xy 2 x2 2 y 4
不存在，故
f (x, y) 在（ 0， 0）不连续。
y0
8分 10 分
【090126 】【计算题】 【中等 0.5】【多元函数的连续性】 【多元函数的连续性】
【试题内容】讨论函数 f (x, y)
2 xy x2 y2 0
( x, y) ( 0,0)
在点（ 0， 0）处的连续性。
xy( x y) x2 y2 0
(x, y) (0,0) 在点（ 0，0）处的连续性。 ( x, y) (0,0)
【试题答案及评分标准】
xy(x y) 解：由于 x 2 y2
x2 y x2 y2
（当 x 0, y 0 时）
y2 x x2 y2
xy
0
8分
所以 lim f (x, y) 0 f ( 0,0) x0 y0
故 f ( x, y) 在（ 0， 0）处连续。
10 分
【090124 】【计算题】 【中等 0.5】【多元函数的连续性】 【多元函数的连续性】
【试题内容】讨论函数 f (x, y)
xy2 x2 y2 0
x2 y2 0
在点（ 0， 0）处的连续性。
x 2 y2 0
【试题答案及评分标准】
xy 2
y2
解：由于
【090106 】【计算题】 【较易 0.3】【多元函数的极限】 【极限的计算】
【试题内容】求极限 lim y sin 2 x 。 x 0 xy 1 1
y0
【试题答案及评分标准】
解： lim y sin 2 x x 0 xy 1 1
y0
y sin 2x ( xy 1 1)
lim
6分
x0
xy
y0
=4
10 分
( x, y) (0,0) 在点（ 0， 0）处的连续性。 ( x, y) (0,0)
【试题答案及评分标准】
解：由于 lim
xy 2
x 0 x2 2y4
lim
x3
x 0 x2 2y4
lim x x 01 2x2
0
4分
yx 0
xy 2
y4
1
lim
x y2
0
x2
2y4
lim
y0
y4
2y4
3
y0
则 lim x0
【试题内容】试求函数
f (x, y)
xy
的间断点。
sin 2 x sin 2 y
【试题答案及评分标准】
解：显然当 ( x, y) (m,n) m, n Z 时， f ( x, y) 没定义，故不连续。 5 分
又 f (x, y)
xy
sin 2 x
sin 2
是 初 等 函 数 ， 所 以 除 点 (m,n) （ 其 中 y
【试题内容】试求函数 f (x, y, z) ln
1
的间断点。
x2 y2 z2 1
【试题答案及评分标准】
解：因为在区域 x 2 y 2 z2 1 及 x 2 y 2 z2 1 连续，故间断点为 x 2 y 2 z2 1 。
10 分 【090115】【计算题】 【较易 0.3】【多元函数的连续性】 【多元函数的间断点】
【090107 】【计算题】 【较易 0.3】【多元函数的极限】 【极限的计算】
【试题内容】求极限
1 lim
x0 y0
x2 y x3 y2
1 sin( xy) 。
【试题答案及评分标准】
解：原式 = lim
x2y sin( xy)
4分
x y
0 0
x3 y 2 (1
x 2 y 1)
1
sin( xy)
lim
x2 x2
y2 y 2 的连续性。
【试题答案及评分标准】
x2 y2
解：由于 f ( x, y)
x2
是初等函数，所以除（ 0，0）点以外处处连续。
y2
6分
但在（ 0,0）点， f ( x, y) 没定义，则在（ 0,0）点不连续。
10 分
【090119】【计算题】 【较易 0.3】【多元函数的连续性】 【多元函数的连续性】
【试题内容】求极限
lim
x0
3y3 x2
2 yx 2 xy y 2
。
y0
【试题答案及评分标准】
3y3 2 yx 2 解： x 2 xy y2
y
(3y 2 2x 2 ) x2 xy y 2
3y2 2x2
3( y2 x2 )
又 x 2 xy y 2
6 1 (x2 y2)
6分
2
lim y 0
8分
x0
y0
故原式 =0
m, n Z ）以外处处连续。
10 分
【090117】【计算题】 【较易 0.3】【多元函数的连续性】 【多元函数的间断点】
