《数列》单元练习试题一、选择题1．已知数列}{n a 的通项公式432--=n n a n （∈n N *），则4a 等于（ ）(A ）1 (B ）2 （C)3 (D ）02．一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么( ）(A)它的首项是2-，公差是3 （B ）它的首项是2，公差是3-（C ）它的首项是3-，公差是2 （D ）它的首项是3，公差是2-3．设等比数列}{n a 的公比2=q ，前n 项和为n S ,则=24a S （ ） （A ）2 （B ）4 （C ）215 （D ）217 4．设数列{}n a 是等差数列，且62-=a ，68=a ,n S 是数列{}n a 的前n 项和,则( ）（A ）54S S < (B ）54S S = (C ）56S S < (D ）56S S =5．已知数列}{n a 满足01=a ，1331+-=+n n n a a a （∈n N *),则=20a （ ）(A)0 （B ）3- (C ）3 （D ）23 6．等差数列{}n a 的前m 项和为30，前m 2项和为100，则它的前m 3项和为（ ）（A ）130 （B)170 （C ）210 （D ）2607．已知1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等比数列，公比1≠q ，则（ ）（A ）5481a a a a +>+ （B ）5481a a a a +<+(C ）5481a a a a +=+ （D)81a a +和54a a +的大小关系不能由已知条件确定8．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有（ ）（A ）13项 （B ）12项 （C ）11项 （D ）10项9．设}{n a 是由正数组成的等比数列,公比2=q ，且30303212=⋅⋅⋅⋅a a a a ，那么30963a a a a ⋅⋅⋅⋅ 等于（ ）(A ）210 （B ）220 （C ）216 (D ）21510．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…,由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地,称图2中的1，4，9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ )（A ）289 (B ）1024 （C ）1225 (D ）1378二、填空题11．已知等差数列}{n a 的公差0≠d ，且1a ，3a ,9a 成等比数列,则1042931a a a a a a ++++的值是 ． 12．等比数列}{n a 的公比0>q ．已知12=a ，n n n a a a 612=+++，则}{n a 的前4项和=4S ．13．在通常情况下,从地面到10km 高空,高度每增加1km ，气温就下降某一固定值．如果1km高度的气温是8.5℃，5km 高度的气温是－17。

5℃，那么3km 高度的气温是 ℃．14．设21=a ，121+=+n n a a ，21n n n a b a +=-,∈n N ＊，则数列}{n b 的通项公式=n b ． 15．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，则4S ,48S S -,812S S -，1216S S -成等差数列．类比以上结论有：设等比数列}{n b 的前n 项积为n T ，则4T , , ，1216T T 成等比数列． 三、解答题16．已知}{n a 是一个等差数列，且12=a ，55-=a ．（Ⅰ)求}{n a 的通项n a ；(Ⅱ）求}{n a 的前n 项和n S 的最大值．17．等比数列}{n a 的前n 项和为n S ,已知1S ，3S ，2S 成等差数列．（Ⅰ)求}{n a 的公比q ;（Ⅱ)若331=-a a ，求n S ．18．甲、乙两物体分别从相距70m 的两处同时相向运动．甲第1分钟走2m ，以后每分钟比前1分钟多走1m,乙每分钟走5m ．（Ⅰ）甲、乙开始运动后几分钟相遇？（Ⅱ）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？19．设数列}{n a 满足333313221n a a a a n n =++++- ，∈n N ＊． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项；（Ⅱ)设nn a n b =,求数列}{n b 的前n 项和n S ．20．设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知11=a ,241+=+n n a S ．