第一章 集合与命题
一．集合：
1． 概念及符号的使用.：集合、元素，属于，自然数集，整数集，有理数集，实数集，
有限集、无限集；空集，列举法、描述法、子集，包含（包含于），图示法，文氏图，真子集，真包含（真包含于），、交集，并集，全集，补集。

2． ∈⊆，的比较 ：元素与集合间关系用,∈∉；集合与集合间关系用⊆⊇，类；
4． 关于子集的等价关系：U A B A B A A B B A
B U ⊆⇔=⇔=⇔=
C 5． 集合的运算性质：
① A B =B A ，A B =B A
② ()A
B C =()A B C ， ()A B C =()A B C ③ ()U C A
B =U U
C A C B , ()U U U C A B C A C B =
④ A A A = A A A = A ∅=∅ A A ∅=
6．有限集的元素个数 有限集A 的元素的个数记为card( A)，规定 card(φ) =0. 基本公式：
（1）设有限集合A, card(A)=n,则
(ⅰ)A 的子集个数为n
2；
(ⅱ)A 的真子集个数为12-n
；
(ⅲ)A 的非空子集个数为12-n ；(ⅳ)A 的非空真子集个数为22-n
.
（2）设有限集合A 、B 、C ，card(B)=m, card(A)=n ， m<n,则
(ⅰ) 若A C B ⊆⊆,则C 的个数为m
n -2；
(ⅱ) 若A C B ⊂⊆,则C 的个数为12--m
n ；
⑶ 容斥原理：card(A ∪B)= card(A)+card(B)- card(A ∩B)．
二．四种命题形式及关系
1． 概念： 2. 命题，真（假）命题 逆命题，否命题，逆否命题
等价命题 原命题
若p 则q 否命题
若p 则q
逆命题
若q 则p
逆否命题
若q 则p
互逆 为
? 互
否 逆 互 逆 为 互 否
互 逆 否
互 否
2.一般地，四种命题的真假性有且仅有下面四种情况：
原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假
假
假
假
３．常用词语的否定：
正面词语 否定 正面词语 否定 等于 不等于
任意的 某个 小于 不小于（大于或等于） 所有的 某些 大于 不大于（小于或等于） 至多有一个 至少有两个 是 不是
至少有一个 一个也没有 都是
不都是（至少有一个不是）
三．充要条件
1．若α⇒β，则称α是β的充分条件，也即β是α的必要条件； 若α⇔β，则称α是β的充要条件；
在讨论p 是q 的什么条件时，就是指以下四种之一：
①若p ⇒q ,但q ≠> p ，则p 是q 的充分但不必要条件； ②若q ⇒p ，但p ≠> q ，则p 是q 的必要但不充分条件； ③若p ⇒q ，且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件；
④若p ≠> q ，且q ≠> p ，则p 是q 的既不充分也不必要条； ★要点：看清题目问的是:谁是谁的什么条件
2．子集与推出关系 ： 设A,B 是非空集合，
A={}|x x α具有性质, B={}
|y y β具有性质,则A ⊆B 与α⇒β等价。

四．例题
例1 ．下列关系式：（1）{}a a ⊂;(2)
{}a φ⊂;(3) {}{},a a b ∈;(4) {}{}a a ⊆;(5){},a b φ∈;
(6) {},,a a b c ∈，（7）{}0φ∈，⑻ 0∈∅；中正确的是_________________ 例 2 ．关于数集： ⑴ Z Z Z +
-=,⑵R C Q Q R =, ⑶N Z *+=, ⑷Z Q ++⊆,
⑸{}()0R C Q
Q +
-=, ⑹ N
Z
Q R ；其中正确的是_________________
例3．对集合.A B ,定义{}
x x A x B A B -=∈∉且，若{}1,3,5,7,9M =,{}3,4,5,6N =, 则集合M N -子集的个数是＿＿＿＿.
