华东理工大学线性代数 作业簿（第七册）学 院____________专 业____________班 级____________学 号____________姓 名____________任课教师____________5.1 方阵的特征值与特征向量1. 求下列矩阵的特征值与特征向量:(1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=201034011A ; (2)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=122212221A . 解:（1）由 11043012|A I |---=---λλλλ0)1)(2(2=--=λλ，解得A 的特征值为: 2,1321===λλλ,当121==λλ时, 解方程 ()0A I x -=, 由210101420~012101000A I -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 得基础解系为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1211p , 故对应121==λλ的全部特征向量为 )0(1≠k kp ;当23=λ时, 解方程 0)2(=-x E A , 由3101002410010100000A I ~-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 得基础解系为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1002p , 故对应23=λ的全部特征向量为 )0(2≠k kp .解: (2) 由122212221|A I |--=--λλλλ0)5()1(2=-+=λλ,解得A 的特征值为: 5,1321=-==λλλ, 当121==λλ时, 解方程 ()0A I x +=, 由222111222~000222000A I ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 得基础解系为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=0111p , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1011p ，故对应121-==λλ的全部特征向量为 )0(212211≠+k k p k p k ;当53=λ时, 解方程: (5)0A I x -=, 由4221015242~011224000A I --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦, 得基础解系为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113p , 故对应53=λ的全部特征向量为)0(3≠k kp .2. 已知3阶矩阵A 的特征值为2,1,1-,235A A B -=,求B 的特征值. 解: 容易证明， 当λ是A 的特征值时, 则矩阵A 的多项式)(A f 必有特征值)(λf .设235)(A A A f B -==, 则B 有特征值: 4)1(-=f , 6)1(-=-f , 12)2(-=f .3.设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100321z y x A , 且A 的特征值为3,2,1, 求z y x ,,. 解: 0]2))(1)[(1(10321||=----=---=-x y z y x I A λλλλλλλ,因为A 有特征值为3,2,1得: ⎩⎨⎧=----=----0]2)3)(31)[(31(0]2)2)(21)[(21(x y x y ,即⎩⎨⎧=-+=-+03022y x y x , 解得 ⎩⎨⎧=-=41y x , z 无限制, 故 R z y x ∈=-=,1,1.4.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=53342111a A , 且A 有特征值2,6321===λλλ, 则a =( ).(A)2; (B)2-; (C)4; (D)4-.解: B. 一方面24||321==λλλA ； 又)6(653342111||a a A +=---=, 所以得2-=a .5.设向量T k ]1,,1[=α是矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=211121112A 的逆矩阵1-A 的特征向量, 试求常数k 的值.解：设λαα=-1A , 左乘A 得 αλαA =, 即 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1121112111211k k λ, 即⎩⎨⎧+=+=)22()3(1k k k λλ, 解得⎩⎨⎧-==2111k λ,⎩⎨⎧==14122k λ, 故有2-=k 或1=k .6. 设21,ξξ分别是矩阵A 属于不同特征值21,λλ的特征向量, 试证: 21ξξ+不可能是A 的特征向量.解: 设21ξξ+是A 的对应于特征值0λ的特征向量, 即有201021021)()(ξλξλξξλξξ+=+=+A , 另一方面, 又有22112121)(ξλξλξξξξ+=+=+A A A ,综合得0)()(220110=-+-ξλλξλλ,再由定理“矩阵对应于不同特征值的特征向量是线性无关的”, 知必有 ,02010=-=-λλλλ 即得 21λλ=, 与已知条件21λλ≠矛盾, 故命题得证.7. 设B A ,为n 阶矩阵, 证明AB 与BA 有相同的特征根. 证明: 只要证明AB 的特征值都是BA 的特征值即可.如果0是AB 的特征值, 则得 0||=AB , 从而0||||||||===AB B A BA , 故0也是BA 的特征值;再设λ是AB 的任意一个非零特征值, 对应的特征向量为x , 即有x x AB λ=)(,两边左乘B 得 Bx x AB B λ=)(, 即)())((Bx Bx BA λ=,显然0≠Bx （否则有0)()(===Bx A x AB x λ, 得到0=λ, 矛盾）, 故λ也是BA 的特征值, 对应的特征向量为Bx . 8．设A 为实正交矩阵, 即T A A I =, 证明: A 的特征值的绝对值只能是1或1-.证明: 设λ是A 的特征值, x 是对应λ的特征向量, 即有x Ax λ=,所以有x x x x Ax Ax T T T 2)()(λλλ==,另一方面, 又有()T T T T T Ax Ax x A Ax x Ix x x ===,结合上述两式得12=λ, 即1±=λ.5.2 相似矩阵1.已知A 是n 阶可逆矩阵， 如果A 与矩阵B 相似，则下列四个命题中，(1)AB 与BA 相似, (2)2A 与2B 相似, (3)1-A 与1-B 相似, (4)T A 与T B 相似, 正确的命题共有( ).(A)4; (B)3; (C)2; (D)1.解：A. (2)、（3）、（4）显然；（1）成立是因为1()B BA B AB -=.2. 问下列矩阵能否与对角阵相似？为什么？(1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=300320321A ; (2)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=301121402A ; (3) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=201335212A . 解：(1)显然A 有三个不同的特征值3,2,1, 故A 有三个线性无关的特征向量, 从而A 相似于对角阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Λ300020001. (2)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-λλλλ301121402I A , 由0)1()2(2=+--=-λλλI A 得A 的特征值.1,2321-===λλλ再由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-000000101~1011014042I A 知方程组0)2(=-x I A 有两个线性无关的特征向量；而单根13-=λ必有另一特征向量, 故A 有三个线性无关的特征向量，从而三阶矩阵A 能够相似于对角阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-122. (3)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------=-λλλλ201335212I A , 由0)1(3=+-=-λλI A 得A 的特征值.1321-===λλλ再由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=+000110101~101325213I A , 知方程组0)(=+x I A 只有一个线性无关的特征向量, 即三阶矩阵A 没有三个线性无关的特征向量, 故A 不能相似于任何对角矩阵. 