数学模型（第四版）第11 章（博弈模型）习题
1. “田忌赛马”是一个家喻户晓的故事：战国时期，齐国将军田忌经常与齐王赛马，设重金赌注。

孙膑发现他们的马脚力都差不多，可分为上、中、下三等。

于是孙膑对田忌说：“您只管下大赌注，我能让您取胜。

”田忌相信并答应了他，与齐王用千金来赌胜。

比赛即将开始，孙膑对田忌说：“现在用您的下等马对付他的上等马，拿您的上等马对付他的中等马，拿您的中等马对付他的下等马。

” 三场比赛完后，田忌只有一场不胜而两场胜，最终赢得齐王的千金赌注。

（1）分析这个故事中还隐含了哪些信息，并思考何时可以建模为一个博弈问题，何时只是一个简单的单人决策问题。

（2）如果齐王和田忌约定比赛开始前双方同时决定马的出场顺序，并且以后不可改变，这个博弈是否存在纯战略纳什均衡？如果不存在，求出该博弈模型的混合战略纳什均衡。

2. 1943 年2 月，第二次世界大战新几内亚战争处于关键阶段，日军决定从新不列颠附近的岛屿调派援兵。

日军运输船可以沿新不列颠北侧航行，但是可能会遇上下雨，能见度也较差；或者沿岛屿的南侧航行，天气会比较好。

不论那种路线都需要三天时间。

如果他们希望有个好天气，当然应该选择沿南部走的路线。

但是战争期间日军指挥部希望运输船暴露在由西南太平洋盟军空军司令肯尼将军指挥的美军攻击火力下的时间尽可能少。

在这样的条件下日军应该选择哪条路线？
不列颠远侧集结。

肯尼将军当然希望轰炸日军船队的天数达到最大。

但是美军没有足够的侦察机兼顾南北两条路线，从而尽早侦察到日本运输船的航行路线。

因此，肯尼将军只能将大量的侦察机集中在南部或者北部路线上。

肯尼将军应该怎么做呢？
如果盟军将侦察机集中在南部路线上，日军也选择南部路线，则盟军可以轰炸日军三天；而若日军选择北部路线，则盟军只能轰炸日军一天。

如果盟军将侦察机集中在北部路线上，则无论日军选择哪条路线，盟军可以轰炸日军两天。

（1）建立博弈模型描述双方指挥官的决策问题。

（2）求出该博弈模型的纯战略纳什均衡，并查阅当时的历史，看看双方的行动是否确实与此一致。

3. 2004 年美国总统选举即将开始前，两位候选人布什和克里都把拉票的重点转移到了竞争异常激烈的宾夕法尼亚、俄亥俄、弗罗里达三个州。

民意调查显示，当时布什在这三个州赢得选举的可能性分别是20%，60%和80%。

为了赢得整个选举，布什必须至少赢得其中两个州。

假设如果两人同时到某个州拉票，则对每个州获胜的概率没有影响；如果两人到不同州拉票，则候选人在其所到访的州获胜的概率将增加10%。

由于剩余的时间只能允许每位候选人到其中一个州拉票，那么他们应该分别选择到哪个州？
（1）建立博弈模型描述两位候选人的决策问题。

（2）求出博弈模型的纯战略纳什均衡。

4. 我们经常见到媒体报道：一些不文明现象或违法行为发生在众目睽睽之下，却无人出面阻止或干预。

如果不考虑这类事件的复杂社会、道德等因素，你能否完全从数学的角度通过建立博弈模型来定量分析一下这种“人多未必势众”的现象？具体来说，希望你的模型回答下面的问题：假设有多个人正在目睹某个不文明现象或违法行为，那么当目睹人数增加时，有人出面阻止或干预的可能性是增加了还是减少了？
5. 同类型的商家经常会出现“扎堆”现象，形成各式各样的商品城，如“书城”、“灯具城” 等。

人们有时不得不跑很远的路去这类商品城，于是会抱怨：如果他们大致均匀地分布到城市的不同地点，难道不是对商家更为有利可图，也更方便顾客？请你以下面的问题为例，做出适当的假设，进行建模分析：某海滨浴场准备设立两个售货亭，以供海滩上游泳和休闲的人购买饮用水和小食品等。

那么，这两个售货亭的店主将会分别将售货亭设立在哪里？
6. 分析两个完全类似的国家对某种商品的关税税率设定问题，假设每个国家对该商品的需求与
价格间成线性减函数关系，两国博弈的顺序为：（1）两个国家的政府各自制定关于该商品的进口关
税税率；（2）两个国家各有一家企业决定生产该商品的数量（设两家企业的单件生产成本相同，并且不考虑固定成本），其中一部分供国内消费，一部分供出口（设运输成本可忽略不计）。

每家企业
关注的是最大化自己的利润，而每个国家关注的是最大化本国的社会总福利，包括本国消费者享受
到的消费者剩余（如果消费者用价格p购得一件他愿意出价v购买的商品，他的剩余为v-p）、企业
利润和关税收入[2]。

