第三章 刚体力学3－1 一通风机的转动部分以初角速度ω0绕其轴转动，空气的阻力矩与角速度成正比，比例系数C 为一常量。

若转动部分对其轴的转动惯量为J ，问：（1）经过多少时间后其转动角速度减少为初角速度的一半？（2）在此时间内共转过多少转？ 解：（1）由题可知：阻力矩ωC M -=，又因为转动定理 dtd JJ M ωβ== dtd JC ωω=-∴ dt JC d t ⎰⎰-=∴00ωωωω t JC-=0lnωω t JCe-=0ωω当021ωω=时，2ln CJt =。

（2）角位移⎰=tdt 0ωθ⎰-=2ln 00C J t JC dt eωCJ 021ω=，所以，此时间内转过的圈数为CJ n πωπθ420==。

3－2 质量面密度为σ的均匀矩形板，试证其对与板面垂直的，通过几何中心的轴线的转动惯量为)(1222b a ab J +σ=。

其中a ，b 为矩形板的长，宽。

证明一：如图，在板上取一质元dxdy dm σ=，对与板面垂直的、通过几何中心的轴线的转动惯量为 dm r dJ ⎰=2dxdy y x a a b b σ⎰⎰--+=222222)()(1222b a ab +=σ证明二：如图，在板上取一细棒bdx dm σ=，对通过细棒中心与棒垂直的转动轴的转动惯量为2121b dm ⋅，根据平行轴定理，对与板面垂直的、通过几何中心的轴线的转动惯量为22)2(121x adm b dm dJ -+⋅=dx x ab dx b 23)2(121-+=σσ 33121121ba a b dJ J σσ+==∴⎰)(1222b a ab +=σ3-3 如图3-28所示，一轻绳跨过两个质量为m 、半径为r 的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为m 2和m 的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，求重物的加速度和各段绳中的张力。

解：受力分析如图ma T mg 222=- （1） ma mg T =-1 （2） βJ r T T =-)(2 （3） βJ r T T =-)(1 （4）βr a =，221mr J =(5) 联立求出g a 41=， mg T 811=，mg T 451=，mg T 232=3-4 如图3-29所示，一均匀细杆长为L ，质量为m ，平放在摩擦系数为μ的水平桌面上，设开始时杆以角速度0ω绕过细杆中心的竖直轴转动，试求：（1）作用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停止转动。

（1） 解：设杆的线lm=λ，在杆上取一小质元dx dm λ= gdx dmg df μλμ==gxdx dM μλ= 考虑对称 mgl gxdx M l μμλ⎰==20412（2） 根据转动定律d M J J dtωβ==⎰⎰=-tw Jd Mdt 0ω图3-28 习题3-3图图3-29 习题3-4图T0212141ωμml mglt -=-所以 glt μω30=3－5 质量为m 1和m 2的两物体A 、B 分别悬挂在如本题图所示的组合轮两端。

设两轮的半径分别为R 和r ，两轮的转动惯量分别为J 1和J 2，轮与轴承间的摩擦力略去不计，绳的质量也略去不计。

试求两物体的加速度和绳中的张力。

解：分别对两物体做如图的受力分析。

根据牛顿定律，有1111a m T g m =- a m g m T 222=-又因为组合轮的转动惯量是两轮惯量之和，根据转动定理有α)(2121J J r T R T +=-而且，αR a =1，αr a =2，gR r m R m J J rm R m a 222121211+++-=∴gr r m R m J J rm R m a 222121212+++-=g m r m R m J J Rrm r m J J T 1222121222211++++++=g m rm R m J J Rrm R m J J T 2222121121212++++++= 3－6 如本题图所示装置，定滑轮的半径为r ，绕转轴的转动惯量为J ，滑轮两边分别悬挂质量为m 1和m 2的物体A 、B 。

A 置于倾角为θ的斜面上，它和斜面间的摩擦因数为μ。

若B 向下作加速运动时，求：（1）其下落加速度的大小；（2）滑轮两边绳子的张力。

（设绳的质量及伸长均不计，绳与滑轮间无滑动，滑轮轴光滑） 解:A 、B 物体的受力分析如图。

根据牛顿定律有 1111sin a m f g m T =--θ2222a m T g m =-对滑轮而言，根据转动定律有 αJ r T r T =-12由于绳子不可伸长、绳与轮之间无滑动，则 αr a a ==21gg22a 222111221cos sin r J m m g m g m g m a a ++--==∴θμθ22121211)cos (sin )cos sin 1(r J m m r J g m g m m T ++++++=θμθθμθ 22122212)cos sin 1(r J m m r J g m g m m T +++++=θμθ3-7 如图3-32所示，定滑轮转动惯量为 J ，半径为 r ；物体的质量为 m ，用一细绳与劲度系数为 k 的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计。

当绳拉直、弹簧无伸长时使物体由静止开始下落。

求：（1）物体下落的最大距离；(2) 物体的速度达最大值时的位置。

解：（1）机械能守恒。

设下落最大距离为hmgh kh =221 kmgh 2=（2）mgx J mv kx =++222212121ω12222mgx kx v J m r ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥+⎢⎥⎣⎦若速度达最大值，0=dx dv ，kmgx =3-8 如图3-33所示，一轻弹簧与一均匀细棒连接，装置如图所示，已知弹簧的劲度系数N/m 40=k ，当0θ=时弹簧无形变，细棒的质量kg 0.5=m ，求在0θ=的位置上细棒至少应具有多大的角速度ω，才能转动到水平位置？解：机械能守恒22212121kx J mg =+ω根据几何关系 22215.1)5.0(+=+x 128.3-⋅=s rad ω3-9 如图3-34所示，一质量为m 、半径为R 的圆盘，可绕过O 点的水平轴在竖直面内转动。

