2019年重庆一中高2021级高一下期期末考试数学试题卷 2019.7数学试题共4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，每小题只有一项符合题目要求)1.设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝()A.5B.7C.9D.112.某城市修建经济适用房.已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭360户、270户、180户，若首批经济适用房中有90套住房用于解决住房紧张问题，采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为()A.40B.36C.30D.203.已知向量a＝(1，2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝6”是“a∥(a＋b)”的()A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是()A.若m∥α，n∥α，则m∥nB.若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC.若m⊥α，m⊥n，则n∥αD.若m∥α，m⊥n，则n⊥α5.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB⃑⃑⃑⃑⃑ =( )A.34AB⃑⃑⃑⃑⃑ −14AC⃑⃑⃑⃑⃑ B.14AB⃑⃑⃑⃑⃑ −34AC⃑⃑⃑⃑⃑ C.34AB⃑⃑⃑⃑⃑ +14AC⃑⃑⃑⃑⃑ D.14AB⃑⃑⃑⃑⃑ +34AC⃑⃑⃑⃑⃑6.在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为32，则BC的长为()A.32 B.3 C.2 3 D.27.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误的是()A. 收入最高值与收入最低值的比是3:1B. 结余最高的月份是7月份C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D.前6个月的平均收入为40万元（注：结余=收入-支出）8.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为() A.53B.103C.56D.1169.若ab b a 24log )43(log =+ ,则b a +的最小值是（） A.326+B.327+C.346+D.347+10.如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，NB ＝2PN ，则三棱锥N －PAC 与三棱锥D －PAC 的体积比为( ) A.1∶2 B.1∶8 C.1∶3D.1∶611.已知四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，其中ABCD 为正方形，PAD ∆为等腰直角三角形，2PA PD ==，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积为（ ） A ．10π B ．4π C. 16πD ．8π12.在△ABC 中，已知9,sin cos sin ,6ABC AB AC B A C S ∆⋅==⋅=，P 为线段AB 上的点，且,||||CA CBCP x y xy CA CB =⋅+⋅则的最大值为（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．6二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13．某校女子篮球队7名运动员身高(单位：cm)分布的 茎叶图如图，已知记录的平均身高为175 cm ，但记录中 有一名运动员身高的末位数字不清晰，如果把其末位数 字记为x ，那么x 的值为________.14.在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3＝2－1，a 5＝2＋1，则a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7＝___. 15.如图所示，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， D 是AC 的中点，AA 1∶AB ＝2∶1，则异面 直线AB 1与BD 所成的角为________.16.(原创)在△ABC 中，若3cos 3cos 2a B b A b +=，点E ，F 分别是AC ，AB 的中点， 则BECF的取值范围为． 三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.(本小题满分10分)已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n ＋12a n ＝1(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设))(1(log 131*+∈-=N n S b n n ，令T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1，求T n .18.(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点．(1)求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1； (2)求证：C 1F ∥平面ABE ；19.(本小题满分12分)某网站推出了关于扫黑除恶情况的调查，调查数据表明，扫黑除恶仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占%80．现从参与关注扫黑除恶的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组)25,15[，第2组)35,25[，第3组)45,35[，第4组)55,45[，第5组)65,55[，得到的频率分布直方图如图所示． （1）求出a 的值；（2）求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该 区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；20.(本小题满分12分)如图所示，平面ABCD ⊥平面BCE ，四边形ABCD 为矩形，BC ＝CE ，点F 为CE 的中点.