2016年华中师大一附中预录数学模拟试题一、选择题（本大题6个小题，每小题6分，共36分） 1．已知,c b a ,c b a 31110-=++=++那么222111cb a ++的值为（ ） A ．3 B ．6 C ．9 D ．122．若1≠mn ，且有07201652=++m m 及05201672=++n n ，则nm的值为（ ） A ．57 B ．75 C ．52016- D ．72016-3．已知sin αcos α=81，且45°<α<90°，则cos α- sin α的值为（ ）A ．23 B ．43 C ．23- D ．43-4．如图，在正△ABC 中，P 为正三角形内任意一点，过P 作PD⊥BC ，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，连接AP ，BP ，CP ，如果S △APF + S△BPE+ S △CPD =233，那么△ABC 的内切圆的半径为（ ） A ．1 B ．3 C ．2 D ．23 5．如图，在平面直角坐标系中，⊙O 1过原点O ，且与⊙O 2外切，圆心O 1与O 2在x 正半轴上，⊙O 1的半径O 1P 1，⊙O 2的半径O 2P 2都与x 轴垂直，且点P 1、P 2在反比例函数)0(1>=x xy 的图象上，则21y y +的值为（ ）A ．22B ．1C ．23D ．2 6．如图，在△ABC 中，D 、E 是BC 边上的点，BD :DE :EC=3:2:1，M 在AC 边上，CM :MA=1:2，BM 交AD 、AE 于H 、G ，则BH :HG :GM 等于（ ） A ．3:2:1 B ．5:3:1 C ．25:12:5 D ．51:24:10二、填空题（本大题共6个小题，每小题7分，共42分）7．已知0132=+-a a 且3331234=+-++2ama a ma a ,则m 的值为 . 8．记∑=+++=2016122)1(111k k k M ，再记[M]表示不超过M 的最大整数，则[M]为 .9．在平面直角坐标系中，如果直线kx y =与函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-<+=)3(82)33(2)3(42x x x --x x y 的图象恰有3个不同的交点，则k 的取值范围是 . 10.如图，四边形ABHK 是边长为6的正方形，点C 、D 在边AB 上，且AC=BD=1，点P 是线段CD 上的动点，分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作正方形AMNP 和正方形BRQP ，E 、F 分别为MN 、QR 的中点，连接EF ，设EF 的中点为G ，则当点P 从点C 运动到点D 时，点G 移动的路径长为 . 11.一位小朋友在粗糙不打滑的“Z ”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm 的圆盘，如图所示，AB 与CD 是水平的，BC 与水平面的夹角为60°，其中AB=CD=60cm ，BC=40cm ，请你作出该小朋友将圆盘从A 点滚动到D 点其圆心经过的路线示意图，圆心O 所经过的路线长度为 .12.△ABC 的一边长为5，另两边长分别是二次函数m x x y +-=62与x 轴的交点的横坐标的值，则m 的取值范围为 . 三、解答题（本大题共5个小题，共72分）13.（本题13分）已知⊙O 的面积为4π，△ABC 内接于⊙O ，a 、b 、c 分别是三角形三个内角∠A 、∠B 、∠C 的对边的长，关于x 的方程02)(2=-+-+a c bx x c a 有两个相等的实数根，cosA 、cosB 是二次函数3)]13([)]13([2+-+---=x m x m y 的图象与x 轴的两个交点的横坐标，求△ABC 三边的长.14.（本题13分）已知二次函数8422-+-=m mx x y .(1)若以抛物线8422-+-=m mx x y 的顶点A 为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN （M 、N 两点在抛物线上）.请问：△AMN 的面积是与m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.(2)若抛物线8422-+-=m mx x y 与x 轴交点的横坐标均为整数，求整数m 的值.15.