一、简答题（30分）1.写出静电场的电位泊松方程，并给出其两种理想介质分界面的边界条件。

2ρϕε∇=-；在两种完纯介质分界面上电位满足的边界条件：12ϕϕ=1212sn nϕϕεερ∂∂-=-∂∂ 2.讨论均匀平面波在无界空间传播时本征阻抗与波阻抗的区别。

3.写出均匀平面波在无界良导体中传播时相速的表达式。

4.写出时谐电磁场条件下亥姆霍兹方程。

5.写出传输线输入阻抗公式。

6.证明电场矢量和磁场矢量垂直。

证明：任意的时变场（静态场是时变场的特例）在一定条件下都可以通过Fourier展开为不同频率正弦场的叠加。

垂直。

也与垂直与垂直。

与乘定义，可知根据E H H X∴=⨯-=⨯-∂∂-=⨯∇B B E BE k B j E k j tB E ωω7.写出线性各向同性的电介质、磁介质和导电介质的本构关系式。

EJ HB ED σμε=== 8.写出均匀平面波在两介质分界面的发射系数和投射系数表达式。

9.写出对称天线的归一化方向函数。

10.解释TEM 、TE 、TM 波的含义。

二、计算题1. （10分）已知矢量222()()(2)x y z x axz xy by z z czx xyz =++++-+-E e e e ，试确21212212rm im tm im E E E E ηηηηητηη-Γ==+==+定常数a 、b 、c 使E 为无源场。

解 由(2)(2)(122)0x az xy b z cx xy ∇=++++-+-= E ，得2,1,2a b c ==-=-2.已知标量函数22223326u x y z x y z =+++--。

（1）求u ∇；（2）在哪些点上u ∇等于零。

解 （1）(23)(42)(66)xy z x y z u u uu x y z x y z∂∂∂∇=++=++-+-∂∂∂e e e e e e ； （2）由(23)(42)(66)0x y z u x y z ∇=++-+-=e e e ，得32,12,1x y z =-==3． 两块很大的平行导体板，板间距离为d ，且d 比极板的长和宽都小得多。

两板接上直流电压为U 的电源充电后又断开电源，然后在板间放入一块均匀介质板，它的相对介电常数为9r ε= ，厚度比d 略小一点，留下一小空气隙，如图所示。

试求放入介质板前后，平行导体板间各处的电场强度。

并由此讨论电介质的作用。

（20分）解：（1）建立坐标系如图。

加入介质板前，因两极板已充电，板间电压为U ，间距d 远小于平板尺寸，可以认为极板间电场均匀，方向与极板垂直。

所以板间电场为0zU d=-E e 设两极板上所带自由电荷面密度分别为s ρ和s ρ-，根据高斯定理sss d d Q S ερ===∆⎰⎰D S E S即000s D E S S ερ=∆=∆得0000s UD E dερε=== r ε=d Uz（2）加入介质板后，因充电后电源断开，所以极板上的自由电荷面密度保持不变。

应用高斯定理，可求得极板间任一点的电位移矢量z z s z U D dρε=-=-=-D e e e 根据ε=D E 的关系得空气隙中的电场强度为10zU dε==-DE e 电介质中的电场强度2019zz r DU dεεε==-=-⋅DE e e 可见空气隙中的电场强度与未加介质板前相同，而介质板中的电场强度却只有未加介质板前场强的1/9。

4 .求下列情况下的位移电流密度的大小：某移动天线发射的电磁波的磁场强度()80.15cos 9.3610 3.12A/m x t y =⨯-H e ；由t∂∇⨯=∂D H 得 ()()88200.15cos 9.3610 3.120.468sin 9.3610 3.12A/m xy zx d z x zz H t xy z y H t y y t y ∂∂∂∂∂==∇⨯==-=∂∂∂∂∂∂⎡⎤-⨯-=⎣⎦∂-⨯-e e e D J H e e e故20.468A/m d =J5. 无限长线电荷通过点（6，8，0）且平行于z 轴，线电荷密度为l ρ；试求点P (x ,y ,z )处的电场强度E 。

解 线电荷沿z 方向为无限长，故电场分布与z 无关。

设点P 位于z =0平面上，如题2.9图所示，线电荷与点P 的距离矢量为()()()()()()()()222268686868x y x y R x y x y x y x y =-+-=-+--+-==-+-R e e R e e R e R根据高斯定律得点P 处的电场强度为()()()()220006822268x y l l l R x y x y ρρρπεπεπε-+-==⋅=⋅-+-e e RE e R R R6.如图所示的平行双线传输线，导线的半径为a ，两导线的轴线相距为D ，且D >>a 。

试求传输线单位长度的电容。

由于D>>a ，近似认为电荷均匀分布在导体表面，且可将导线看成线电荷，则利用高斯定理得x 轴上的电场分布7.求半径为a 的金属导体球形接地器的接地电阻。

土壤的电导率为σ。

yρlxPx Da-ρl()0112l x x x D x ρπε⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭E e ()0011ln 2D a D a l l x a a D a U x dx dx x D x a ρρπεπε---⎛⎫==+= ⎪-⎝⎭⎰⎰E e 两导线间的电位差为00ln ln l l C D a D Ua aρπεπε==≈-两导线间单位长度 的电容为解：导体深埋，不考虑地表对接地电阻的影响8.自由空间中的电磁场为0(,)100cos()V m x z t t kz ω=-E e (,) 2.65cos()A m y z t t kz ω=-H e式中000.42rad m k ωμε==。

