2020年荆门市高三年级高考模拟考试
理科数学试题2020.04
全卷满分150分，考试用时120分钟
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知i 是虚数单位，若复数i
i z -=123
，则z =（ ）
A.i -1
B.i +1
C.i --1
D.i +-1 2．已知集合{})3lg(,11x y x B x x
A -==⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧>=，则（ ） A.)1,(-∞=B A I B.)3,0(=B A Y C.φ=B C A R I D.),1[+∞=B A C R Y 3.已知等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，且m a a a =++9513，则
9
7
62S a a -=（ ） A.
5m B.9m C.51 D.9
1 4．已知+
∈R b a ,，则“1>ab ”是“2>+b a ”的（ ）
A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．2019冠状病毒病（ CoronaVirus Disease2019（COVID-19））是由新型冠状病毒（2019-nCo V ）引发的疾病，目前全球感染者以百万计，我国在党中央、国务院、中央军委的坚强领导下，已经率先控制住疫情，但目前疫情防控形势依然严峻，湖北省中小学依然延期开学，所有学生按照停课不停学的要求，居家学习。

小李同学在居家学习期间，从网上购买了一套高考数学冲刺模拟试卷，快递员计划在下午4:00～5:00之间送货到小区门口的快递柜中，小李同学父亲参加防疫志愿服务，按规定，他换班回家的时间在下午4:30～5:00，则小李父亲收到试卷无需等待的概率为（ ） A.
81 B.41 C.43 D.8
7 6．已知][x 表示不超过x 的最大整数，（如1]5.0[,1]2,1[-=-=），执行如图所示的程序框图输出的结果为（ ）
A ，49850
B ．49950 C. 50000 D ．50050
7.在二项式7
2
1)21(x
x +
的展开式中有理项的项数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 8．函数x x x x f sin )(2
+=的图像大致为（ ）
9．已知定义在R 上的函数y=f （x ）是偶函数，且图像关于点（1，0）对称.若当)1,0[∈x 时，
x x f 2
sin
)(π
=，则函数x e x f x g --=)()(在区间]2020,2019[-上的零点个数为（ ）
A ．1009
B ．2019 C.2020 D.4039
10．已函数],0[,cos sin )(2
a x x x x f ∈+=的值域为]4
5,1[，则实数a 的取值范围是（ ）
A.]6,
0(π
B.]3,0(π
C.]2,6[ππ
D.]2
,3[π
π 11．已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的右焦点为F ，直线034=-y x 与双曲线右支交于
点M ，若OF OM =,|则该双曲线的离心率为（ ） A.3 B.2 C.5 D.6
12．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，P 是空间中任意一点，下列正确命题的个数是（ ）
①若P 为棱1CC 中点，则异面直线AP 与CD 所成角的正切值为
2
5； ②若P 在线段B A 1上运动，则1PD AP +的最小值为
2
2
6+； ③若P 在半圆弧CD 上运动，当三棱锥ABC P -ABC P -的体积最大时，三棱锥ABC P -外接球的表面积为π2；
④若过点P 的平面α与正方体每条棱所成角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为
4
3
3 A ．1个 B ．2个 C. 3个 D ．4个 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知)3,0(),2,1(-==，则向量b 在向量a 方向上的投影为 ． 14．一般都认为《九章算术》是中国现存最古老的数学著作。

然而，在1983年底到1984年初，在荆州城西门外约1.5公里的张家山247号墓出士的《算数书》，比现有传本《九章算术》还早二百年，某高校数学系博士研究生5人，现每人可以从《算数书》、《九章算术》、《周髀算经》、《孙子算经》、《术》等五部著作（每部著作有多本）中任意选择一部进行课题研究，则恰有两部没有任何人选择的情况有 种.（请用数字作答）
15．已知曲线y x 82
=Γ：的焦点为F ，点P 在曲线Γ上运动，定点A （0．-2），则PA
PF 的最
小值为 ．
16．定义：若数列{n t }满足)
()
(1n n n n t f t f t t '-
=+,则称该数列为“切线一零点数列”已知函数
q px x x f ++=2)(有两个零点1，2，数列{n x }为“切线一零点数列”，设数列{n x }满足
2,1
2
ln
,21>--==n n n n x x x a a ，数列{n x }的前n 项和为n S 。

，则2020S = ． 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步。

第17～21为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分 17．（本题12分
已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边是a ，b ，c ，且满足（a-b ）sinA= csinC- bsinB （1）求角C; （2）若2,2
1
==c AB AD 求CD 的最大值.
18．（本题12分）
在平行国边形EABC 中，D E EC EA ,45,22,4ο
=∠==是EA 的中点（如图1），将ECD ∆沿CD 折起到图2中△PCD 的位置，得到四棱锥是ABCD P -.
图1 图2 （1）求证：CD ⊥平面PDA ；
（2）若PD 与平面ABCD 所成的角为60°．且△PDA 为锐角三角形，求平面PAD 和平面PBC 所成锐二面角的余弦值。

19．（本题12分）
某学校为进一步规范校园管理，强化饮食安全，提出了“远离外卖，健康饮食”的口号.当
然，也需要学校食堂能提供安全丰富的菜品来满足同学们的需求．在学期末，校学生会为了调研学生对本校食堂A部和B部的用餐满意度，从在A部和B部都用过餐的学生中随机抽取了200人，每人分别对其评分，满分为100分．随后整理评分数据，将分数分成6组：第1组[40，50），第2组[50，60），第3组[60，70），第4组[70，80），第5组[80，90），第6组[90，100]，得到A部分数的频率分布直方图和B部分数的频数分布表.
（1）求A部得分的中位数（精确到小数点后一位）；
（2）A部为进一步改善经营，从打分在80分以下的前四组中，采用分层抽样的方法抽取8人进行座谈，再从这8人中随机抽取3人参与“端午节包粽子”实践活动，在第3组抽到1人的情况下，第4组抽到2人的概率；
（3）如果根据调研结果评选学生放心餐厅，应该评选A部还是B部（将频率视为概率）20．（本题12分）
已知椭圆13
42
2=+y x E ：的左焦点为F ，点M （-4，0）
，过M 的直线与椭圆E 交于A ，B 两点，线段AB 中点为C ，设椭圆E 在A ，B 两点处的切线相交于点P ，O 为坐标原点.
（1）证明：O 、C 、P 三点共线；
（2）已知B A ''是抛物线)0(22
>=p py x 的弦，所在直线过该抛物线的准线与y 轴的交点，P '是弦B A ''在两端点处的切线的交点，小明同学猜想：P '在定直线上.你认为小明猜想合理吗?若合理，请写出P '所在直线方程；若不合理，请说明理由.
21．（本题12分）
设函数)1ln(2)(2
+-+=x a x x x f .
（1）讨论f （x ）的单调性； （2）设x
e x
f x
g -+=)()(，若1
1
)(+>
x x g 在（0．+∞）上恒成立，求a 的取值范围.
（二）选考题：共10分。

请考生在22、23两题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修44：坐标系与参数方程]（本题10分）
在平面直角坐标系xOy ，以坐标原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是12cos 2
=θρ，直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨
⎧=-=t
y t x 33（t 为参数）
（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；
（2）设点P 的直角坐标为（3-，0），直线l 与曲线C 相交于AB 两点，求PB
PA 1
1+.
23．[选修45：不等式选讲]（本题10分）②
已知函数)(221)(R x x x x f ∈-+-=，记f （x ）的最小值m
（1）解不等式f （x ）5≤；
（2）若a+2b+3c=m ，求2
2
2
c b a ++的最小值.。