例4．设集合{}|12A x x =-≤<，
{}a x x B <=|，
① 若φ≠B A ，则a 的取值范围是＿＿＿＿ ② 若A B φ=，则a 的取值范围是＿＿＿＿
③ 若A
B A =，则a 的取值范围是＿＿＿＿
例5．一同学解某不等式组得到≤≥⎧⎪⎨⎪⎩ｘ－１或ｘ＞４
ｘ ３或ｘ＜－２ｘ＞－５
，则该不等式的解集是＿＿＿＿
例６．⑴ 写出命题“若 xy= 0 则 x = 0或 y = 0”的逆命题、否命题、逆否命题 ⑵ 对实数2
2
a b a b 0+=．，若，则a=b=0，写出该命题的逆否命题． 例７．若a 2能被2整除，a 是整数，求证：a 也能被2整除 例８．⑴．2a ＝ａ是0≥ａ的（ ）条件．
A.充分不必要 Ｂ．必要不充分 Ｃ．充要 Ｄ．既不充分也不必要 ⑵．已知p 是r 的充分不必要条件,q 是r 的充分条件,s 是r 的必要条件,q 是s 的必
要条件,下列命题 ①s 是q 的充要条件． ②p 是q 的充分而不必要条件. ③r 是q 的必要而不充分条件. ④p s 是的必要而不充分条件．⑤r 是s 的必要而不充分条件．中正确的是（ ）．
例9．设5αβαβ≤≤≤∈：1ｘ＜, :2ｍ+1x ｍ+4,m R,是的必要条件,求m 的取值范围． 例１０．小故事：
三个古希腊哲学家，由于争论和天气炎热感到疲倦了，于是在花园里的一棵大树下躺下来休息一会，结果都睡着了.这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额.三个人醒来以后，彼此看了看，都笑了起来.但这并没引起他们之中任何一个人的担心，因为每个人都以为是其他两人在互相取笑.这时其中有一个突然不笑了，因为他发觉自己的前额也给涂黑了.那么他是怎样觉察到的呢？ 练习．
１．已知{}
22|≥∈=x R x M ，π=a ，则下列四个式子 ①M a ∈； ② {}
a M ；③ M a ⊂； ④ {}a π=M ，其中正确的是
(A)①② (B)①④ (C) ②③ (D)①②④ （ ）
2．如果集合{
}8,7,6,5,4,3,2,1=U ，{}8,5,2=A ，{}7,5,3,1=B ，那么(A U
)B 等于
(A){}5 (B) {}8,7,6,5,4,3,1 (C) {}8,2 (D) {}7,3,1 （ ）
3．如果集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=
=Z k k x x M ,412|，⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧∈+==Z k k y y N ,214|，那么 （ ） (A)φ=N M (B)N M = (C)M
N (D) M
N
4．下列命题中假命题．．．
是 （ ） (A)“正三角形边长与高的比是2︰3”的逆否命题 (B)“若x,y 不全为0，则02
2
≠+y x ”的否命题 (C)“p 或q 是假命题”是“非p 为真命题”的充分条件
(D)若C A B A =，则C B =
5命题: 若{}
(x,y)x y 10, 0x 2B =-+=≤≤＜１ 则 -１＜ｘ＜１；的逆否命题是( )
(A)若≥２
ｘ１,则≥≤ｘ１或ｘ-1 (B) 若 -１＜ｘ＜１ 则 2x ＜１ (C)若ｘ＜-１或ｘ＞１，则2x ＞１ (D)若≥≤ｘ１或ｘ-1,则≥２ｘ１
6．若集合{}22|≤≤-∈=x Z x A ，{}
2000|2
+==x y y B ，则用列举法表示集合
=B
7．若集合{
}x A ,3,1=，{}2
,1x B =，且{}x B A ,3,1= ，则=x
8．两个三角形面积相等且两边对应相等，是两个三角形全等的 条件 9．若0)2)(1(=+-y x ，则1=x 或2-=y 的否命题是
10．使方程x -ax+2a+1=0２
的两根都大于１的充要条件是
2
1
∆≥≥≥⎧⎪⎨⎪⎩0
ｘ+ｘ12ｘｘ12，是否正确？
如不正确，写出你的答案．
11．已知集合{
}
2
(x,y)x mx y 20,x A R =+-+=∈，{}
(x,y)x y 10, 0x 2B =-+=≤≤
若A
B =∅，求实数ｍ的取值范围．
12．一次联欢晚会中，某班选出最聪明的三位同学做智力游戏，游戏是这样的：拿出五顶帽
子（三顶蓝的，两顶红的），三位同学看过后，用布条蒙上他们的眼睛，给他们每人戴上一顶帽子（两顶蓝的，一顶红的），剩下的两顶帽子藏起来，然后解开蒙住眼睛的布条，每个人都能看到别人戴的帽子，但是看不到自己的，然后让他们判断自己戴的帽子的颜色．刚开始，三人都不说话，过了一会，一个同学说出了自己所戴帽子的颜色．很快另两个同学也说出了自己所戴帽子的颜色，他们是怎么判断的呢？。