《数学模型》作业解答
第五章1（2009年4月10日）
1.对于5.1节传染病的SIR 模型，证明： （1）若处最大先增加，在则σ
σ
1
)(,1
0=
s t i s ，然后减少并趋于零；)(t s 单调减少
至.∞s （2）.)()(,1
0∞s t s t i s 单调减少至单调减少并趋于零，则若σ
解：传染病的SIR 模型（14）可写成
⎪⎩⎪⎨⎧-=-=i s dt
ds s i dt di
λσμ)
1(
.)(lim 0.(t) .)( .0,t 存在而单调减少知由∞∞→=∴≥-=s t s s t s dt
ds
i s dt ds λ
.)(∞s t s 单调减少至故
（1）.s s(t) .s(t) .1
00≤∴单调减少由若σ
s
;)(,0 .01,1
0单调增加时当
t i dt
di
s s s ∴
-σσ
.)(,0
.01,1单调减少时当t i dt
di
s s ∴-σσ .0)(lim
.0)18(t ==∞
→∞t i i 即式知又由书上 .)( .0,
1
m i t i dt
di
s 达到最大值时当∴==
σ
（2）().0 0.1-s
,1,10 dt
di
t s s σσσ从而则若 ()().0.0lim ==∴∞∞
→i t i t i t 即单调减少且
4．在5.3节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为.4=b
a
初始兵力00y x 与相同.
(1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.
(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负.
解:用()()t y t x ,表示甲、乙交战双方时刻t 的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为:
()()()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==-=-=000,01 ,y
y x x bx dt
dy
ay dt dx
现求(1)的解: (1)的系数矩阵为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--=00b a A
ab ab b a
A E ±=∴=-==-1,22 .0λλλ
λλ
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-1212,21，对应的特征向量分别为λλ ()()()t
ab t ab e
C e C t y t x -
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴1212121的通解为.
再由初始条件，得
()()2 220000 t
ab t
ab e y x e
y x t x -⎪⎭
⎫ ⎝⎛++⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=
又由().1ay
bx dx dy =可得
其解为 ()3 ,2
02
02
2
bx ay k k bx ay -==-而
(1) ()().2
3
10002
02011y a b y a bx ay a k t y t x =-=-===时，当
即乙方取胜时的剩余兵力数为
.2
3
0y 又令().0222,01
1
00001=-⎪⎭
⎫
⎝⎛++⎪⎭
⎫
⎝⎛-=t ab t ab e y x e y x t x ）得由（
注意到0
00020022,1
x y y x e
y x t ab -+=
=得. .43
ln ,312
1
b
t e
t ab =
∴=∴ (2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援.则
()()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==-=+-=000,)0(4 y
y x x bx dt
dy
r ay dt dx
().,4rdy aydy bxdx bx
r
ay dy dx -=-+-=即得
由 相轨线为,222k bx ry ay =-- .222
2
20.020k a r bx a r y a bx ry ay k =--⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=或 此相轨线比书图11中的轨线上移了
.a r 乙方取胜的条件为.,022202
0a r x a b a r y k +⎪⎭⎫ ⎝
⎛
- 亦即 第五章2（2009年4月17日）
6. 模仿5.4节建立的二室模型来建立一室模型（只有中心室），在快速静脉注射、恒速静脉滴注（持续时间为τ）和口服或肌肉注射3种给药方式下求解血药浓度，并画出血药浓度曲线的图形.
解: 设给药速率为()()(),,,,0V t C t x t f 容积为血药浓度为中心室药量为
()()()()().,,0/t VC t x t f t kx t x k ==+则排除速率为常数
(1)快速静脉注射: 设给药量为,0D 则()()().,0,0000t k e V
D
t C V D C t f -==
=解得 (2)恒速静脉滴注(持续时间为τ): 设滴注速率为()(),00,000==C k t f k ，则解得
()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤-=----τττ t e e Vk
k t e Vk
k t C t k kt kt
,10 ,10
(3) 口服或肌肉注射: ()()，解得）式节（见134.5010010t
k e
D k t f -=
()()()
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠--=---0101
01001 ,,01k k te V
kD k k e e k k V D k t C kt t k kt 3种情况下的血药浓度曲线如下：
第五章3（2009年4月21日）
8. 在5.5节香烟过滤嘴模型中,
(1) 设3.0,/50,08.0,02.0,20,80,80021=======a s mm b mm l mm l mg M νβ
求./21Q Q Q 和
(2) 若有一支不带过滤嘴的香烟,参数同上,比较全部吸完和只吸到1l 处的情况下，进入人体毒物量的区别.
解
)(857563.229102.07.050103.01508002.07.0502008.0/01/
2毫克≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=
⨯⨯-⨯---
e e e e b
a v
aw Q v bl a v
l β
()10/10==l M w 其中，
()()97628571
.050
20
02.008.02
1
2
===⨯--
--e
e Q Q v
l b β (2) 对于一支不带过滤嘴的香烟,全部吸完的毒物量为⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛
-=-v
bl
a e
b a v aw Q '
103‘ 只吸到1l 处就扔掉的情况下的毒物量为⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-=--v
bl a v bl
e e b a v aw Q 1
'21'04 .256531719.1110096.0032.0012.004.0508002.03.0508002.05010002.03.05010002.043111'1'
≈--=--=--=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛-=⨯⨯⨯⨯⨯⨯--
e e e e e e e e e e e e e e e e Q Q v abl v bl v abl v bl v bl a v bl v bl a v
bl 44.235,84.2954
3≈≈　Ｑ
Q。