a≥0 ． 是________
(2)满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式：
整式 ； ①被开方数的因数是_____________ ，因式是_________ 整数
开得尽方的因数或因式 ②被开方数中不含有_____________________________________ ．
二次根式的性质
0
－1
2 解：3

1 1 － － ； 4 3
3 1 －2 1 (2)(2015· 绵阳) 1－ 2 ＋(－2) － ＋ －8 ； cos45°
解：1
(3)(2015· 凉山州)－32÷ 3³
解：－ 2
1 ＋| 2－3|； tan60°
1 (4)(2015· 黔西南州)( 3－2014)0＋|－tan45°|－(2)－1＋ 8.
在哪两个整数之间．
(5)在二次根式的运算中，实数的运算性质和法则同样适用．二次根式
的混合运算顺序是：先算__________ ，后算_________ 乘除 加减 ，有括号时，先
算括号内的(或先去括号)．
平方根、算术平方根与立方根
1 ±2 ；(2015· 【例 1】(1)(2015· 庆阳) 16的平方根是_______ 安顺)9的算术平方
第一章 数与式
第5节 数的开方与二次根式
数学
平方根、算术平方根
1 ． 若 x2 ＝ a ， 则 x 叫 做 a 的 ________ 平方根 ， 当 a≥0 时 ， a 是 a 的
非负 数， _____________ a是一个_______ ± b 算术平方根 ．正数 b 的平方根记作_________. 非负 数才有平方根． 只有_________
1 3 解：原式＝ ，当 x＝ 3－1 时，原式＝ 3 x＋1
12 4－x (3)(2015· 莱芜)(x－2－ )÷ ，其中 x＝－4＋ 3； x＋2 x＋2
解：原式＝－x－4，当 x＝－4＋ 3时，原式＝－ 3
5x＋3y 2x 1 (4)(2015· 襄阳)( 2 2 ＋ 2 )÷ ，其中 x＝ 3＋ 2，y＝ 3－ x －y y －x2 x2y－xy2
1 1 C．a>2 D．a≥2
(3)实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，则 （a＋b）2＋a 的化简结果
－b ． 为_______
点拨： (1)依被开方数和分母满足的条件列出不等式(组)；(2)依 a2＝ |a|≥0；(3)先化成含有绝对值的式子，再结合数轴化简．
二次根式的运算与化简求值
a2－1 a2－2a＋1 1 【例 3】已知 a＝ ，求 － 的值． a＋1 a2－a 2＋ 3
忽视二次根式与绝对值综合考查时的大小关系．
【例 4】计算： 3 －( 3)2＋(π＋ 3)0－ 27＋| 3－2|. 3
解：－3 3
1．(2015· 绵阳)± 2 是 4 的( A ) A．平方根 B．相反数 C．绝对值 D．算术平方根 x＋1 2．(2014· 潍坊)若代数式 有意义，则实数 x 的取值范围是( B ) （x－3）2 A．x≥－1 B．x≥－1 且 x≠3 C．x>－1 D．x>－1 且 x≠3 3．(2015· 宁夏)下列计算正确的是( B ) A. 3＋ 2＝ 5 B. 12÷ 3＝2 C．( 5)－1＝ 5 D．( 3－1≥0，b≥0)； a· b
a a ≥0，b>0)； b b＝_______(a
a ≥ (2)( a)2＝____(a_______0) ；
二次根式的运算
5 ． (1) 二次根 式的 加减： 二次 根式相 加减 ， 先把 各个 二次根 式化 成
同类二次根式 ______________________ ，再把____________________ 分别合并． 最简二次根式
5³ 15 5 ． 的结果是____ 3
2－ 3＜b＜2 ． 10． 已知 a(a－ 3)＜0， 若 b＝2－a， 则 b 的取值范围是_________________
10 ． 11．(2014· 凉山州)已知 x1＝ 3＋ 2，x2＝ 3－ 2，则 x12＋x22＝____
12．计算： (1)(2015· 宁波)π ＋2 －
ab (2)二次根式的乘法： a· b＝_________(a ≥0，b≥0)．
a a (3)二次根式的除法： ＝________(a ≥0，b>0)． b b
(4)二次根式的估值：二次根式的估算，一般采用“夹逼法”确定其值所
相邻 在范围． 具体地说， 先对二次根式平方， 找出与平方后所得的数_________ 开方 ，即可确定这个二次根式 的两个能开得尽方的整数，对其进行_________
解： 3