3. 设矩阵460350361A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦. (1)证明A 可对角化; (2)计算n A . 解:（1） 由)2()1(2+--=-λλλI A , 可得矩阵A 的特征值位2,1321-===λλλ.对应特征值121==λλ, 有两个线性无关特征向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=0121p , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1002p ； 对应特征值23-=λ, 有一个线性无关特征向量 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1113p ； 因为A 有三个线性无关的特征向量, 所以A 可对角化.取⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==110101102][321p p p P , 则有 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=Λ=-2111AP P ; (2)由（1）知1-Λ=P P A , 而⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-021*******P , 故11)(--Λ=Λ=P P P P A n n n⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=021121011)2(11110101102n nn⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+--+--+--+----=1)2(22)2(10)2(21)2(10)2(22)2(2nn n n n n.4．已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x A 10100002与⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=10000002y B 相似， (1)求y x ,；(2)求一个满足B AP P =-1的可逆阵P . 解: (1)由A 相似于B , 得 ||||I B I A λλ-=-, 即λλλλλλ----=---1000002110002y x ,亦即)1)()(2(]1)()[2(+--=---λλλλλλy x ,解之得 1,0==y x ；(2)A 与B 有相同的特征值1,1,2321-===λλλ,解方程组 0)2(=-x I A , 得特征向量 T p ]0,0,1[1=, 解方程组 0)(=-x I A , 得特征向量 T p ]0,1,0[2=, 解方程组 0)(=+x I A , 得特征向量 T p ]1,1,0[3-=,取 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==110110001],,[321p p p P , 则有B AP P =-1.5.3 实对称矩阵1.求正交矩阵Q , 将下列矩阵正交对角化.(1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=020212022A ; (2) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=542452222A . 解: (1)由λλλλ-------=-20212022||I A )4)(1)(2(--+-=λλλ, 可得特征值为4,1,2321==-=λλλ，当,21-=λ 解方程组0)2(=+x I A , 得基础解系⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2211ξ, 单位化得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=221311q ; 当,12=λ 解方程组0)(=-x I A , 得基础解系⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2122ξ，单位化得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=212312q ; 当,43=λ 解方程组0)4(=-x A , 得基础解系⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1223ξ，单位化得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=122313q ; 取⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==12221222131],,[321q q q Q , 则有 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-4121AQ Q .(2) 由λλλλ-------=-542452222||I A )10()1(2---=λλ, 可得特征值为10,1321===λλλ,当,121==λλ 解方程组0)(=-x I A , 得基础解系⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=0121ξ, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1022ξ，正交化得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==01211ξβ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=><><-=5425101254102,,1111222ββββξξβ, 再单位化得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==01251||111ββq , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==542531||222ββq ; 当,103=λ 解方程组0)10(=-x I A , 得基础解系⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2213ξ,单位化得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=221313q , 取⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--==3253503253451315252],,[321q q q Q , 则有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-10111AQ Q .2. 已知3阶实对称矩阵A 的特征值为6,3,3, 对应于特征值3的特征向量为T ]1,0,1[1-=α, T ]1,2,1[2-=α, 求A 的对应于特征值6的特征向量及矩阵A .解: 实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量是正交的，所以A 的对应特征值6的特征向量为T x x x ],,[3213=α与21,αα都正交，于是得到031=+-x x 和02321=+-x x x ,取一非零解T ]1,1,1[3=α,再取⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==111120111],,[321αααP , 则有1336P AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 所以1336A P P -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1111120111633111120111-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=41114111422212130361633*********.。