2020年河北省中考数学模拟试卷(A)一、选择题选择题(本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)1．计算5－(－2)×3的结果等于()A．－11 B．－1 C．1 D．112．下列说法正确的是()A．－1的相反数是1B．－1的倒数是1C．－1的平方根是±1D．－1是无理数3．将一个正方形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个心形小孔，则展开铺平后的图案是()4．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是()A．a(x－y)＝ax－ayB．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1C．(x＋1)2＝x2＋2x＋1D．x2－x＝x(x－1)5．若|x＋2|＋(y－3)2＝0，则x y＝()A．－8 B．－6 C．6 D．86．如图，已知AB⊥BC，垂足为B，AB＝3，点P是射线BC上的动点，则线段AP的长不可能为(A)A．2.5 B．3 C．4 D．57．如图，表示8的点在数轴上表示时，在哪两个字母之间()A．C与D B．A与B C．A与C D．B与C8．如图，直线AB∥CD，∠C＝44°，∠E为直角，则∠1等于()A．132°B．134°C．136°D．138°9．如图所示为魔术师在小丽面前表演的经过：假设小丽所写数字为a ，那么魔术师猜中的结果应为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．a ＋410．面积为2的直角三角形一直角边长为x ，另一直角边长为y ，则y 与x 的变化规律用图象大致表示为( )11．已知二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧5m ＋4n ＝20，①4m －5n ＝8，②如果用加减法消去n ，那么下列方法可行的是( )A ．4×①＋5×②B ．5×①＋4×②C ．5×①－4×②D ．4×①－5×②12．已知关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋2x ＋1＝0没有实数解，则k 的取值范围是( )A ．k ＞2B ．k ＜2且k ≠1C ．k ≥2D ．k ≤2且k ≠113．某公园的东、南、西、北方向上各有一个入口，周末佳佳和琪琪随机从一个入口进入该公园游玩，则佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的概率是( )A.12B.14C.16D.11614．如图，将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC 绕A 点逆时针旋转60°，点B ，C 的对应点分别为点D ，E ，则阴影部分的面积为( )A.3＋π3B.3－π3C.π3D ．π－ 315．如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝90°，AB ＝32，AD ＝7，点M ，N 分别为线段BC ，AB 上的动点(含端点，但点M 不与点B 重合)，点E ，F 分别为DM ，MN 的中点，则EF 长度的最大值为( )A.7 B ．3.5 C ．5 D ．2.516．如图是用8块A 型瓷砖(白色四边形)和8块B 型瓷砖(黑色三角形)不重叠、无空隙拼接而成的一个正方形图案，图案中A 型瓷砖的总面积与B 型瓷砖的总面积之比为( )A.2∶1B.3∶2C.3∶1D.2∶2二、填空题(本大题有3个小题，共11分.17小题3分；18～19小题各有2个空，每空2分，把答案写在题中横线上．)17．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －4<x ，x ＋9>4x的解集是 ．18．如图，点O ，A 在数轴上表示的数分别是0，0.1，将线段OA 分成10等分，离O 点最近的分点为B ；再将线段OB 分成100等份，其分点由左向右依次为N 1，N 2，…，N 99；继续将线段ON 1分成100等份，其分点由左向右依次为P 1，P 2，…，P 99；B 对应的数用科学记数法表示为： ；P 17对应的数用科学记数法表示为： ．19．如图所示，一动点从半径为2的⊙O 上的A 0点出发，沿着射线A 0O 方向运动到⊙O 上的点A 1处，再向左沿着与射线A 1O 夹角为60°的方向运动到⊙O 上的点A 2处；接着又从A 2点出发，沿着射线A 2O 方向运动到⊙O 上的点A 3处，再向左沿着与射线A 3O 夹角为60°的方向运动到⊙O 上的点A 4处；A 4A 0间的距离是 ；…，按此规律运动到点A 2 019处，则点A 2 019与点A 0间的距离是 ．