1.62立方尺，圆周率3π≈） 16.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且,a b a c >>.ABC ∆的外接圆半径为1，3a =若边BC 上一点D 满足2BD DC =，且090BAD ∠=，则ABC ∆的面积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*21n n a S n N =+∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()21n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.某市为了制定合理的节电方案，供电局对居民用电情况进行了调查，通过抽样，获得了某年200户居民每户的月均用电量（单位：度），将数据按照[)[)[)[)[)[)0,100,100,200,200,300,300,400,400,500,500,600，[)[)[]600,700,700,800,800,900分成9组，制成了如图所示的频率直方图.（1）求直方图中m 的值并估计居民月均用电量的中位数；（2）现从第8组和第9组的居民中任选取2户居民进行访问，则两组中各有一户被选中的概率. 19. 如图，在四棱锥A BCDE -中，CD ⊥平面,//,,,ABC BE CD AB BC CD AB BC M ==⊥为AD 上一点，EM ⊥平面ACD . （1）求证：//EM 平面ABC ；（2）若2CD =，求四棱锥A BCDE -的体积.20.已知圆22:1O x y +=过椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的短轴端点，,P Q 分别是圆O 与椭圆C 上任意两点，且线段PQ 长度的最大值为3. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()0,t 作圆O 的一条切线交椭圆C 于,M N 两点，求OMN ∆的面积的最大值.21.已知函数()2ln 2af x x x =-的图象在点11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线斜率为0. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若()()12g x f x mx =+，在区间()1,+∞上没有零点，求实数m 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为2sin ρθ=. （1）判断直线l 与圆C 的交点个数；（2）若圆C 与直线l 交于,A B 两点，求线段AB 的长度. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()()22f x x x m m R =+--+∈. （1）若1m =，求不等式()0f x ≥的解集；（2）若方程()f x x =有三个实根，求实数m 的取值范围.2021届河南省天一大联考高三阶段性测试数学（文）试题参考答案一、选择题1-5: CABDC 6-10: DBCBA 11、12：BD二、填空题14.43三、解答题17.解析：（1）当1n =时，1112121a S a =+=+，解得11a =-. 当2n ≥时，1121,21n n n n a S a S --=+=+，两式相减得12n n n a a a --=，化简得1n n a a -=-，所以数列{}n a 是首项为-1，公比为-1的等比数列，可得()1nn a =-.（2）由（1）得()()211nn b n =--， 下面提供三种求和方法供参考：（错位相减法）()()()()()123113151211nn T n =-+-+-++--，()()()()()()2311131231211nn n T n n +-=-+-++--+--，两式相减得()()()()()23121212121211nn n T n +=-+-+-++----()()()()()()211111122112111n n n n n -+⎡⎤-⨯--⎣⎦=-+⨯---=---，所以数列{}n b 的前n 项和()1nn T n =-.（并项求和法）当n 为偶数时，12n n b b -+=，22n nT n =⨯=； 当n 为奇数时，1n +为偶数，()()11121n n n T T b n n n ++=-=+-+=-. 综上，数列{}n b 的前n 项和,,n n n T n n ⎧=⎨-⎩为偶数为奇数.（裂项相消法）因为()()()()()1211111nnn n b n n n +=--=----，所以()()()()()()()1223101111121111nn n T n n +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=---+---++----⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()110111n nn n +=---=-，所以数列{}n b 的前n 项和()1nn T n =-.18.【解析】（1）()11000.00040.00080.00210.00250.00060.00040.00022100m -⨯++++++=⨯， ∴0.0015m =.