(1)若BE=BC=CD=2，求三棱锥BFC D -的体积；(2)点M 为CD 上任意一点，在线段AE 上是否存在点P ，使得PM ⊥BE ？若存在，确定点P 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.21.(本小题满分12分)在中，角所对的边分别为，，，且．（1）求角的值；（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围．22.(原创)(本小题满分12分)已知数列,8,1},{21==a a a n 且)(244*12N n a a a n n n ∈--=++ (1)设n n n a a b 21-=+，证明数列}2{-n b 是等比数列，并求数列}{n a 的通项； (2)若n n a c 1=，并且数列}{n c 的前n 项和为n T ，不等式36445k T n ≤对任意正整数n 恒成立，求 正整数k 的最小值。

（注：当4≥n 时，则n n 221≥-）ABC ∆,,A B C ,,a b c (sin ,sin sin )m A B C =-(3,)n a b b c =-+m n ⊥C ABC ∆1c =3a b -)2(2+n n 参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符11由S 1＋12a 1＝1，得a 1＝23，当n ≥2时，S n ＝1－12a n ，S n －1＝1－12a n －1， 则S n －S n －1＝12(a n －1－a n )，即a n ＝12(a n －1－a n )， 所以a n ＝13a n －1(n ≥2).故数列{a n }是以23为首项，13为公比的等比数列. 故a n ＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n(n ∈N *). (2)因为1－S n ＝12a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n.所以b n ＝31log (1－S n ＋1)＝31log ⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1＝n ＋1，因为1b n b n ＋1＝1（n ＋1）（n ＋2）＝1n ＋1－1n ＋2， 所以T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2= 18.(1)证明：在三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC ，所以BB 1⊥AB . 又因为AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面B 1BCC 1.所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.(2)证明：取AB 的中点G ，连接EG ，FG .因为E ，F ，G 分别是A 1C 1，BC ，AB 的中点，所以FG ∥AC ，且FG ＝12AC ，EC 1＝12A 1C 1. 因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1， 所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1， 所以四边形FGEC 1为平行四边形， 所以C 1F ∥EG .又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ， 所以C 1F ∥平面ABE . 19.(1)由，得.(2)平均数为；岁； 设中位数为，则岁.20.(1)解：因为平面ABCD ⊥平面BCE ，四边形ABCD 为矩形，DC ⊥BC ，所以DC ⊥平面BCE ，332)3121(3131=⨯⨯⨯⨯==∆-DC S V BFC BFC D(2)解 当P 为AE 中点时，有PM ⊥BE ，证明如下：取BE 中点H ，连接DP ，PH ，CH ，∵P 为AE 的中点，H 为BE 的中点， ∴PH ∥AB ，又AB ∥CD ，∴PH ∥CD ，∴P ，H ，C ，D 四点共面. ∵平面ABCD ⊥平面BCE ，平面ABCD ∩平面BCE ＝BC ， CD ⊂平面ABCD ，CD ⊥BC .∴CD ⊥平面BCE ，又BE ⊂平面BCE ，∴CD ⊥BE ，∵BC ＝CE ，H 为BE 的中点，∴CH ⊥BE ，又CD ∩CH ＝C ，∴BE ⊥平面DPHC ，又PM ⊂平面DPHC ，∴BE ⊥PM ，即PM ⊥BE . 21.（2）由（1）得，即，又为锐角三角形，故，从而，由，所以，故， 所以．由，所以，所以，即 22.（1）证明：222442222222111121=----=----=--++++++n n n n n n n n n n a a a a a a a a b b ，而421=-b ∴}2{-n b 是以4为首项2为公比的等比数列，122+=-n n b221+=+n n b 即22211+=-++n n n a a ，nn n n n a a 2112211+=-++累加法可求出121212-⎪⎭⎫⎝⎛-+=n n n n a ∴22)12(1-+=-n n n a （2）22)12(111-+==-n n n n a c ，261,81,1321===c c c 09.8364451≥⇒≤k k T ，1.9364452≥⇒≤k k T ，41.9364453≥⇒≤k k T由条件知当4≥n 时，n n 221≥-，即)121121(21)12)(12(1)12)(22(1224122)12(121+--=-+<-+=-+≤-+=-n n n n n n n n n c n n ∴)12(21728899)12171(21104121)(154321+-=+-+<+++++++=-n n c c c c c c c T n n n9.936445728899≥⇒≤<k k 而*N k ∈综上所述k 的最小值为10.56A B π+=56B A π=-ABC ∆506202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩32A ππ<<1c =1sin sin sin6a bA Bπ==2sin ,2sin a A b B ==2sin 2sin()6b A B A A π-=-=-+2sin cos 2cos sin cos 2sin()666A A A A A A πππ=--=-=-32A ππ<<663A πππ<-<1sin()262A π<-<b -∈。