陕西省黄陵中学高新部2021-2022高一数学上学期期末考试试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共6分）1．已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝( )A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2}2．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( ) A．圆柱 B．圆 C．球体 D．圆柱、圆锥、球体的组合体3．如图，直观图所表示的平面图形是( )A.正三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形4．如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体是下列哪个几何体？( )5．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l( )A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面6．如图，在三棱锥D－ABC中，AC＝BD，且AC⊥BD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF和AC所成的角等于( )A．30° B．45° C．60° D．90°7．直线x＋3y＋1＝0的倾斜角是( )A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π68．已知三点A(2，－3)，B(4,3)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，k 2在同一条直线上，则k 的值为( )A.12 B ． 9 C ．－12 D ．9或129．已知互相垂直的平面α，β交于直线l ，若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则( )A ．m ∥lB ．m ∥nC ．n ⊥lD ．m ⊥n10．如图，已知PA ⊥平面ABC ，BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数为( )A ．3 B4 C ．5 D ．611．P 点在直线3x ＋y －5＝0上，且点P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则P 点坐标为( )A.(1,2) B ．(2,1) C.(1,2)或(2，－1) D ．(2,1)或(－1,2) 12．若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为( )A.(x －2)2＋(y±2)2＝3 B ．(x －2)2＋(y±3)2＝3 C.(x －2)2＋(y±2)2＝4 D ．(x －2)2＋(y±3)2＝4二、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在答题卡的相应位置。

13.若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log3（2x ＋5），x>0，12x，x ≤0，则f(f(－1))＝14．长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为________． 15．若平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定_______个平面．16．过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_______________________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．17.（10分）已知函数f(x)＝ax2＋bx ＋c(a ＞0，b ∈R ，c ∈R)．函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c ＝1，F(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＞0，－f （x ），x ＜0，求F(2)＋F(－2)的值； 18．（14分）设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a ＞0，a ≠1)， 且f(1)＝2.(1)求a 的值及f(x)的定义域；(2)求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值．19．（14分）如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.20．（14分）如图所示，E是以AB为直径的半圆弧上异于A，B的点，矩形ABCD所在平面垂直于该半圆所在的平面．(1)求证：EA⊥EC；(2)设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F.求证：EF∥AB.21．（14分）已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值：(1) l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；(2) l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．22．（14分）已知两圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.(1)求证：圆C1和圆C2相交；(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共6分，1．已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝( )A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2}答案：C2用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( ) A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体答案：C.3如图，直观图所表示的平面图形是( )A.正三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形．答案 D4．如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体是下列哪个几何体？( )答案 D．5．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l( )A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面答案 C6． .如图，在三棱锥D－ABC中，AC＝BD，且AC⊥BD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF和AC所成的角等于( )A．30° B．45°C．60° D．90°答案 B71.直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 答案 D ．8．4.已知三点A(2，－3)，B(4,3)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，k 2在同一条直线上，则k 的值为( )A.12 B ．9 C ．－12 D ．9或12 答案A9．已知互相垂直的平面α，β交于直线l ，若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则( ) A ．m ∥l B ．m ∥n C ．n ⊥l D ．m ⊥n 答案：C ．10．如图，已知PA ⊥平面ABC ，BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数为( ) _A ．3 B4 C ．5D ．6．解析：因为PA ⊥平面ABC ，AB ，AC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，PA ⊥BC ，则△PAB ，△PAC 为直角三角形．由BC ⊥AC ，且AC ∩PA ＝A ，所以BC ⊥平面PAC ，从而BC ⊥PC ，因此△ABC ，△PBC 也是直角三角形．答案：B11．P 点在直线3x ＋y －5＝0上，且点P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则P 点坐标为( )A.(1,2)B ．(2,1)C.(1,2)或(2，－1) D ．(2,1)或(－1,2)答案 C12．若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为( ) A.(x －2)2＋(y±2)2＝3 B ．(x －2)2＋(y±3)2＝3C.(x －2)2＋(y±2)2＝4 D ．(x －2)2＋(y±3)2＝4 答案 D解析 因为圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x ＝2上，又圆与y 轴相切，所以半径r ＝2，设圆心坐标为(2，b )，则(1－2)2＋b 2＝4，b 2＝3，b ＝±3，选D. 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在答题卡的相应位置。