设中位数是x 度，前5组的频率之和为0.040.080.150.210.250.730.5++++=>， 而前4组的频率之和为0.040.080.150.210.480.5+++=<，所以400500x <<，0.50.484001000.25x --=⨯，故408x =，即居民月均用电量的中位数为408度.（2）第8组的户数为0.00041001004⨯⨯=，分别设为1234,,,A A A A ，第9组的户数为0.00021001002⨯⨯=，分别设为12,B B ，则从中任选出2户的基本事件为()()1213,,A A A A ，，()()1411,,A A A B ，，()12,A B ，()23,A A ，()24,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()34,A A ，()31,A B ， ()32,A B ，()41,A B ，()42,A B ，()12,B B ，共15种.其中两组中各有一户被选中的基本事件为()()()()11122122,,,,,,A B A B A B A B ，()()3132,,,A B A B ，()()4142,,,A B A B ，共8种.所以第8，9组各有一户被选中的概率815P =. 19.【解析】（1）取AC 的中点F ，连接BF ，因为AB BC =，所以BF AC ⊥， 因为CD ⊥平面ABC ，所以CD BF ⊥，又ACCD C =，所以BF ⊥平面ACD ，因为EM ⊥平面ACD ，所以//EM BF ，又EM ⊄平面,ABC BF ⊂平面ABC ，所以//EM 平面ABC .（2）连接MF ，因为//,BE CD BE ⊄平面,ACD CD ⊂平面ACD ，所以//BE 平面ACD ， 又平面BEMF ⋂平面ACD MF =，所以//BE MF ，由（1）知//EM BF ，所以四边形BEMF 为平行四边形，所以BE MF =.因为F 是AC 的中点，所以M 是AD 的中点， 所以112BE MF CD ===. 因为CD ⊥平面ABC ，所以CD AB ⊥， 又BC AB ⊥，所以AB ⊥平面BCDE . 所以四棱锥A BCDE -的体积()11112222332A BCDE BCDE V S AB -=⨯=⨯⨯+⨯⨯=. 20.【解析】（1）∵圆O 过椭圆C 的短轴端点，∴1b =，又∵线段PQ 长度的最大值为3， ∴13a +=，即2a =，∴椭圆C 的方程为2214y x +=.（2）由题意可设切线MN 的方程为y kx t =+，即0kx y t -+=1=，得221k t =- ①联立得方程组2214y kx t y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()2224240k x ktx t +++-=. 其中()()()222222444161664480kt k t t k ∆=-+-=-++=>，设()()1122,,,M x y N x y ，则12224kt x x k -+=+，212244t x x k -=+，则21616t MN -+=②将①代入②得MN =112OMN S MN ∆=⨯⨯=1，等号成立当且仅当3t t =，即t =.综上可知：()max 1OMN S ∆=. 21.【解析】（1）()2ln 2a f x x x =-的定义域为()0,+∞，()22af x x x'=-， 因为1102f a ⎛⎫'=-=⎪⎝⎭，所以()()()()22121111,ln ,2222x x a f x x x f x x x x -+'==-=-=. 令()0f x '>，得12x >，令()0f x '<，得102x <<， 故函数()f x 的单调递增区间是1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调递减区间是10,2⎛⎫⎪⎝⎭.（2）()211ln 22g x x x mx =-+，由()214120222m x mx g x x x x +-'=-+==，得x =，设0x =，所以()g x 在(]00,x 上是减函数，在[)0,x +∞上为增函数.因为()g x 在区间()1,+∞上没有零点，所以()0g x >在()1,+∞上恒成立，由()0g x >，得1ln 22x m x x >-，令ln 2xy x x=-，则22222ln 22ln 4144x x x y x x ---'=-=， 当1x >时，0y '<，所以ln 2xy x x =-在()1,+∞上单调递减， 所以当1x =时，max1y =-，故112m ≥-，即[)2,m ∈-+∞.22.【解析】（1）消去参数得直线l10y +-=， 由2sin ρθ=得圆C 的直角坐标方程为2220x y y +-=. 因为圆心()0,1在直线l 上，所以直线l 与圆C 的交点个数为2.（2）由（1）知AB 为圆C 的直径，而圆C 的直径可求得为2，所以2AB =. 23.【解析】（1）∵1m =时，()221f x x x =+--+. ∴当2x ≤-时，()3f x =-，不可能非负，当22x -<<时，()21f x x =+，由()0f x ≥可解得12x ≥-，于是122x -≤<. 当2x ≥时，()50f x =>恒成立. ∴不等式()0f x ≥的解集为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. （2）由方程()f x x =可变形为22m x x x =+--+.令()4,222,224,2x x h x x x x x x x x +<-⎧⎪=+--+=--≤≤⎨⎪->⎩，作出图象如图所示于是由题意可得22m -<<.。