2014年第一学期《电磁场与电磁波》复习题一．填空题1．已知矢量2z 2y 2x z e xy e x e A ++=，则A ⋅∇=z xy x 222++， A⨯∇=2y e z 。

注：z xy x zA y A x A A zy x 222++=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇222)(y e x xy e xy y e A y e A z z yy y =∂∂=∂∂=∂∂=⨯∇ 2．矢量B A、垂直的条件为0=⋅B A 。

3．理想介质的电导率为0=σ，理想导体的电导率为∞→σ，欧姆定理的微分形式为E J σ=。

4．静电场中电场强度E和电位φ的关系为ϕ-∇=E ，此关系的理论依据为0=⨯∇E ；若已知电位22z 3x y 2+=ϕ，在点（1,1,1）处电场强度=E()642z y x e e e ++-。

注：()z e xy e y e z e y e x e E z y x z y x 6422++-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=-∇=ϕϕϕϕ5．恒定磁场中磁感应强度B和矢量磁位A 的关系为A B ⨯∇=；此关系的理论依据为0=⋅∇B 。

6．通过求解电位微分方程可获知静电场的分布特性。

静电场电位泊松方程为ερϕ/2-=∇，电位拉普拉斯方程为02=∇ϕ。

7．若电磁场两种媒质分界面上无自由电荷与表面电流，其D E、边界条件为：()021=-⨯E E e n 和()021=-⋅D D e n ；H B、边界条件为：()021=-⋅B B e n 和()021=-⨯H H e n 。

8．空气与介质)4(2r =ε的分界面为z=0的平面，已知空气中的电场强度为4e 2e e E z y x 1++=,则介质中的电场强度=2E 12z y x e e e++。

注：因电场的切向分量连续，故有z z y x E e e e E 222++=，又电位移矢量的法向分量连续，即1422200=⇒=⨯z z r E E εεε所以122z y x e e e E++=。

9. 有一磁导率为 µ 半径为a 的无限长导磁圆柱，其轴线处有无限长的线电流 I ，柱外是空气（µ0 ），则柱内半径为1ρ处磁感应强度1B =12πρμφI e ；柱外半径为2ρ处磁感应强度2B =202πρμφI e 。

10．已知恒定磁场磁感应强度为z 4e my e x e B z y x++=,则常数m= -5 。

注:因为0=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇zB y B x B B zy x ，所以5041-=⇒=++m m 。

11．半径为a 的孤立导体球，在空气中的电容为C 0=a 04πε；若其置于空气与介质（ε1 ）之间，球心位于分界面上，其等效电容为C 1=()a 102εεπ+。

解：（1）024επQr E r =⨯，204r Q E r πε=，aQ dr E U ar 04πε==⎰∞，a UQC 04πε==（2）Q r D r D r r =+222122ππ，1201εεrrD D =，()210012r Q D r εεπε+=，()210122rQD r εεπε+=，()210212r QE E rr εεπ+==，a Q dr E U ar )(2101εεπ+==⎰∞，a U QC )(210εεπ+== 12．已知导体材料磁导率为μ，以该材料制成的长直导线单位长度的内自感为πμ8。

13．空间有两个载流线圈，相互 平行 放置时，互感最大；相互 垂直 放置时，互感最小。

14．两夹角为nπα=(n 为整数)的导体平面间有一个点电荷q ，则其镜像电荷个数为 （2n-1） 。

15．空间电场强度和电位移分别为D E、，则电场能量密度w e =D E ⋅21。

16．空气中的电场强度)2cos(20kz t e E x -=π ，则空间位移电流密度D J= ()kz t e x --ππε2sin 400。

注：[])2sin(40)2cos(2000kz t e kz t e tt D J x x D --=-∂∂=∂∂=ππεπε（A/m 2）。

17．在无源区内，电场强度E的波动方程为022=+∇E k E c 。

18．频率为300MHz 的均匀平面波在空气中传播，其波阻抗为)(120Ωπ，波的传播速度为)/100.3(8s m c ⨯≈，波长为 1m ，相位常数为)/(2m rad π；当其进入对于理想介质(εr = 4，μ≈μ0)，在该介质中的波阻抗为)(60Ωπ，传播速度为)/(105.18s m ⨯，波长为 0.5m ，相位常数为)/(4m rad π。

注：有关关系式为波阻抗εμη=（Ω），相速度με1=v （m/s ），v f =λ，λπ2=k （rad/m ）空气或真空中，)(1200Ωπη=，)/(1038s m c v ⨯≈=。

19．已知平面波电场为z j y x i e e j e (E E β--=)0，其极化方式为 右旋圆极化波 。

注：因为传播方向为z +方向，且ym xm E E =，0=x φ，2πφ-=y ，02<-=-=πφφφx y ∆，故为右旋圆极化波。

20．已知空气中平面波())86(,z x j m e E e z x E ππ+-=y ，则该平面波波矢量=kππ86z x e e + ， 角频率ω=)/(1039s rad ⨯π，对应磁场()=z ,x H())/(36600)86(m A e e e E z x j z x mπππ+-+- 。