13. 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3（2x ＋5），x >0，12x ，x ≤0，则f (f (－1))＝214．长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为14π________．15．若平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定1或4________个平面．16． 过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_______________________．y ＝－53x 或x －y ＋8＝0三、解答题：本大题共6小题，共70分．17.（10分）已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，b ∈R ，c ∈R)． 函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＞0，－f （x ），x ＜0，求F (2)＋F (－2)的值； 解：(1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2，所以f (x )＝(x ＋1)2.所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2，x ＞0，－（x ＋1）2，x ＜0.所以F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.18．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值．2．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值．解：(1)因为f (1)＝2， 所以log a 4＝2(a ＞0，a ≠1)， 所以a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得－1＜x ＜3， 所以函数f (x )的定义域为(－1，3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x ) ＝log 2[(1＋x )(3－x )] ＝log 2[－(x －1)2＋4]，所以当x ∈(－1，1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1，3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2．19．（12分）如图所示，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证：(1)B ，C ，H ，G 四点共面； (2)平面EFA 1∥平面BCHG .(1)因为G ，H 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点， 所以GH 是△A 1B 1C 1的中位线，则GH ∥B 1C 1. 又因为B 1C 1∥BC ， 所以GH ∥BC ，所以B ，C ，H ，G 四点共面．(2)因为E ，F 分别为AB ，AC 的中点，所以EF ∥BC ，因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1AB，所以A1G EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB.因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.又因为A1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG.20．（12分）如图所示，E是以AB为直径的半圆弧上异于A，B的点，矩形ABCD所在平面垂直于该半圆所在的平面．(1)求证：EA⊥EC；(2)设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F.求证：EF∥AB.证明(1)∵E是半圆上异于A，B的点，∴AE⊥EB.又∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE＝AB，CB⊥AB，∴CB⊥平面ABE.又∵AE⊂平面ABE，∴CB⊥AE.∵BC∩BE＝B，∴AE⊥平面CBE.又∵EC⊂平面CBE.∴AE⊥EC.(2)∵CD∥AB，AB⊂平面ABE.∴CD∥平面ABE.又∵平面CDE ∩平面ABE ＝EF . ∴CD ∥EF . 又∵CD ∥AB . ∴EF ∥AB . ．21．（12分）4.已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值：(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 解 (1)由已知可得l 2的斜率存在，且k 2＝1－a . 若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1.∵l 1⊥l 2，∴直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0. 又∵l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋4＝0，即a ＝43(矛盾)， ∴此种情况不存在，∴k 2≠0，即k 1，k 2都存在．∵k 2＝1－a ，k 1＝ab ，l 1⊥l 2， ∴k 1k 2＝－1，即ab (1－a )＝－1.①又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②联立，解得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 2的斜率存在且l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在，k 1＝k 2，即ab ＝1－a .③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b ＝b ，④联立③④，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.优质资料\word 可编辑- 11 - / 11- 11 - 22．（12分）已知两圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0.(1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．(1)证明：圆C 1的圆心为C 1(1，3)，半径r 1＝11，圆C 2的圆心为C 2(5，6)，半径r 2＝4，两圆圆心距d ＝|C 1C 2|＝5，r 1＋r 2＝11＋4，|r 1－r 2|＝4－11，所以|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2，所以圆C 1和圆C 2相交．(2)解：圆C 1和圆C 2的方程左、右两边分别相减，得4x ＋3y －23＝0，所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0.圆心C 2(5，6)到直线4x ＋3y －23＝0的距离为|20＋18－23|16＋9＝3，故公共弦长为216－9＝27.。