三、解答题(共7小题，满分67分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)20．(本小题满分8分)定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a ⊕b ＝a(a －b)＋1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5＝2×(2－5)＋1＝2×(－3)＋1＝－6＋1＝－5.(1)求(－2)⊕3的值；(2)若3⊕x 的值小于13，求x 的取值范围，并在数轴上表示出来．21．(本小题满分9分)“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃粽子的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅棕、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽(以下分别用A，B，C，D表示)这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图(尚不完整)．请根据以上信息回答：(1)本次参加抽样调查的居民有多少人？(2)将两幅不完整的统计图补充完整；(3)若居民区有8 000人，请估计爱吃D粽的人数；(4)若有外形完全相同的A，B，C，D粽各一个，煮熟后，小王吃了一个，则他吃到的恰好是C粽的概率是．22．(本小题满分9分)如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着－3，－2，－1，0，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．(1)求第五个台阶上的数x是多少？(2)求前21个台阶上的数的和是多少？(3)发现：数的排列有一定的规律，第n个－2出现在第个台阶上；(4)拓展：如果倩倩同学一步只能上1个或者2个台阶，那么她上第一个台阶的方法有1种：1＝1，上第二个台阶的方法有2种：1＋1＝2或2＝2，上第三个台阶的方法有3种：1＋1＋1＝3，1＋2＝3或2＋1＝3，…，她上第五个台阶的方法可以有8种．23．(本小题满分9分)如图，直线m，n相交于点O，在直线m，n上分别取点A，B，使OA ＝OB，分别过点A，B作直线n，m的垂线，垂足分别为C，D，直线AC与BD交于点E，设∠AOB＝α(0°<α<180°且α≠90°)．(1)求证：AC＝BD；(2)小明说，不论α是锐角还是钝角，点O都在∠E的平分线上，你认为他说的有道理吗？请说明理由；(3)连接OE，当△COE与三角板的形状相同时，直接写出α的值．解：(1)24．(本小题满分10分)已知一次函数y＝kx＋3－2k(k≠0)，A(－2，1)，C(－2，－3)，B(1，－3)，如图．(1)说明点M(2，3)在直线y ＝kx ＋3－2k(k ≠0)上；(2)当直线y ＝kx ＋3－2k(k ≠0)经过点C 时，P 是直线y ＝kx ＋3－2k(k ≠0)上一点．若S △BCP ＝2S △ABC ，求点P 的坐标；(3)当直线y ＝kx ＋3－2k(k ≠0)与△ABC 有公共点时，直接写出k 的取值范围．25．(本小题满分10分)已知扇形OAB 的半径为8，∠AOB ＝90°，点P 是OA 的中点，点Q 是AB ︵上的一个动点(不与点A ，B 重合)，如图1，将扇形沿PQ 折叠，点A 的对应点为A ′，连接AA ′.发现：在点Q 的运动过程中，∠AA ′O 始终为 ，点A ′与点B 之间的最小距离为 ； 思考：(1)如图2，当点O 与点A ′重合时，求BQ ︵的长；(2)如图3，当Q 是AB ︵上的中点时，求tan ∠APQ 的值．图1 图2 图326．(本小题满分12分)如图，抛物线L ：y ＝－12(x －t)(x －t ＋4)(常数t>0)与x 轴从左到右的交点为B ，A ，过线段OA 的中点M 作MP ⊥x 轴，交双曲线y ＝kx (k>0，x>0)于点P ，且OA ·MP＝12.(1)求k 值；(2)当t ＝1时，求AB 长，并求直线MP 与L 对称轴之间的距离；(3)把L 在直线MP 左侧部分的图象(含与直线MP 的交点)记为G ，用t 表示图象G 最高点的坐标；(4)设L 与双曲线有个交点的横坐标为x 0，且满足4≤x 0≤6，通过L 位置随t 变化的过程，直接写出t 的取值范围．答案一、选择题选择题(本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)2分，把答案写在题中横线上．)17．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －4<x ，x ＋9>4x 的解集是x<3．