若盘从图中实线位置开始由静止下落，略去轴承的摩擦，求：（1）盘转到图中虚线所示的铅直位置时，质心C 和盘缘A 点的速率；（2）在虚线位置轴对圆盘的作用力。

图3-32 习题3-7图图3-33 习题3-8图解：在虚线位置的C 点设为重力势能的零点，下降过程机械能守恒221ωJ mgR =2221mR mR J += Rg34=ω 34RgR v c ==ω 1623A Rgv R ω==273y F mg mR mg ω=+=方向向上3-10 如图3-35所示，一质量为m 的质点以v 的速度作匀速直线运动。

试证明：从直线外任意一点O 到质点的矢量r 在相同的时间内扫过的面积相同。

解：质点不受任何力作用才会作匀速直线运动，因而它对O 点的力矩也为零，即对O 点的角动量守恒 =θsin mvr 常量。

另一方面，矢量r 在单位时间内扫过的面积：θsin 21vr S =∆=常量。

3-11 如图3-36所示，质量m 的卫星开始时绕地球作半径为r 的圆周运动。

由于某种原因卫星的运动方向突然改变了θ =30°角，而速率不变，此后卫星绕地球作椭圆运动。

求（1）卫星绕地球作圆周运动时的速率v ；（2）卫星绕地球椭圆运动时，距地心的最远和最近距离1r 和2r 。

解：（1）由 r v m r mM G 22=，得 rGMv =（2）卫星在运动过程中对地心的角动量守恒和机械能守恒：221130cos mv r mv r mv r ⋅=⋅=⋅222221212212121r mM G mv r mM G mv r mM G mv -=-=- 其中，1v 、2v 分别是卫星在远地点与近地点时的速率，可求出r r 231=，r r 212= 3－12 如本题图所示，质量为M 长为L 的均匀直杆可绕过端点o 的水平轴转动，一质量为m 的质点以水平速度v 与静止杆的下端发生碰撞，如图示，若M =6m ，求质点与杆分别作完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞后杆的角速度大小。

解：（1）质点与杆完全弹性碰撞，则能量守恒2122212121mv J mv +=ω 又因为角动量守恒 ωJ Lmv Lmv +=1且 231ML J =，m M 6=图3-34 习题3-9图图3-35 习题3-10图图3-36 习题3-11图Lo M m v习题3-7图Lv 32=∴ω (2) 完全非弹性碰撞，角动量守恒 ωJ Lmv Lmv +=2 又 L v ω=2 Lv3=∴ω3－13如本题图所示，A 与B 两飞轮的轴杆由摩擦啮合器连接，A 轮的转动惯量J 1=10.0kg·m 2，开始时B 轮静止，A 轮以n 1=600r/min 的转速转动，然后使A 与B 连接，因而B 轮得到加速而A 轮减速，直到两轮的转速都等于n=200r/min 为止。

求：（1）B 轮的转动惯量；（2）在啮合过程中损失的机械能。

解：（1）取两飞轮为系统，啮合过程中系统角动量守恒，即22111)(ωωJ J J +=112n πω= 222n πω=所以B 轮的转动惯量为2122120.20m kg J n n n J ⋅=-=（2）啮合过程中系统机械能变化J J J J E 421122211032.121)(21⨯-=-+=∆ωω3-14 如图3-39所示，长为l 的轻杆（质量不计），两端各固定质量分别为m 和m 2的小球，杆可绕水平光滑固定轴O 在竖直面内转动，转轴O 距两端分别为l 31和l 32。

轻杆原来静止在竖直位置。

今有一质量为m 的小球，以水平速度v 0与杆下端小球m 作对心碰撞，碰后以021v 的速度返回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度。

解：根据角动量守衡 有022021322)3()32(32v ml m l m l l mv ⋅-⋅+=ωω lv 230=ω3-15 如图3-40所示，有一空心圆环可绕竖直轴OO ′自由转动，转动惯量为J 0 ，环的半径为R ，初始的角速度为ω0 ，今有一质量为m 的小球静止在环内A 点，由于微小扰动使小球向下滑动。

问小球到达B 、C 点时，环的角速度与小球相对于环的速度各为多少？ (假习题3－13图图3-39 习题3-14图设环内壁光滑。

)解: (1)小球与圆环系统对竖直轴的角动量守恒，当小球滑至B 点时，有 ωω)(2000mR I I += ①该系统在转动过程中，机械能守恒，设小球相对于圆环的速率为B v ，以B 点为重力势能零点，则有222020021)(2121B mv mR I mgR I ++=+ωω ②联立①、②两式，得2022002mR I RI gR v B ++=ω(2)当小球滑至C 点时，∵0I I c = ∴0ωω=c故由机械能守恒，有221)2(c mv R mg =∴ gR v c2=3－16一长为2L 的均匀细杆，一端靠墙上，另一端放在的水平地板上，如本题图所示，所有的摩擦均可略去不计，开始时细杆静止并与地板成θ0角，当松开细杆后，细杆开始滑下。