解：因为z x z k y k x k z y x ππ86+=++，所有π6=x k ，0=y k ，π8=z k ，π10222=++=z y x k k k k ，从而ππ86z x e e k +=，)(2.02m k==πλ，)/(1038s m c v f ⨯===λ，)(105.19Hz f ⨯=，)/(10329s rad f ⨯==ππω。

相伴的磁场是()())/(366008*********)86()86(m A e e e E e E e e e E k k E e H z x j z x mz x j m y z x n πππππππππηη+-+-+-=⨯+⨯=⨯=⨯=21．海水的电导率σ=4S/m ，相对介电常数81=r ε。

对于f=1GHz 的电场，海水相当于 一般导体 。

解：因为181728110361101242990<=⨯⨯⨯⨯⨯==-ππεεπσωεσr f 所以现在应视为一般导体。

22．导电媒质中，电磁波的相速随频率变化的现象称为 色散 。

23． 频率为f 的均匀平面波在良导体（参数为εμσ、、）中传播，其衰减常数α=μσπf ，本征阻抗相位为4/π，趋肤深度δ=μσπf 1。

24．均匀平面波从介质1向介质2垂直入射，反射系数Γ 和透射系数τ 的关系为τ=+Γ1。

25．均匀平面波从空气向0,25.2μμε==r 的理想介质表面垂直入射，反射系数Γ= -0.2 ，在空气中合成波为 行驻波 ，驻波比S= 1.5 。

解：πηη12001==，ππεηεμη8025.212020222====r ，2.01212-=+-=ηηηηΓ，行驻波， 5.111=-+=ΓΓS26．均匀平面波从理想介质向理想导体表面垂直入射，反射系数Γ= -1 ，介质空间合成电磁波为 驻波 。

27．均匀平面波从理想介质1向理想介质2斜入射，其入射角为θi , 反射角为θr , 折射角为θt ，两区的相位常数分别为k 1、k 2，反射定律为i r θθ=，折射定律为t i k k θθsin sin 21=。

28．均匀平面波从稠密媒质(ε1)向稀疏媒质(ε2)以大于等于=c θ12arcsinεε斜入射，在分界面产生全反射，该角称为 临界角 ；平行极化波以=b θ12arctan εε斜入射，在分界面产生全透射，该角称为 布儒斯特角 。

29．TEM 波的中文名称为 横电磁波 。

30．电偶极子是指 几何长度远小于波长的载有等幅同相电流的线元 ，电偶极子的远区场是指 1>>kr 或λ>>r 。

二．简答题1． 导电媒质和理想导体形成的边界，电流线为何总是垂直于边界？答：在两种不同导电媒质交界面两侧的边界条件为()021=-⋅J J e n ，()021=-⨯E E e n ，即n n J J 21=，t t E E 21=，因此212211221121////tan tan σσσσθθ===n n n t n t J J E E E E 显然，当∞→1σ时，可推得02→θ，即电流线垂直于边界。

2．写出恒定磁场中的安培环路定律并说明：磁场是否为保守场？ 答：恒定磁场中的安培环路定律为⎰⎰⋅=⋅SCSd J l d H ，由斯托克斯定理可得⎰⎰⎰⋅=⋅⨯∇=⋅SSCS d J S d H l d H ，因此J H =⨯∇不恒为零，故不是保守场。

3．电容是如何定义的？写出计算双导体电容的基本步骤。

答：电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统储存电荷能力的物理量。

孤立导体的电容定义为所带电量q 与其电位ϕ 的比值；对于两个带等量异号电荷（±q ）的导体组成的电容器，其电容为q 与两导体之间的电压U 之比。

计算双导体的步骤为：①根据导体的几何形状，选取合适的坐标系；②假定两导体上分别带电荷+q 和-q ；③根据假定的电荷求出E ; ④由⎰⋅=21l E d U 求出电压; ⑤由UqC =求出电容C. 4．叙述静态场解的惟一性定理，并简要说明其重要意义。

答：静态场解的惟一性定理：在场域V 的边界面S 上给定ϕ或n∂∂ϕ的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V 具有惟一值。

惟一性定理的重要意义：给出了静态场边值问题具有惟一解的条件；为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据；为求解结果的正确性提供了判据。

5．什么是镜像法？其理论依据是什么？如何确定镜像电荷的分布？答：在适当的位置上，用虚设的电荷等效替代分布复杂的电荷的方法称为镜像法。

镜像法的理论依据是唯一性定理。

镜像法的原则为：①所有的镜像电荷必须位于所求场域之外的空间中；②镜像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足原边界条件来确定。

6．分别写出麦克斯韦方程组的积分形式、微分形式并做简要说明。

答：积分形式：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⋅=⋅⋅∂∂-=⋅⋅∂∂+⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰dVd d d t d d t d d V S SS ρSS C C S D S B S B l E S DS J l H 0 第一方程说明：磁场强度沿任意闭合曲线的环量，等于穿过以该闭合曲线为周界的任意曲面的传导电流与位移电流之和。