8．先化简，再求值： x－2 3 (1) ÷ (x＋1－ )，其中 x＝ 3－2； x－1 x－1 1 3 解：原式＝ ，当 x＝ 3－2 时，原式＝ 3 x＋2 x＋2 x－1 x－4 (2)(2015· 绥化)( 2 － )÷ x ，其中 x＝tan60°＋2. x －2x x2－4x＋4
a2－1 a2＋1 11．(2015· 攀枝花)先化简，再求值： 2 ÷ (2＋ a )，其中 a＝ 2. a －a
1 解：原式＝ ，当 a＝ 2时，原式＝ 2－1 a＋1
12．(2015· 汕尾)已知 a＋b＝－ 2，求代数式(a－1)2＋b(2a＋b)＋2a 的值． 解：原式＝(a＋b)2＋1，当 a＋b＝－ 2时，原式＝3
1 根是____； 3 (2)如图，下列各数中数轴上点 A 表示的可能是( C )
A．4的算术平方根 B．4的立方根
C．8的算术平方根 D．8的立方根
二次根式的概念及性质
1 【例 2】(1)(2015· 随州)若代数式 ＋ x有意义，则实数 x 的取值范围 x－1 是( D ) A．x≠1 B．x≥0 C．x≠0 D．x≥0 且 x≠1 (2)若 （2a－1）2＝1－2a，则( B ) 1 A．a<2 1 B．a≤2
5 ． (2015· 聊城)( 2＋ 3)2－ 24＝____ 9 ． 6．若 y＝ x－3＋ 3－x＋2，则 xy＝____
7．计算： 3 (1)(2－ 3)2015²(2＋ 3)2016－2³|－ 2 |－(－ 2)0；
解：1
1 1 (2)(2)－2－6sin30°－( )0＋ 2＋| 2－ 3|. 7－ 5
立方根 立方根 2．若 x3＝a，则 x 叫做 a 的_______________ ．任一实数 a 的立方根记作
3 3 3 3 ______. a3＝____ a ，( a) ＝____ a ， a 3 3 －a____ ＝ － a.
二次根式的概念
3．(1)形如 a(__________) 的式子叫做二次根式， a为二次根式的条件 a≥0
1．(2015· 凉山州)下列根式中，不能与 3合并的是( C ) A. 1 3 2 B. 3 C. 2 3 D. 12
2．(2015· 滨州)数 5 的算术平方根为( A ) A. 5 B．25 C．±25 D．± 5
3．(2015· 重庆)计算 3 2－ 2的值是( D ) A．2 B．3 C. 2 D．2 2
4．(2015· 广州)下列计算正确的是( D ) A．ab· ab＝2ab B．(2a)3＝2a3 C．3 a－ a＝3(a≥0) D. a· b＝ ab(a≥0，b≥0) 5．(2015· 孝感)已知 x＝2－ 3，则代数式(7＋4 3)x2＋(2＋ 3)x＋ 3的 值是( C ) A．0 B. 3 C．2＋ 3 D．2－ 3
点拨：该题中隐含条件是：由已知得 a＝2－ 3，则 a－1＝1－ 3<0， 是化简|a－1|的关键．
解：∵a＝
1 <1，∴a－1<0，∴ a2－2a＋1＝ （a－1）2 ＝|a－1| 2＋ 3
1 1 1 ＝1－a，∴原式＝a－1＋a，∴当 a＝ 时，原式＝ －1＋(2 2＋ 3 2＋ 3 ＋ 3)＝3
1 1 解：原式＝ ，当 x＝tan60°＋2＝ 3＋2 时，原式＝3 （x－2）2
9．计算 32³
1 2＋ 2³ 5的结果估计在( B )
A．6 和 7 之间 B．7 和 8 之间 C．8 和 9 之间 D．9 和 10 之间
－3a ． 10．已知 a<0，那么| a2－2a|可化简为_________
解：2 2
13．先化简，再求值： x－1 x2 x (1)(2015· 上海) 2 ÷ － ，其中 x＝ 2－1； x ＋4x＋4 x＋2 x＋2
1 解：原式＝ ，当 x＝ 2－1 时，原式＝ 2－1 x＋2
x2＋2x＋1 1 (2)(2015· 苏州)(1－ )÷ ，其中 x＝ 3－1； x＋2 x＋2
解：原式＝3xy，当 x＝ 3＋ 2，y＝ 3－2 时，原式＝3
2 ，9 的平方根是______ 6．(2015· 随州)4 的算术平方根是____ ±3 ，－27 的立
方根是______ －3 ．
3 1 7．(2015· 襄阳)计算：2 － 8＝____ 0 ．
－1
8．(2015· 泰州)计算： 18－2 9．(2015· 南京)计算
1 2 2 2＝_______．
4 ． (2014· 济宁 ) 如果 ab ＞ 0 ， a＋b ＜0， 那么下面各式：① ② a b · b a ＝1；③ ab÷ a B b＝－b.其中正确的是( )
a a ＝ ； b b
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
40＋ 5 2 2＋1 ； 5．计算：(2014· 青岛) ＝__________ 5