下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
(1) 函数可微
偏导数存在
(2) 偏导数连续
函数可微
14
定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,
则该函数在该点偏导数
必存在,且有
d z z x z y x y
证: 由全增量公式
得到对 x 的偏增量
x x
x
z lim x z A x x0 x
z x (1, 2)
z x1 1 3y y2
z
y (1, 2)
3
例2
求
f (x, y) x y yx (x 1)2 ( y 2)3 arctan
fx (1,2), f y (1,2)
ex 4 y2 1
解 : f x (1,2) [ f (x,2)] x1 [ x2 2x 0] x1
2z y 2
2x3 18xy
3z 6y2
x3
11
三、函数全微分
二元函数
当x, y 取得增量x, y 时如何方便
求出全增量 Z f x x, y y f x, y
引例:设有一圆柱体,受压后方式变形,它的底面半径由
r 变化到 r r, 高度由 h 变化到 h h. 问圆柱体体积
V 改变了多少.
z [ fx ( 0, 0)x f y ( 0, 0)y]
x y (x)2 (y)2
x y (x)2 (
y)
2
0
o( ) 因此,函数在点 (0,0) 不可微 .
注: 此为证明二元函数可微的方法!
16
定理2 (充分条件) 若函数
的偏导数 z , z x y
在点 (x, y) 连续, 则函数在该点可微分.且
数可以选择方便的求导顺序.
10
例 2 设z x3 y2 3 xy3 xy 1，
求
2z x2
、
2z yx
、
2z xy
、
2z y 2
及3z x 3
.
解 z 3x2 y2 3 y3 y, z 2x3 y 9xy2 x;
x
y
2z 6xy2, x 2
2z yx
6x2y 9y2
1
2z xy
u z(1 xz) yz ln1 xz
y 将 x, y 看作常数, u 是关于 z 的幂指数函数.
先将函数变形后求导有
lnu yz ln1 xz
或 u e yzln1xz
u (1 xz) yz[ y ln1 xz xyz ]
z
1 xz
5
例4:
求曲线
z
1 x2 y2
在点 1,1,
3 处的切线
偏导数为
( y
)
nz xn1 y
8
例1. 求函数 z ex2 3x y的二阶偏导数及
3z y x 2
.
解 : z (2x 3y)ex23x y x
z y
3x ex2 3x y
2z x2
ex2 3x y[2
(2x
3y)2]
2z x y
ex2 3x y[3 3x(2x
3y)]
2 z ex23x y[3 3x(2x 3y)] yx
d z e2 d x 2e2 d y
(2,1)
19
例3. 设
解: f (x,0,0) x 3 cos x
注意: x , y , z 具有 轮换对称性
f
x
(0,0,0)
3
x cos
x
x
0
1 4
利用轮换对称性 , 可得
f y (0,0,0)
f z (0,0,0)
1 4
d f (0,0,0) f y (0,0,0) d x f y (0,0,0) d y f z (0,0,0) d z
x0 y0
故函数在点 (0, 0) 连续 ;
22
2)
fx (0,0)
lim
x0
f (x,0) x
f (0,0)
lim 0 0 x0 x
0,
同理
f y (0,0) 0.
3) 当(x, y) (0,0)时,
fx (x, y)
sin
1 x2 y2
x2 y (x2 y2)3
lim
(x, x )(0,0)
解: 圆柱体的体积 V r2h V [(r r)2 (h h) r2h]
r2 h2
[2rhr r2h 2rrh hr2 r2h]
r, h 的一个线性函数 的高阶无穷小
当 r , h 很小时 V [2rhr r2h]
与一元函数类似此式称为函数V的全微分.
12
定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y )
2x (2x x2 ln 2) x1 4 ln 4
f y (1,2) [ f (1, y)] y2 ( y) y2 1
4
例3 u 1 xzyz 求 u u u
x y z
解: 将 y, z 看作常数, u 是关于 x 的幂函数. u yz2 (1 xz) yz1 x 将 x, z 看作常数, u 是关于 y 的指数函数.
f f x (0,0)x f y (0,0)y
说明: 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件. 24
作业
习题册 第八章第二节
高等数学(下)
第六讲
偏导数的求法:
求多元函数对哪个自变量的偏导数, 就将其它自变量看作常数, 用一元函数求 导法则及公式求偏导.
2
例1 . 求 z x2 3xy y2在点(1 , 2) 处的偏导数.
解法1:
z x
2x
3
y
,
z x (1, 2)
z y
3x
2
y
z
y (1, 2)
解法2: z y2 x2 6x 4
fx (x,
y)
lim( x sin 1
x0
2|x| 2
x3 2 | x |3 cos
1) 2|x|
极限不存在 , fx (x, y) 在点(0,0)不连续 ;
同理 , f y (x, y) 在点(0,0)也不连续.
23
4) 下面证明 f (x, y) 在点 (0,0)可微 :
令 (x)2 (y)2 , 则
x 1
和 y 轴正向所构成的倾角.
解 所给的曲线是曲面 z 1 x2 y2 与平面 x 1
的交线。
该曲线在点 1,1, 3 处的切线关于 y 轴的斜率为
z
y
1,1, 3
2 y2
y 1
y 2 y2 y 1
1 3 33
所以，曲线在 1,1, 3 处的切线与 y 轴正向所成的倾角为
tan 3
1 (d x d y d z) 4
21
例4 证明函数
在点 (0,0) 连续且偏导数存在, 但偏导数在点 (0,0) 不连
续, 而 f (x, y) 在点 (0,0) 可微 .
证: 1) 因
xy sin
1 x2 y2
xy x2 y2 2
所以
lim f (x, y) 0 f (0,0)
同样可证 z B , 因此有 y
令y 0, Ax o ( x )
15
注意: 定理1 的逆定理不成立 . 即:
偏导数存在函数 不一定可微 !
反例: 函数 f (x, y)
xy , x2 y2 0 x2 y2
0,
x2 y2 0
易知 fx (0, 0) f y (0, 0) 0 , 但
2 z y2
9x2ex2 3x y
3z y x 2
x
(
2 z ) ex23x y[12x 9y y x
(3 3x(2x 3y))(2x
3y)]
注意:此处 2 z 2 z , 但这一结论并不总成立.
xy yx
9
定理. 若 f xy (x,y)和 f y x (x,y) 都在点(x0 , y0 )连续, 则
du dx udy udz u
18
例1. 计算函数
在点 (2,1) 处的全微分.
解法1:
z yexy , x
z xexy y
z x
(2,1) e2 ,
z y
(2,1) 2e2
d z e2 d x 2e2 d y
(2,1)
解法2:
z
e2 ,
x (2,1)
z
2e2 ,
y (2,1)
(z) y x
2z x y
fx y (x, y)
(z) 2z x y yx
f yx (x, y);
y
(z y
)
2z y2
f y y (x, y)
7
类似可以定义更高阶的偏导数. 例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为
z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶
3
.
6
6
二、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
z x
fx (x,
y) ,
z y
f y (x, y)
若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z = f ( x , y )
的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导
数:
(z) x x
2z x2
f xx (x, y);
注: 对 x 的偏增量
x x
x Ax o ( x )
其中 Ax 称为对 x 的偏微分 13
由微分定义 :
lim z lim (Ax By ) o ( ) 0