函数2：函数的奇偶性
【教学目的】 使学生了解奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法；
【重点难点】 重点：函数的奇偶性的有关概念；
难点：奇偶性的应用
一、函数的奇偶性
1.偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做
偶函数．
2.奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)就叫
做奇函数．
3.判断函数奇偶性的方法：
（1）图像法：偶函数的图像关于y 轴对称；奇函数的图像关于原点对称．
（2）定义法：○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；
②确定f(－x)与f(x)的关系；
○
3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
4.奇偶函数的简单性质：
（1）奇函数：奇函数的图像关于原点对称，其单调性在对称区间内相同，如在[a,b ]上为
增函数，则在[-b ，-a ]上也为增函数.
（2）偶函数：奇函数的图像关于y 轴对称，其单调性在对称区间内相反，如在[a,b ]上为
增函数，则在[-b ，-a ]上为减函数.
二、函数奇偶性的应用
1、利用定义判断函数奇偶性
例1（1）x x x f 2)(3+= ； （2）2
432)(x x x f +=； （3）1)(2
3--=x x x x f ； （4）2)(x x f = []2,1-∈x ； （5）x x x f -+-=22)( ；
（6）2211)(x x x f -+-=； （7）2211(0)2()11(0)2
x x g x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩
2、利用定义求函数解析式
（1）()x f 为R 上奇函数，当0>x 时，()()x x x f -=1，求()x f 在R 上解析式；
（2）()x f 为R 上偶函数，当0<x 时，()132
+-=x x x f ，求()x f 在R 上解析式． （3）())(,x g x f 都是定义在R 上的函数，且()x f 为偶函数，()x g 为奇函数，且有 ()2-x x x g x f 2
+=+)(，试求())(,x g x f 的解析式. 3、利用奇偶性求参数取值范围
（1）)(x f 在(－2，2)上为减函数，且0)24()1(>-+-m f m f ，求m 的取值范围；
（2）)(x f 在]3,3[-上为偶函数，且在]0,3[-上是减函数0)3()12(>---a f a f ，
求a 的取值范围.
（3） 已知定义域为（－∞，0）∪（0，+∞）的函数)(x f 是偶函数，并且在（－∞，0）上
是增函数，若0)3(=-f ，则不等式)
(x f x <0的解集是 . （4） 已知)(x f 是定义在（－3，3）上的奇函数且f (0)=0,当0<x <3时，)(x f 的图像如图
所示.那么不等式0)(≤x xf 的解集是（ ）
A ．]1,0(]1,3( --
B ． ]1,0()0,1[ -
C ．]1,0[]1,3( --
D ． [－1，1] (5) 设)(x f 为定义域在R 上的偶函数，且)(x f 在
)3(),(),2(,)0[f f f π--∞+则为增函数的大小顺序为（ ）
A ．)2()3()(->>-f f f π
B ．)3()2()(f f f >->-π
C ．)2()3()(-<<-f f f π
D ．)3()2()(f f f <-<-π
(6) ()y f x =在(0,2)上是增函数,(2)y f x =+是偶函数,则57(1),(),()22
f f f 的大小关系是 .
(7) 如果奇函数)(x f y =在区间[3, 7]上是增函数，且最小值为5，那么)(x f y =在区间[－7, －3]上是（ ）。
（A ）增函数且最小值为－5 （B ）增函数且最大值为－5
（C ）减函数且最小值为－5 （D ）减函数且最大值为－5
三、奇偶性练习
1. 若定义在区间[]5,a 上的函数()x f 为偶函数，则a 的值为（ ）
A ．0
B ．-5
C ．5
D ．不确定
2. y f x x R =∈()()是奇函数，下列坐标表示的点一定在函数y f x =()图象上（ ）
A ． (())a f a ，-
B ． (())--a f a ，
C ． (())---a f a ，
D ．(())a f a ，-
3. 如果奇函数)(x f 在[]7,3上是增函数，且最小值是5，那么)(x f 在[]3,7--上是（ ）
A ．增函数，最小值是-5
B ．增函数，最大值是-5
C ．减函数，最小值是-5
D ．减函数，最大值是-5
4. 已知函数)(1222)(R x a a x f x x ∈+-+⋅=是奇函数，则a 的值为（ ）
A ．1-
B ．2-
C ．1
D ．2
5. f(x)是定义在区间[-5，5]上的偶函数，且f (1) < f (3),下列各式一定成立的是（ ）
A.f(0)>f(5)
B.f(3)<f(2)
C.f(-1)>f(3)
D.f(-3)>f(1)
6.)(x f 在),(b a 和),(d c 都是增函数，若),(),,(21d c x b a x ∈∈，且21x x <则（ ）
A ．)()(21x f x f <
B ．)()(21x f x f >
C ．)()(21x f x f =
D ．无法确定
7. 下列函数为偶函数的是（ ）
A.()x x x f +=
B.()x x x f 12
+= C.()x x x f +=2 D.()2x x x f = 8.已知函数())0(2≠++=a c bx ax x f 为偶函数，那么()cx bx ax x g ++=23是（ ）
A. 奇函数
B. 偶函数
C. 即奇又偶函数
D.非奇非偶函数
9.如果奇函数）（x f 在],[b a 具有最大值）（a f ，那么该函数在],[a b --有 （ ）
A .最大值）（a -f
B .最小值）（a -f
C .最大值）（b -f
D .最小值）（b -f
10.()f x 是定义在R 上的偶函数,且在)0,(-∞上是增函数,则()2f -与()223f a a -+, （a R ∈）的大小关系是（ ）
A ．()2f -<()223f a a -+
B ．()2f -≥()
223f a a -+
C ．()2f ->()223f a a -+
D ．与a 的取值无关若函数
11. 若函数f ( x )=ax 73++bx ,有f ( 5 )= 3则f(－5)= ；
12. 设奇函数 f ( x ) 的定义域为[-5,5].若当x ∈[0,5]
时,f(x)的图象如右图，则不等式()0<x f 的解
是 ； 13. 已知)(x f
是定义在[)2,0-⋃(]0,2上的奇函数， （12题） （13题） 当0>x 时，)(x f 的图象如右图所示，那么f (x ) 的值域是 ； 14. 62)23()(2-++-=k x k k x f 在R 上是增函数且为奇函数, K 的范围为
15 函数)(x f y =在（-1，1）上是减函数，且为奇函数，满足0)2()1(2>-+--a f a a f ，试a 求的范围．
16 若函数)(x f y =对任意,,R y x ∈恒有)()()(y f x f y x f +=+。
（1）求证：)(x f y =是奇函数；
（2）若,)3(m f =-求).12(f
（3）如果0>x 时，0)(<x f 且21)1(-
=f ，试求)(x f 在区间[]6,2-上的最大值和最小值。
322x
y
O。