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高一数学讲义幂函数

幂函数
知能点全解:
一、定义:一般地,我们把形如()a y x a R =∈的函数叫做幂函数,其中a 为常数。

二、性质:
1、所有的幂函数在()0,+∞都有定义,并且图像都通过点()1,1;
2、如果0a >,则幂函数的图像经过原点,并且在区间[)0,+∞上为增函数;如果0a <,则幂函数的图像不经过原点,并且在区间()0,+∞上为增函数
3、幂函数的图像及其奇偶性:
令a q
p
=(p 、q 互质)
a <0
0<a <1 a >1 q p
y x =(p 、q 互质)
p 、q 是奇数
p 是奇数、q 是偶数
p 是偶数、q 是奇数
y x =
0y x =
三、如右图,,,,,a b c d e f 的大小关系为: a b c d e f <<<<<
典型题型全解
题型一:幂函数的基本概念和性质的辨析 及时演练:
1、下列函数中,定义域和值域不同的是( )
A 、13y x =
B 、12y x =
C 、53y x =
D 、 23
y x = 2、下列命题中正确的是( )
A 、当0n =时,函数n y x =的图像是一条直线
B 、幂函数的图像都经过点()()0,0,1,1
C 、幂函数的图像不可能出现在第四象限
D 、若幂函数n y x =是奇函数,则n y x =在其定义域上一定是增函数 3、下列函数中,不是幂函数的是( )
A 、y x =
B 、3y x =
C 、2x y =
D 、1y x -= 4、下列函数中,定义域为R 的是( )
A 、32
y x = B 、3y x = C 、2x y = D 、1y x -= 5、若()
1
3
1x --有意义,则x ∈ 。

6、()2
1
m
m f x x ++=的定义域为 。

7、值域是()0,+∞的函数是( )
A 、125x
y -= B 、113x
y -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
C 、12x
y =- D 、23
y x =
题型二 :幂函数的图像
例 1:右图中是幂函数n y x =在第一象限的图像,已知n 取12,2
±±四个值,则相应于曲线
1234,,,C C C C 的n 依次为( )
A 、112,,,222--
B 、11
2,,,222--
C 、11,2,2,22--
D 、112,,2,22--
及时演练:
1、将1113
2
213
2
2
,,,,,,,y x y x y x y x y x y x y x y x ---========填入对应图像下面。

2、n m
y x =(m 为不为零的偶数,n 为奇数,且0mn <),那么它的大致图像是( )
(A ) (B ) (C ) (D )
3、在同一坐标系内,函数a y x =(0a ≠)和1
y ax a
=+的图像应是( )
(A ) (B ) (C ) (D ) 4、函数()1,2n
y x n N n -=∈>的图像大致形状是:
( )
(A )
(B ) (C ) (D )
5、幂函数m n y x =(m 、n 为互质的正整数)图像如图,则m 、n 之间的关系为( )
A 、m 、n 为奇数,01m
n
<< B 、n 为奇数,m 为偶数,1m n >
C 、n 为奇数,m 为偶数,01m n <<
D 、n 为偶数,m 为奇数,01m
n <<
6、函数3
y x =与13
y x =的图像关于 对称。

7、使23x x >成立的x 的取值范围为 。

8、如果幂函数a y x =的图像,当01x <<时,在直线y x =上方,那么a 的取值范围为 。

9、幂函数p y x =与q y x =的图像都经过定点 ,若它们在第一象限部分关于直线y x =对称,则,p q 应满足的条件是 。

题型三 :函数值的大小比较 例 2 :比较下列各组数的大小
(1)3
2
3-和32
3.1-;(2)78
8--和78
19⎛⎫- ⎪⎝⎭ ;(3)23
23-⎛⎫- ⎪⎝⎭和23
6π-⎛⎫- ⎪⎝⎭
; (4)22
53
4.1,3.8-和()351.9-
解:(1)函数32
y x -
=在()0,+∞上为减函数,又3 3.1<,所以32
3-
>32
3.1-。

(2)778
8
18
8-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,函数78
y x =在()0,+∞上为增函数,又1189>,则778
8
1189⎛⎫⎛⎫
> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,所以
7
7
8
8
1189⎛⎫⎛⎫
-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

(3)
222
333
223
,
332
--
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-==
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
222
333
6
66
ππ
π
--
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-==
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
,函数
2
3
y x
=在()
0,+∞上为增函数,
又36

<,则
2
3
36

2
3
⎛⎫⎛⎫
<
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
,所以
2
3
2
3
-
⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
<
2
3
6
π-
⎛⎫
- ⎪
⎝⎭。

(4)
22
55
4.111,
>=
22
33
3.811
--
<=,()35
1.90
-<;所以
22
53
4.1 3.8-
>()35
1.9
>-。

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