【试题内容】求函数 f ( x, y)
1 x sin
y 0
y 0 的间断点。 y0
【试题答案及评分标准】
解：只需讨论 x 轴上的点（ y 0 ）
对于（ 0， 0）点，由于 lim f (x, y) 0 f (0,0) x0 y0
【试题答案及评分标准】 y 0 时， z x2 ，得 x f ( x) x2
所以 f (x) x 2 x
5分
所以 z x y ( x y) 2 ( x y) ( x y) 2 2 y
10 分
【090105 】【计算题】 【中等 0.5】【多元函数的概念】 【多元函数的定义域】
【试题内容】设 z y f ( x 1) ，其中 x 0, y 0 ，如果 y 1时 z x ，试确定函
8分
x y
0 0
1
x2y 1
xy
1
10 分
2
【090108 】【计算题】 【较易 0.3】【多元函数的极限】 【极限的计算】
【试题内容】求极限
lim x 04
y0
x
xye
。
16 xy
【试题答案及评分标准】
解： lim x 04
y0
xye x 16 xy
xyex (4 16 xy)
lim
8分
x0
xy
y0
10 分
【090111】【计算题】 【中等 0.5】【多元函数的极限】 【极限的计算】
【试题内容】求极限
lim ( x 2 y 2 )x 2 y 2 x 0 1 cos( x 2 y 2 )
。
y0
【试题答案及评分标准】
解：原式 = lim (x 2 y 2 ) x 2 y 2
x y
0 0
1 (x2
y2 )2
=－8
10 分
【090109 】【计算题】 【中等 0.5】【多元函数的极限】 【极限的计算】
【试题内容】求极限 lim( x 2 x0 y0
y) sin 1 。 x
【试题答案及评分标准】
解：由于 lim( x 2 y) 0
1 sin 1
8分
x0
x
y0
所以原式 =0
10 分
【090110】【计算题】 【中等 0.5】【多元函数的极限】 【极限的计算】
【试题内容】试求函数 f (x, y) sin 1 的不连续点。 xy
【试题答案及评分标准】
解：由于 f (x, y)
1 sin
是初等函数， 所以除 xy
0 的点以外处处连续。
xy
5分
在 xy 0 （即 x 轴和 y 轴）上点 f ( x, y) 没定义，因而不连续。 10 分
【090116】【计算题】 【中等 0.5】【多元函数的连续性】 【多元函数的间断点】
y
xy
0 x2 y2
x2 y2 x2 y2
x2
y2
xy
0
（当 x 0, y 0 时）
6分
所以
lim
x0
x3 x2
y3 y2
0
f (0,0)
8分
y0
故 f ( x, y) 在（ 0， 0）点连续。
10 分
【090123 】【计算题】 【中等 0.5】【多元函数的连续性】 【多元函数的连续性】
【试题内容】讨论函数 f (x, y)
数 f (x) 和 z。
【试题答案及评分标准】
y 1时， z 1 f ( x 1) x 所以 f ( x 1) x 1
3分
令 x 1 t , x (t 1) 2 所以
f (t ) (t 1) 2 1 t 2 2t , f ( x) x2 2 x
7分
所以 z y ( x 1)2 2( x 1) y x 1 x 0, y 0 10 分
( x, y) (0,0)
【试题答案及评分标准】
解：由于
lim 2 xy x 0 x2 y2
lim 2kx2 x 0 x2 k2 x2
2k 1 k 2 （ k 为常数）
6分
y kx 0
则
lim
x0
2xy x2 y 2
不存在，
8分
y0
故 f ( x, y) 在（ 0， 0）不连续。
10 分
【090127 】【证明题】 【中等 0.6】【多元函数的概念】 【 【试题内容】
【090101 】【计算题】 【较易 0.3】【多元函数的概念】 【多元函数的定义域】
【试题内容】设 z
y
arctan
x
1
y x2
，求该函数的定义域。
y2
【试题答案及评分标准】 x 0 为该函数的定义域。
【090102 】【计算题】 【较易 0.3】【多元函数的概念】 【多元函数的定义域】