姓名________ 成绩________
三角函数和平面向量综合测试题
160分
公式：βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±
βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±
令βα=得αααcos sin 22sin =
ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

1．设(1,2),(3,4),(3,2)a b c =-=-=，则(2)a b c +⋅=________.
2．已知两点(2,0),(2,0)M N -，点P 为坐标平面内的动点， 满足0MN MP MN NP ⋅+⋅=，则动点(,)P x y 的轨迹方程为_____.
3．已知i 与j 为互相垂直的单位向量，2,a i j b i j λ=-=+，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________.
4．若三点(2,2),(,0),(0,)(0)A B a C b ab ≠共线，则11a b
+= ． 5．设向量(1,0),(cos ,sin ),a b θθ==其中0θπ≤≤，则a b +的最大值是 ．
6．设,i j 是平面直角坐标系内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，
且42,34AB i j AC i j =+=+，则ABC ∆面积的值等于 ．
7．已知向量a 与b 的夹角为0
120，1,3a b ==，则5a b -= ． 8．向量)sin ,(cos θθ=,向量)1,3(-=则|2|-的最大值，最小值分别是
_______. 9．已知)1,2(=a 与)2,1(=b ，要使b t a +最小，则实数t 的值为___________. 10．向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =-，则2a b -的最大值是 ． 11．设πθ20<≤，已知两个向量()θθsin ,cos 1=OP ，
()θθcos 2,sin 22-+=OP ，则向量21P P 长度的最大值是________.
12、定义*a b 是向量a 和b 的“向量积”，它的长度|*|||||sin ,a b a b θθ=⋅⋅其中为向量a 和b
的夹角，若(2,0),(1,3),|*()|u u v u u v =-=-+则= .
13 在______,02
=∠=+⋅∆A AB ABC 则中，若.
14.在三角形ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线交直线AB,AC 于不同两点M,N ，若有,,n m ==则m+n=______
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.
15. （本小题满分14分）
（1）已知向量a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-,求向量a 的模。

（2）求与向量(1,2)a =，(2,1)b =夹角相等的单位向量c 的坐标．
16．（本小题满分14分）
用向量的方法证明：对于任意的,,,a b c d R ∈，恒有不等式
22222()()()ac bd a b c d +≤++
已知(1,2)a =,)2,3(-=,当k 为何值时，
（1）ka b +与3a b -垂直？
（2）ka +与3a -平行？平行时它们是同向还是反向？
18．（本小题满分16分）
已知O 为坐标原点，12(0,2),(4,6),A B OM t OA t AB =+
⑴求点M 在第一象限或第三象限的充要条件；
⑵求证：当11t =时，不论2t 为何实数，,,A B M 三点都共线．
在三角形ABC 中，角BAC=120º，AB=2，AC=1，D 是边BC 上一点（包括端点），求BC AD ⋅ 的取值范围。

20．（本小题满分16分）
设,A B 为圆221x y +=上两点，O 为坐标原点（,,A O B 不共线）
⑴求证：OA OB +与OA OB -垂直． ⑵当,,,444xOA xOB πππθθ⎛⎫∠=
∠=∈- ⎪⎝⎭且35OA OB ⋅=时，求sin θ的值．
参考答案：
1. -3
2.x y 8-=
3.⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
<21λλ 4.21 5. 2 6. 5 7. 7 8. 4,0 9.5
4- 10. 4 11. 23 12. 32 13. 90º 14. 2 15,16.17略
18.⑴点M 在第一象限的充要条件为122300
t t t +>⎧⎨>⎩；
点M 在第三象限的充要条件为122300t t t +<⎧⎨
<⎩ ⑵∵2AM OM OA t AB =-=
∴不论2t 为何实数，AM AB
∴不论2t 为何实数，,,A B M 三点都共线
19.[]2,5-
20. ⑴证明：设(cos ,sin ),(cos ,sin )A B ααββ
则(cos cos ,sin sin ),OA OB αβαβ+=++
(cos cos ,sin sin )OA OB αβαβ-=--
∴2222()()cos cos sin sin 0OA OB OA OB αβαβ+⋅-=-+-=
∴OA OB +与OA OB -垂直． ⑵解：∵,,,444xOA xOB πππθθ⎛⎫∠=∠=∈- ⎪⎝⎭
∴(cos ,sin ),(cos ,sin )44A B ππ
θθ ∴3cos
cos sin sin sin()4445OA OB πππθθθ⋅=+=+= ∵,44ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
∴0,42ππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ ∴4cos()45πθ+
=。