第5讲┃ 归类示例
此类有意义的条件问题主要是根据：①二次根式 的被开方数大于或等于零；②分式的分母不为零等列不 等式组，转化为求不等式组的解集．
第5讲┃ 归类示例 ► 类型之三 根式的化简与计算
命题角度： 1. 二次根式的性质：两个重要公式，积的算术平方 根，商的算术平方根； 2. 二次根式的加减乘除运算．
[点析] 在进行二次根式化简求值时，常常用到整体思 想．把 x＋y、x－y、xy 当作整体进行代入．
第5讲┃ 回归教材
中考变式
a2－4a＋4 a＋1 2 [2012· 苏州] 先化简，再求值： ＋ 2 · ，其 a－1 a －1 a－2 中 a＝ 2＋1.
a－22 a＋1 a－2 2 2 a 解：原式＝ ＋ · ＝ ＋ ＝ . a－1 a＋1a－1 a－2 a－1 a－1 a－1 2＋1 2＋ 2 当 a＝ 2＋1 时，原式＝ ＝ . 2 2
第5讲┃ 考点聚焦 考点3 二次根式的性质
两个重要 的性质 ( a)2＝a(a________) ≥0 a ＝a
2

二 次 根 积的算术 式 平方根 的 性 商的算术 质 平方根
＝
a -a
a≥0 a<0
ab＝ a· b(a______(a________， >0 a a b________) ≥0
立方 一个数x的________等于a，那么x叫做 立方 根 3 数a的立方根，记作 a
第5讲┃ 考点聚焦 考点2 二次根式的有关概念
二 次 根 式 最简 二次 根式
定义 防错 提醒
形如 a(________)的式子叫做二次根式 a≥0 a中的 a 可以是数或式， a 一定要大于 但 或等于 0
同时满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次 根式：(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因 式；(2)被开方数不含分母
第5讲┃ 归类示例
比较两个二次根式大小时要注意：(1)负号不能移到 根号内；(2)根号外的正因数要平方后才能从根号外移到 根号内．
第5讲┃ 归类示例 ► 类型之五 根式的大小比较
命题角度： 1. 二次根式 a的非负性的意义； 2. 利用二次根式 a的非负性进行化简．
[2012· 攀枝花] 已知实数x，y满足 x－4 ＋ y－8 ＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长( B ) A. 20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对
第5讲┃ 考点聚焦 考点4 二次根式的运算
根式的 先化为最简根式，再将被开方数相同的根 加减 式进行合并 根式的 ≥0 ≥0 a· b＝ ab(a________，b________) 乘法 根式的 b b ≥0 ＝ (a________，b________) >0 a 除法 a
第5讲┃ 考点聚焦 考点5 把分母中的根号化去
2 1 1 2 计算： ×( 3－1) ＋ ＋ 3－ －1. 2 2 2－1 4－2 3 解：原式＝ ＋ 2＋1＋ 3－ 2 2 ＝2－ 3＋ 2＋1＋ 3－ 2＝3.
第5讲┃ 归类示例
利用二次根式的性质，先把每个二次根式化简， 然后 进行运算；在中考中二次根式常与零指数、负指数结合在 一起考查．
第5讲┃ 归类示例 ► 类型之二 根式的有关概念
命题角度： 1．二次根式的概念； 2．最简二次根式的概念．
[2012· 德阳] 使代数式 是 1 A．x≥0 B．x≠ 2
x 有意义的x的取值范围 2x－1 ( C ) 1 C．x≥0且x≠ D．一切实数 2
1 [解析] 由题意得x≥0, 2x－1≠0,解得x≥0且x≠ ，故 2 选C项．
常用形式 及方法
1· a 1 a (1) ＝ ＝ a a· a a a＋b 1 (2) ＝ a＋b a＋b
第5讲┃ 归类示例
归类示例
► 类型之一 求平方根、算术平方根与立方根
命题角度： 1. 平方根、算术平方根与立方根的概念； 2. 求一个数的平方根、算术平方根与立方根．
(1)[2012· 雅安] 9 的平方根是 A．3 B．－3 C．±3 D．6 (2) (－2)2 的算术平方根是 A．2 B. ±2 C．－2 D. 2 ( C ) ( A)
第5讲┃ 归类示例
[解析] 本题可先估算无理数 15 ， 17 ， 19 的整数部 分的最大值和最小值，再求出甲，乙，丙的取值范围，进而 可以比较其大小． ∵3＝ 9< 15< 16＝4， ∴8＜5＋ 15＜9，∴8＜甲＜9. ∵4＝ 16＜ 17＜ 25＝5， ∴7＜3＋ 17＜8，∴7＜乙＜8. ∵4＝ 16＜ 19＜ 25＝5， ∴5＜1＋ 19＜6， ∴丙＜乙＜甲．故选A项．
第5讲┃ 回归教材
回归教材
二次根式化简中的整体思想
教材母题 人教版九上 P18T6
已知 x＝ 3＋1，y＝ 3－1，求下列各式的值： (1)x2＋2xy＋y2；(2)x2－y2.
第5讲┃ 回归教材
解：因为 x＝ 3＋1，y＝ 3－1， 所以 x＋y＝2 3，x－y＝2. 则(1)x2＋2xy＋y2＝(x＋y)2＝(2 3)2＝12. (2)x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝4 3.

第5讲┃ 归类示例
[解析] 根据题意得x-4=0,y-8=0,解得x=4,y=8. (1)若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不 能组成三角形； (2)若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8， 能组成三角形，周长为4＋8＋8＝20.故选B.
第5讲┃ 归类示例
(1)常见的非负数有三种形式：|a|， a，a2. (2)若几个非负数的和等于零，则这几个数都为零．
第5讲┃ 数的开方及二次根式
第5讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点1 平方根、算术平方根与立方根
平方 一个数x的______等于a，那么x叫做a的 平方 根 平方根，记作± a 数 的 开 方
平方 算术 一个正数x的________等于a，则x叫做a 平方 的算术平方根，记作 a，0的算术平方 根 根是0
第5讲┃ 归类示例
[2012· 巴中] 先化简，再求值：
1 1 x x2＋2x＋1 1 － ，其中x＝ . x x＋1· 2 2 2 x＋1 －x－1

x x＋1 x＋1 1 解：原式＝ · ＝ . 4x xx＋1 4xx＋1 1 ①当x＋1＞0时，原式＝ ； 4x 1 ②当x＋1＜0时，原式＝－ . 4x 1 ∵当x＝ 时，x＋1＞0， 2 1 ∴原式＝ . 2




第5讲┃ 归类示例
此类分式与二次根式综合计算与化简问题，一般 先化简再代入求值；最后的结果要化为分母没有根号 的数或者是最简二次根式．
第5讲┃ 归类示例 ► 类型之四 二次根式的大小比较
命题角度： 1. 二次根式的大小比较方法； 2. 利用计算器进行二次根式的大小比较．
[2012· 台湾] 已知甲、乙、丙三数，甲＝5＋ 15 ，乙＝3＋ 17 ，丙＝1＋ 19 ，则甲、乙、丙的大小关 系，下列何者正确 ( A ) A．丙＜乙＜甲 B．乙＜甲＜丙 C．甲＜乙＜丙 D．甲＝乙＝丙
[解析] 9的平方根是± 3，(－2)2的算术平方根是2.
第5讲┃ 归类示例
(1)一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；(2)平 方根等于本身的数是0，算术平方根等于本身的数是1和 0，立方根等于本身的数是1、－1和0；(3)一个数的立方根 与它同号；(4)对一个式子进行开方运算时，要先将式子化 简再进行开方运算．