（本题15分）已知，在平面直角坐标系中，直线AB 分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，且OB=2OA ，线段AB 绕点B 顺时针旋转90°，得到线段BC.(1)如图①，当OA=3时，求点C 的坐标；(2)如图②，若点A 和点D 关于y 轴对称，直线CD 交y 轴于点E ，连接AE ，求∠DAE 的度数； (3)在(2)的条件下，当△AOE 的面积为29，当点P 从点B 出发，沿y 轴负方向以每秒2个单位的速度匀速运动，设运动时间为t 秒，△PAC 的面积为S （S ≠0），求S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围.16.（本题13分）已知，如图，直线)0(3>+=k kx y 交x 轴于B 点，交y 轴于A 点，以A 点为圆心，AB 为半径作⊙A 交x 轴于另一点D ，交y 轴于E 、F 两点，交直线AB 于C 点，连结BE 、CE ，∠CBD 的平分线CE 于I. (1)求证：BE=IE ；(2)若AI ⊥CE ，设Q 为上一点，连结DQ 交y 轴于T ，连BQ 并延长交y 轴于G ，求AT ·AG 的值；(3)设P 为线段AB 上的一动点（异于点A 、B ），连接PD 交y 轴于M 点，过P 、M 、B 三点作⊙O 1交y 轴于另一点N ．设⊙O 1的半径为R ，当43=k 时，求出RMN的值.17.（本题满分18分）在平面直角坐标系中，抛物线21212+++-=t tx x y 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），其顶点M 在直线x y 2=上.(1)求t 的值；(2)如图，C 为线段OM 上一点，过C 作x 轴的平行线交线段BM 于点D ，以CD 为边向上作正方形CDEF ，CF 、DE 分别交此抛物线于P 、Q 两点，是否存在这样的点C ，使得正方形CDEF 的面积和周长恰好被直线PQ 平分?若存在，求点C 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)将此抛物线A 、B 之间的部分（含点A 和点Ｂ）向右平移n (n >0)个单位后得到的图象记为G ，同时将直线64+=x y 向下平移n 个单位，请结合图象回答：平移后的直线与图象G 有公共点时，n 的取值范围.参考答案一、选择题1．C 2．A 3．C 4．A 5．D 6．D 二、填空题7．5 8．2016 9．232<<k 10．2 11．3103320160+-π 12．9411<<m 三、解答题13. 解：∵关于x 的方程（a+c ）x 2-2bx+c-a=0有两个相等的实数根， ∴（-2b ）2-4（a+c ）（c-a ）=0 ∴a 2+b 2=c 2，∴△ABC 是直角三角形，∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴sinA=cosB ．又∵cosA ，cosB 是二次函数3)]13([)]13([2+-+---=x m x m y 的图象与x 轴的两个交点的横坐标，∴sinA 、cosA 是关于x 的方程 03)]13([)]13([2=+-+---x m x m 的两个根，∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--+=+133sin cos 1313sin cos m A ·A m m A A又∵sin 2A+cos 2A=1， ∴（sinA+cosA ）2-2sinA •cosA=1， ∴（1313+--+m m ）2-2×133+-m =1 解得33+=m经检验，33+=m 是原方程的根.当33+=m 时，原方程变为0332242=++-x )(x ，∴232121==x ,x ∵又△ABC 的外接圆面积为4π，∴外接圆半径R=2， ∴斜边c=2R=4．∴另外两直角边为2，32.14. 