求：（1）瞬时坡印廷矢量； （2）平均坡印廷矢量；解 （1）瞬时坡印廷矢量22650cos ()z t kz ω=⨯=-S E H e 2W m（2）平均坡印廷矢量2202650cos ()d 13252av z z t kz t πωωωπ=-=⎰S e e 2W m 9.在半径为a 、电导率为σ的无限长直圆柱导线中，沿轴向通以均匀分布的恒定电流I ，且导线表面上有均匀分布的电荷面密度S ρ。

求导线表面外侧的坡印廷矢量S 。

解：当导线的电导率σ为有限值时，导线内部存在沿电流方向的电场IaσJ 22444r r aI I IU d r r aππσπσ∞⇒⇒====⎰J e E e E r 144U R G a I aπσπσ=⇒⇒==i E 2zIa σπσ==Je 根据边界条件，在导线表面上电场的切向分量连续，即iz E oz E =。

因此，在导线表面外侧的电场的切向分量为2ozaIE a ρπσ==又利用高斯定理，容易求得导线表面外侧的电场的法向分量为So aE ρρρε==故导线表面外侧的电场为20S oz aI a ρρρεπσ==+E e e 利用安培环路定理，可求得导线表面外侧的磁场为2oaI aφρπ==H e故导线表面外侧的坡印廷矢量为2230()22S oo o z aaI I a aρρρρπσπε===⨯=-+S E H e e 2W m10.已知土壤相对介电常数εr =10，电导率σ =10-2S/m ,磁导率μ =μ0=4π×10-7H/m 。

f =100MHz 的均匀平面波在其中传播时，如其电场为E (z,t )=ex 0.2e -αz cos(ωt- βz ) (V/m)，试计算传播常数、相速、本征阻抗和平均功率密度。

11.已知平面波的电场jkz m y jkzm x e E e j eE e z E --+= )(，说明它的极化形式。

12.已知平面波的电场jkzmy jkz m x e E e e E e z E --+= )(，试将其分解为两个振幅相228110.592,11 6.65220.592 6.65,0.9410,117.510.49p ccj j v j μεσμεσαωβωωεωεωμγαβηβε⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥=+-==++= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=+=+==⨯==+()()22220.592 1.1841Re cos 220.2cos 5.11692118z xm z czzz z E z z e e e αϕη*--⨯-⎡⎤=⨯==⎣⎦==⨯S E H e e e等，旋向相反的圆极化波。

13.一圆极化波自空气中垂直入射于一介质板上，介质板的本征阻抗为η2.入射波电场为 z j m y zj m x e E e j e E e z E ββ--+= )( 。

求反射波与透射波的电场，它们的极化情况如何？20ηηηη-Γ+＝ τ()j z m m x y E E e e j e β-=Γ+反射波的电场两个分量的振幅相等，相位与入射波相比无变化，故为右旋极化波透射波沿+z 方向传播的左旋圆极化波 14设矩形波导中传输TE10波,求填充介质(介电常数为ε)时的截止频率及波导波长。

解：截止频率：22210g 22221211TE 1,02222112(c cc c m n f a b m n f a a f f ffπππμεππμεμεππλλβωμεπλωμε⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫==∴== ⎪⎝⎭===--=对于波波导波长为无界空间介质中的波长）15.平行双线传输线的线间距D=8cm ，导线的直径d=1cm,周围是空气，试计算分布电感和分布电容；11()2lxe x D x ρπε=+- x E11()ln 2D aD allaa D a U E d l dx x D x a ρρπεπε---=∙=+=-⎰⎰1/ln[()/]ln(/)ln(2/)lC F mU D a a D a D d ρπεπεπε≈=-＝＝C =2D ln16ln dεπεπ==16.横截面为矩形的无限长接地金属导体槽，上部有电位为U0的金属盖板；导体槽的侧壁与盖板间有非常小的间隙以保证相互绝缘，求此导体槽内的电位分布222200(0,)0(0)(,)0(0)(,0)0(0)(,)(0)xy y y b a y y b x x a x b U x a ϕϕϕϕϕϕ∂∂+=∂∂=≤<⎧⎪=≤<⎪⎨=≤≤⎪⎪=≤≤⎩2212222()sin()(0)sin(0)0()sin()0,,1,2,3.()()sin(),0x x x x xx n n n x y y xf x A k x f A k f a A k a n k x n k n an k a n f x A x A a k k k k ππππ∞===========+=⇒=-∑满足边界条件本征值为待定的常数12211001()sinh()cosh()0,(0)00()sinh()(x,y)=sin()sinh(),(x,b)=U U sin()sinh()x x x nn n n g y B k y B k y y g B g y B k y n n C x y a a y b n n C x b a a ππϕϕππ∞=∞==+===⇒===∑∑只能有通解形式：0001sin()U sinh()sin()sin()aa n n m n m n x dx Cb x x dx a a a a ππππ∞==∑⎰⎰00001()()sin()sin()(cos()cos()212(1cos()21()()(cos()cos()2a a a am n m n m n x x dx x x dx a a a a n x dx m n a m n m n x x dx m n a a πππππππ-+=-⎧-=⎪⎪=⎨-+⎪-≠⎪⎩⎰⎰⎰⎰0()()cos()sin()0()1sin()sin()20aaa m n a m n x dx x a m n a a m n m n x x dx a a m nπππππ--==-⎧=⎪=⎨⎪≠⎩⎰⎰()()()20000000020sin()sinh()sin ()sin()cos 11sinh()sin ()sinh 24 1.3.5aa n aanan n n n n n U x dx C b x dxa a aaU U a n n U x dx x a n a n C n n n b C b x dx a a a a U C n ππππππππππ==-=--⎛⎫⎪⎝⎭⇒==⋅⋅⋅⋅⋅⎰⎰⎰⎰=3．（15分）如图。