课外作业
习 4 — 1（A） （ ） 1（双） （ 习 4 — 1（B） （ ） 1（5，6，7，11）， （ ， ， ， ）， ），2
§2. 换元积分法
y = sin2x 是复合函数， 是复合函数，
∫ sin2xd x
1. 凑常数
如何积分？ 如何积分？
一、第一类换元法 ( 凑微分法 )
(d2x = 2dx) 1 例1： sin2xd x = ∫ sin2x d 2 x (2x = u) ∫ 2 1 1 1 = ∫ sinudu = − cos u+ C = − cos 2x + C. + 2 2 2
2
= x − x + arctan x + C.
1 3 3
从理论上来讲， 从理论上来讲，只需把积分结果 求导，就可检验积分是否正确。 求导，就可检验积分是否正确。但由 于函数变形及原函数间可相差一个常 数等因素，一般不检验。 数等因素，一般不检验。 所以注重积分过程的正确性是至 关重要的。 关重要的。 即每一步运算都要看能否还原到 上一步。 上一步。
dx 例5： 2 ∫ x − a2 (a > 0) 1 1 1 = ∫ − dx 2a x − a x + a 1 d( x − a) d( x + a) = ∫ −∫ 2a x −a x+a 1 = [ln x − a − ln x + a ] + C 2a 1 x −a = ln + C. 2a x + a dx 1 a+ x = ln + C. (a > 0) 同理： 同理： 2 2 ∫ a − x 2a a − x
例： 求通过点 ( 1, 2 )，且其上任一点处的 ， 切线斜率等于该点横坐标6倍的一条曲线 倍的一条曲线。 切线斜率等于该点横坐标 倍的一条曲线。 解：设所求曲线方程为 y = f (x) . 由题意，曲线上点(x, 的切线斜率 由题意，曲线上点 y)的切线斜率 dy = 6x, dx 2 ∴y = ∫ 6xdx = 3x + C , 为一簇积分曲线。 为一簇积分曲线。
第四章 不定积分
§1. 不定积分的概念与性质
已知物体运动的位置函数 s = s(t)， ， 求时刻 t 的瞬时速度 v = v(t)。 。 —— 微分学解决的问题 已知物体运动的速度函数 v = v(t) 求运动的位置函数 s = s(t)。 。 —— 积分学解决的问题 一般， 一般，已知函数 f(x), 要找另一 个函数F(x), 使 F ’(x) = f (x)。 个函数 。 —— 积分学的任务
1 例2： 4e d x = ⋅ 4 3 [d(3x + 5) = 3 d x] 4
∫
3 x+5
∫
u
e
3 x+5
d (3x+ 5)
4 u = ∫ e du = e + C (3x + 5 = u) 3 3 4 3x+5 = e + C. 3 dx 1 例3： 2 ∫ x + 2x + 2 = ∫ 1+ ( x + 1)2 d( x+1) 1 (x + 1 = u) = + d u = arctan u+ C 2 ∫ 1+ u = arctan( x + 1) + C.
dx 例4：∫ 2 (a > 0) 2 a −x a 1 d(x/a) x = ∫ = arcsin + C. 2 a a x 1− a dx d(x -1) 如： ∫ 9 + 2x − x2 = ∫ 10 − ( x −1)2 x −1 (a = 10, u = x − 1) = arcsin + C. 10 dx 1 x 同理： 同理： ∫ a2 + x2 = a arctan a + C.