解：(1)如图：顶点A 的坐标为（m ，-m 2+4m-8），△AMN 是抛物线的内接正三角形，MN 交对称轴于点B ，tan ∠AMB=tan60°=，则AB=BM=BN ，设BM=BN=a ，则AB=a ， ∴点M 的坐标为（m+a ，a-m 2+4m-8），∵点M 在抛物线上，∴a-m 2+4m-8=（m+a ）2-2m （m+a ）+4m-8，整理得：a 2-a=0得：a=（a=0舍去）所以△AMN 是边长为2的正三角形， S △AMN =×2×3=3，与m 无关；（2）当y=0时，则有x 2-2mx+4m-8=0， 解得：，由题意知，(m-2)2+k 为完全平方数，令(m-2)2+4=k 2,则(k+m-2)(k-m+2)=4，又∵m,k 为整数，∴k+m-2，k-m+2的奇偶性相同， ∴⎩⎨⎧=+-=-+2222m k m k 或⎩⎨⎧-=+--=-+2222m k m k ∴⎩⎨⎧==22k m 或⎩⎨⎧-==22k m综上所述，m = 2．15.解：(1)作CF ⊥OB ，则可证△CBF ≌△BAO ，∴CF=BO ，BF=OA ，∵OA=3，∴OB=2OA=6 ∴CF=OB=6，BF=OA=3， ∴OF=OB-BF=3， ∴C （-6，3） (2)设A （a,0），则B(0,2a)，D(-a,0)，由（1）可得C （-2a,a ），于是可求出直线的解析式为：y CD =-x -a ，∴E （0，-a ），A(a,0), 即OA=OE ，∴∠DAE=45°(3) ∵29Δ=AOE S ∴2921212==a OE ·OA ∴3321-==a ,a （舍去） ∴A （3，0），C （-6，3），于是可求得直线AC 的解析式为131+-=x y AC∴G （0，1）.①当250≤<t 时，PG=BG-BP=5-2t ，此时S=245992521+-=⨯-t )t (； ②25>t 时，PG=2t-5，此时S=245995221-=⨯-t )t (16.(1)证明：∵AE ⊥BD ，∴弧BE=弧DE ．∴∠EBD =∠ECB ．∵∠ABI=∠DBI ，∠BIE=∠ECB +∠CBI ， ∴∠BIE=∠IBE ． ∴BE=IE ．（2）解：连接QC 、TB ，则∠BCQ+∠CBQ=90°， 又∠BDQ+∠ATD=90°，而∠BCQ=∠BDQ ， ∴∠CBQ=∠ATD=∠ATB ． ∴△ABG ∽△ATB ． ∴AB 2=AG•AT ．∵AI ⊥CE ，∴I 为CE 的中点．∴BE=21EC. 又∵∠OBE =∠ECB ，∠BOE-∠CEB=90°， ∴△O BE ∽△E CB ．∴OE ：OB=BE ：CE=21设⊙A 的半径为R ，由AB 2-OA 2=BO 2，OE=R-3， 得R 2-32=4（R-3）2解得R=5，或R=3（不合题意，舍去）． ∴AT•AG=A B 2=25．(3)证明：作O 1H ⊥MN 于H ，连接O 1N 、PN 、BM ，则MN=2NH ，且∠NO 1H= ∠NPM ，∴sin H NO NHR MN 2NO sin 2211=∠==∠NPM 由直线AB 的解析式：343+=x y ，得OB=OD=4，OM ⊥BD ，∴∠BMO=∠DMO 又∠BMO=∠ABM+∠BAM ，∠DMO=∠MPN+∠PNM ，∠ABM=∠PNM ， ∴∠MPN=∠BAM ， ∴17.解：(1)由21212+++-=t tx x y 可得： 对称轴2212441222t )t (ab ac y ,a b x -+=-==-= ∵顶点M 在直线y =2x 上，∴t t )t (222122=-+， ∴121==t t∴抛物线的解析式为：23212++-=x x y (2)如图(1)，∵M （1，2），B （3，0），则直线3+-=x y MB设C （m,2m ），∴D （3-2m,2m ），∴正方形CDEF 的边长为：3-3m ； ∴E （3-2m,3-m ），F （m,3-m ），D （m,23212++-m m ），Q （3-2m,-2m 2+4m ）， 依题意有：PQ 必过正方形的中心，∴CP=EQ ，∴)m m ()m (m )m m (4232232122+---=-++-整理得：1530385212==∴=+-m ,m m m （舍去），∴),(C 5653（3）如图（2），由题意得，点A 、B 之间的部分图象的解析式为：)x )(x )(x (y 311321≤≤-+--=，则抛物线向左平移后得到的图象G 的解析式为：)n x n )(n x )(n x (y -≤≤--+++--=311321此时直线平移后的解析式为：n x y ++=64如果平移后直线与平移后的二次函数相切，则方程：)n x )(n x (n x +++--=++132164有两个相等的实数根，即：0913122=--+--n x )n (x 有两个相等的实数根，。