3.3.2两点间的距离
三维目标
知识与技能：掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题。

过程和方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。

情态和价值：体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题
教学重点，难点：重点，两点间距离公式的推导。

难点，应用两点间距离公式证明几何问题。

教学方式：启发引导式。

教学用具：用多媒体辅助教学。

教学过程：
一， 情境设置，导入新课
课堂设问一：回忆数轴上两点间的距离公式，同学们能否用以前所学的知识来解决以下问题
平面直角坐标系中两点()(2
122221PP x x y y =-+-x 轴和y 轴作垂线，垂足分别为()()112200N y M x ，，，，直线12PN N 12与P 相交于点Q 。

在直角ABC V 中，222
1212PP PQ QP =+，为了计算其长度，过点1P 向x 轴作垂线，垂足为 ()110M x ， 过点 向y 轴作垂线，垂足为()220N y ，，于是有
2222221
212121221PQ M M x x QP N N y y ==-==-， 所以，222121
2PP PQ QP =+=222121x x y y -+-。

由此得到两点间的距离公式
12PP =
在教学过程中，可以提出问题让学生自己思考，教师提示，根据勾股定理，不难得到。

二，例题解答，细心演算，规范表达。

例1 ：以知点A （-1，2），B （2 ），在x 轴上求一点，使 PA PB =,并求 PA 的值。

解：设所求点P （x ，0），于是有
=由 PA PB =得
22
25411
x x x x
++=-+解得x=1。

所以，所求点P（1，0）且
PA==通过例题，使学生对两点间距
离公式理解。

应用。

解法二：由已知得，线段
AB的中点为
1
2
⎛
⎝⎭
Ｍ
，直线AB的斜率为
k=
1
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
３
ｘ－ＰＡ＝
３２３
线段AB的垂直平分线的方程是
y-
1
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
３
ｘ－
２
在上述式子中，令y=0，解得x=1。

所以所求点P的坐标为（1，0）。

因此
ＰＡ＝
三．巩固反思，灵活应用。

（用两点间距离公式来证明几何问题。

）
例2 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。

分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系。

这一道题可以让学生讨论解决，让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤。

证明：如图所示，以顶点Ａ为坐标原点，ＡＢ边所在的直线为ｘ轴，建立直角坐标系，有Ａ（０，０）。

设Ｂ（ａ，０），Ｄ（ｂ，ｃ），由平行四边形的性质的点Ｃ的坐标为（ａ＋ｂ，ｃ），因为2222
2222
AB a CD a AD b c BC
===+=
，，
()
2
AC a b
=+２２，
＋ｃ()
２２２
ＢＤ＝ｂ－ａ＋ｃ
所以，()
２２２２２２２
ＡＢ＋ＣＤ＋ＡＤ＋ＢＣ＝２ａ＋ｂ＋ｃ
()
２２２２２
ＡＣ＋ＢＤ＝２ａ＋ｂ＋ｃ所以，
２２２２２２
ＡＢ＋ＣＤ＋ＡＤ＋ＢＣ＝ＡＣ＋ＢＤ
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。

上述解决问题的基本步骤可以让学生归纳如下：
第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关的量。

第二步：进行有关代数运算。

第三步；把代数结果“翻译”成几何关系。

思考：同学们是否还有其它的解决办法？
还可用综合几何的方法证明这道题。

课堂小结：
主要讲述了两点间距离公式的推导，以及应用，要懂得用代数的方法解决几何问题，建立直角坐标系的重要性。

课后练习
1.证明直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等
2.在直线x-3y-2=0上求两点，使它与（-2，2）构成一个等边三角形。