（Ⅰ）设n n n a a b 21-=+，证明数列}{n b 是等比数列；(Ⅱ)求数列}{n a 的通项公式．21．已知数列{}n a 中，12a =，23a =，其前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+（2n ≥,*n ∈N )．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式;（Ⅱ）设n a n n n b 2)1(41⋅-+=-λ(λ为非零整数,*n ∈N ）,试确定λ的值，使得对任意*n ∈N ，都有n n b b >+1成立．《数列》单元测试题 参考答案一、选择题1．D 2．A 3．C 4．B 5．B6．C 7．A 8．A 9．B 10．C二、填空题11．1613 12．215 13．－4.5 14．12+n 15．48T T ，812T T 三、解答题 16．（Ⅰ）设}{n a 的公差为d ，则⎩⎨⎧-=+=+.54,111d a d a 解得⎩⎨⎧-==.2,31d a ∴52)2()1(3+-=-⨯-+=n n a n ．（Ⅱ)4)2(4)2(2)1(322+--=+-=-⨯-+=n n n n n n S n ． ∴当2=n 时,n S 取得最大值4．17．（Ⅰ)依题意，有3212S S S =+，∴)(2)(2111111q a q a a q a a a ++=++,由于01≠a ，故022=+q q ，又0≠q ，从而21-=q ． (Ⅱ）由已知,得3)21(211=--a a ,故41=a , 从而])21(1[38)21(1])21(1[4n n n S --=----⨯=． 18．（Ⅰ）设n 分钟后第1次相遇，依题意，有7052)1(2=+-+n n n n ， 整理，得0140132=-+n n ,解得7=n ,20-=n (舍去）．第1次相遇是在开始运动后7分钟．（Ⅱ)设n 分钟后第2次相遇,依题意，有70352)1(2⨯=+-+n n n n ， 整理，得0420132=-+n n ，解得15=n ,28-=n (舍去)．第2次相遇是在开始运动后15分钟．19．（Ⅰ)∵333313221n a a a a n n =++++- ， ① ∴当2≥n 时，31333123221-=++++--n a a a a n n ． ② 由①－②，得3131=-n n a ,n n a 31=． 在①中,令1=n ，得311=a ． ∴n n a 31=，∈n N *． （Ⅱ）∵nn a n b =,∴n n n b 3⋅=， ∴n n n S 33332332⋅++⨯+⨯+= ， ③∴14323333233+⋅++⨯+⨯+=n n n S ． ④由④－③，得)3333(32321n n n n S ++++-⋅=+ ， 即31)31(3321---⋅=+n n n n S ， ∴4343)12(1+-=+n n n S ． 20．（Ⅰ）由11=a ，241+=+n n a S ,有24121+=+a a a ，∴52312=+=a a ，∴32121=-=a a b ． ∵241+=+n n a S ， ①∴241+=-n n a S (2≥n ）， ②由①－②，得1144-+-=n n n a a a ，∴)2(2211-+-=-n n n n a a a a ，∵n n n a a b 21-=+,∴12-=n n b b ，∴数列}{n b 是首项为3，公比为2的等比数列．（Ⅱ）由(Ⅰ），得11232-+⋅=-=n n n n a a b ，∴432211=-++n n n n a a , ∴数列}2{n n a 是首项为21，公差为43的等差数列, ∴414343)1(212-=⨯-+=n n a n n , ∴22)13(-⋅-=n n n a ．21．（Ⅰ）由已知，得()()111n n n n S S S S +----=（2n ≥，*n ∈N ）， 即11n n a a +-=（2n ≥，*n ∈N ），且211a a -=,∴数列{}n a 是以12a =为首项，1为公差的等差数列, ∴1n a n =+．（Ⅱ)∵1n a n =+,∴114(1)2n n n n b λ-+=+-⋅，要使n n b b >+1恒成立，∴()()112114412120n n n n n n n n b b λλ-++++-=-+-⋅--⋅>恒成立， ∴()11343120n n n λ-+⋅-⋅->恒成立， ∴()1112n n λ---<恒成立．（ⅰ）当n 为奇数时，即12n λ-<恒成立， 当且仅当1n =时,12n -有最小值为1，∴1λ<．（ⅱ)当n 为偶数时,即12n λ->-恒成立, 当且仅当2n =时，12n --有最大值2-，∴2λ>-． ∴21λ-<<，又λ为非零整数，则1λ=-．综上所述,存在1λ=-,使得对任意*n ∈N ,都有1n n b b +>．。