3. 如果 f (x) 有一个原函数 F (x) , 那么F 那么 (x) + C 是否包含了 f (x) 的 所有原函数？ 所有原函数？ 的任一个原函数， 设Φ( x)是 f ( x)的任一个原函数， 则Φ′( x) = f ( x) Q[Φ( x) − F( x)]′ = f ( x) − f ( x) ≡ 0 ) ∴Φ( x) − F( x) = C (C是常数
Q y |x=1 = 2, 即有 = 3 + C ⇒ C = −1. 2 ∴所求曲线为： = 3x −1 . 所求曲线为：y
2
二、 基本积分表
依基本导数公式与不定积分的定义， 依基本导数公式与不定积分的定义， 即可得基本积分公式： 即可得基本积分公式： 请同学们参见教材第186页15个公式。 个公式。 请同学们参见教材第 页 个公式 µ +1 x µ 注意： 注意：② ∫ x d x = + C (µ ≠ −1). µ +1
2 2
(1+ x) dx 例8. ∫ 2 x (1+ x ) 2 1+ x 2x dx = ∫ 2 + 2 x (1 + x ) x (1 + x ) 2 1 d x = ln x + 2arctan x + C. =∫ + 2 x 1 + x (假分式 =多项式+真分式) 假分式=多项式+真分式) 4 4 x x − 1+ 1 + dx = ∫ dx 例9. ∫ 2 2 1+ x 1+ x 2 2 ( x + 1)( x − 1) 1 dx = ∫ + 2 2 x +1 1+ x
性质2. 性质2. 被积函数中不为零的常 数因子可提到积分号外。 数因子可提到积分号外。 ∫ k f ( x) d x = k∫ f ( x) d x . (k ≠ 0为常数)
利用基本积分表和不定积分性质， 利用基本积分表和不定积分性质，可计算 一些简单函数的不定积分。注意3 一些简单函数的不定积分。注意3点： 在分项积分后， 1、在分项积分后，对每个不定积分的任意常数
技巧：先将被积函数变形， 技巧：先将被积函数变形，化为表中所列 的类型，然后再积分。 的类型，然后再积分。
例3.∫ (e + 3sin x)d x = ∫ e d x + 3∫ sin xd x
x x
= e − 3cos x + C.
x
x 4⋅ 2 − 3 3 dx = ∫ 4 − dx 例4. ∫ x 2 2
2 2
2 2 1 sin x + cos x dx = ∫ dx 例6.∫ 2 2 2 2 sin x cos x sin x cos x 2 2 = ∫ (sec x + csc x)d x = tan x − cot x + C.
= tan x − x + C.
1 + cos x 1 + cos x dx = ∫ dx 例7.∫ 2 1 + cos 2x 2cos x 1 1 2 = ∫ ( sec x + 1 ) d x = ( tan x + x ) + C. 2 2
2
2
∫
∫ f ( x)d x = F( x) + C. 例： ( x )′ = 2x, ∴∫ 2xd x =x + C. Q Q(−cos x)′ =sin x, ∴∫ sin x d x = − cos x+ C.
不定积分的几何意义: 不定积分的几何意义: f (x) 的一个原函数 (x) 的图形称为 的一个原函数F f (x) 的一条积分曲线，方程为 y = F (x) . 的一条积分曲线 积分曲线，
一、原函数与不定积分的概念 定义1 定义1： 是一个定义在区间I上的函数 已知 f (x)是一个定义在区间 上的函数， 是一个定义在区间 上的函数， 如果存在函数F 如果存在函数 (x), 使在 I 内的任一点都有 F′( x) = f ( x) 或 d F( x) = f ( x)d x , 上的原函数 原函数。 则称 F (x) 为 f (x) 在 I 上的原函数。 如：( x2 )′ = 2x, ∴ x 2 是 2 x 的原函数 的原函数; d sin x = cos x d x,∴ sin x 是 cos x 的原函数 的原函数; ∴ s′(t ) = v(t ), ∴ s (t) 是 v (t) 的原函数。 的原函数。
dx dx (a = 2, 如： 2 =∫ ∫ x + 2x −1 ( x + 1)2 − 2 u = x +1)
1 x + 1− 2 ln = + C. 2 2 x + 1+ 2
1 例6： sin5t cos 3t dt = ∫ (sin8t + sin2t ) dt ∫ 2 1 1 = − cos8t − cos 2t + C. 16 4
有关原函数的几个问题 在什么条件下, 一定存在原函数？ 1. 在什么条件下 f (x) 一定存在原函数？ 原函数存在定理： 原函数存在定理： 在区间I 上连续， 若 f (x) 在区间 上连续， 上必存在原函数。 则在 I 上必存在原函数。 有原函数，那么共有几个？ 2. 如果 f (x) 有原函数，那么共有几个？ 的原函数， 设F (x) 为 f (x) 的原函数，则 F′( x) = f ( x), 为任意常数。 且(F( x) + C)′ = f ( x), C 为任意常数。 如有原函数，就有无穷多个。 ∴ f (x) 如有原函数，就有无穷多个。
( x )′ = µ x
µ
µ −1
.
③
∫
dx 1 = ∫ d x = ln x + C x x