（1）建模并求出这个博弈的均衡•
（2）如果两国政府联合起来决策，希望最大化两国的社会总福利之和，结果有什么不同，特别是，关税税率是会提高还是会下降？
7. （1）在11.2节中曾假设回收协议模型的批发价、回收价以及按批发价回收的比例都没有上下限的限制，也说明通过协议参数的变化，可以达到系统协调并可在报社与报童间任意分配利润。

如果法律或行规对这些参数有上下限的限制而不能任意取值，回收价格协议和回收数量协议是否还能在满足这些限制的条件下，通过选择参数来达到系统协调？
（2）若上述参数有上下限的限制，当回收价格协议和回收数量协议都不能达到系统协调时，你能
否构造新的协议，使之仍能达到系统协调？
8. 有两家企业同时向政府申请投资某个项目，对企业i这个项目申请得到批准后的价值（利润）为v i（i=1，2）。

假设政府的态度是：如果两家企业中没有任何一家放弃申请，则一直不批准这个项
目，并且申请期间每单位时间向两家企业各收取1个单位的申请费；直到其中一家放弃申请后，将
项目批给未放弃的企业。

如果同时放弃，可以通过公平的抽签过程让两家企业中的一家得到项目，机会都是50%。

（1）如果v i（i=1，2）是共同知识，问两家企业应该采用什么策略？
（2）如果V i是企业i的私有信息，对方只知道其服从[0，1]上的均匀分布，问两家企业应该采用什么策略？
9. 按照11.4节介绍的公平性概念，建立考虑公平性的博弈模型，分析如下具有多个（至少2个）“反应者”的最后通牒博弈：首先由一个唯一指定的“提议者”提出一个分配提议一一从总量为1的财富中分给反应者s,剩下的1-s留给提议者自己；其次，由n-1个“反应者”同时决定自己是否接受这个提议，如果没有人接受，则所有参与者什么也得不到；如果至少有一个人接受，则所有接受的反应者以等概率地（如通过抓阄）得到s，提议者得到1-s。

假设11.4节（9）式定义的
:i ：：：（n -1）/n，给出这个博弈的均衡。

10. 在11.5 节中证明由（7）、（8）给出的shapley值①（v）
满足® （v） v（i）, i-1,2, n.
11. 某甲（农民）有一块土地，若从事农业生产可收入1万元；若将土地租给某乙（企业家）
用于工业生产，可收入2万元；若租给某丙（旅店老板）开发旅游业，可收入3万元；当旅店老板
请企业家参与经营时，收入达4万元。

为促成最高收入的实现，试用shapley值方法分配各人的所得。

12. 奇数个席位的理事会由三派组成，议案表决实行过半数通过方案。

证明在任一派都不能操纵表决的条件下，三派占有的席位不论多少，他们在表决中的权重都是一样的。

13. 记投票人集合为｛A，B，C, , ｝，研究加权投票系统S与极小获胜联盟集W m的关系：
（1）设S 为[4;2,2,1,1], [5;3,2,2,1], [3;2,1,1,1]，写出相应的W m。

（2）设W m为（[ABC] ,[ABD] ,[ACD]）, （[AB] ,[AC] ,[AD]）,（[ABC] ,[ABD]）,写出相应的S。

（3）由S到W m是存在且唯一的吗？由W m到S是存在且唯一的吗？考察W m=（[AB],[BC],[CD]）。

14. 在11.6节例5由民主党M （11席）、共和党G （14席）和独立人士D （15席）并按简单多
数规则投票组成的议会中，分别就M和G结盟与不结盟各种情况计算Banzhaf指标，得出类似11.6
节表1的结果。

15. 对于n人投票系统S=[q: 1 , 1,…,1]，其中有n个1,设n为奇数，q=（n+1）/2，证明当n很大时，Banzhaf指标3 趋于1/ \ n。

16. 对于加权投票系统S=[q; W1, W2, W3],设W1 ^W2^W3, q>w/2,说明只有5种极小获胜联盟集，对应于4种不同的Banzhaf指标3
17. 联合国安理会由5个常任理事国和10个非常任理事国组成，仅当全部常任理事国和至少4个非常任理事国投赞成票时决议方能通过。

试将这种规则表示为一个加权投票系统，并计算、比较它
的Shapley指标和Banzhaf指标。

18. （1）设某公司一个大股东控制股份的40%，其余60%由6位小股东平分，按照控股的简单多
数规则运作，计算大股东的Shapley指标。

如果60%由60位、600位、…小股东平分的话，大股东的Shapley 指标如何变化，讨论小股东无穷多的极限情况。

（2）若有两个主要股东分别控制股份的3/9和2/9,其余4/9由很多小股东平分，仍按控股的简单多
数规则运作，计算两个主要股东的Shapley指标，分析结果。

（3）作为（2）的一般化，两个主要股东A，B分别控制股份的x和y （都小于1/2 ），其余由很多小股东平分，按控股的简单多数规则运作，用作图的方法计算A，B的Shapley指标。