18．如图，点O ，A 在数轴上表示的数分别是0，0.1，将线段OA 分成10等分，离O 点最近的分点为B ；再将线段OB 分成100等份，其分点由左向右依次为N 1，N 2，…，N 99；继续将线段ON 1分成100等份，其分点由左向右依次为P 1，P 2，…，P 99；B 对应的数用科学记数法表示为：1.0×10－2；P 17对应的数用科学记数法表示为：1.7×10－5．19．如图所示，一动点从半径为2的⊙O 上的A 0点出发，沿着射线A 0O 方向运动到⊙O 上的点A 1处，再向左沿着与射线A 1O 夹角为60°的方向运动到⊙O 上的点A 2处；接着又从A 2点出发，沿着射线A 2O 方向运动到⊙O 上的点A 3处，再向左沿着与射线A 3O 夹角为60°的方向运动到⊙O 上的点A 4处；A 4A 0间的距离是A 2 019处，则点A 2 019与点A 0间的距离是2．三、解答题(共7小题，满分67分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)20．(本小题满分8分)定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a ⊕b ＝a(a －b)＋1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5＝2×(2－5)＋1＝2×(－3)＋1＝－6＋1＝－5.(1)求(－2)⊕3的值；(2)若3⊕x 的值小于13，求x 的取值范围，并在数轴上表示出来．解：(1)(－2)⊕3＝－2×(－2－3)＋1 ＝－2×(－5)＋1 ＝10＋1 ＝11.(2)∵3⊕x ＝3(3－x )＋1＝9－3x ＋1＝10－3x<13， ∴－3x<3，解得x>－1.在数轴上表示如图．21．(本小题满分9分)“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃粽子的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅棕、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽(以下分别用A ，B ，C ，D 表示)这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图(尚不完整)．请根据以上信息回答：(1)本次参加抽样调查的居民有多少人？ (2)将两幅不完整的统计图补充完整；(3)若居民区有8 000人，请估计爱吃D 粽的人数；(4)若有外形完全相同的A ，B ，C ，D 粽各一个，煮熟后，小王吃了一个，则他吃到的恰好是C 粽的概率是14．解：(1)60÷10%＝600(人)．答：本次参加抽样调查的居民有600人． (2)统计图补充如图．(3)8 000×40%＝3 200(人)，答：爱吃D 粽的人数约为3 200人．22．(本小题满分9分)如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着－3，－2，－1，0，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．(1)求第五个台阶上的数x 是多少？ (2)求前21个台阶上的数的和是多少？(3)发现：数的排列有一定的规律，第n 个－2出现在第(4n －2)个台阶上；(4)拓展：如果倩倩同学一步只能上1个或者2个台阶，那么她上第一个台阶的方法有1种：1＝1，上第二个台阶的方法有2种：1＋1＝2或2＝2，上第三个台阶的方法有3种：1＋1＋1＝3，1＋2＝3或2＋1＝3，…，她上第五个台阶的方法可以有8种．解：(1)由题意，得－3－2－1＋0＝－2－1＋0＋x ， 解得x ＝－3.答：第五个台阶上的数x 是－3.(2)由题意知：台阶上的数字是每4个一循环， －3－2－1＋0＝－6， ∵21÷4＝5……1，∴5×(－6)＋(－3)＝－33.答：前21个台阶上的数的和是－33.23．(本小题满分9分)如图，直线m ，n 相交于点O ，在直线m ，n 上分别取点A ，B ，使OA ＝OB ，分别过点A ，B 作直线n ，m 的垂线，垂足分别为C ，D ，直线AC 与BD 交于点E ，设∠AOB ＝α(0°<α<180°且α≠90°)．(1)求证：AC ＝BD ；(2)小明说，不论α是锐角还是钝角，点O 都在∠E 的平分线上，你认为他说的有道理吗？请说明理由；(3)连接OE ，当△COE 与三角板的形状相同时，直接写出α的值． 解：(1)证明：在△AOC 和△BOD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ACO ＝∠BDO ＝90 °，∠AOC ＝∠BOD ，OA ＝OB ，∴AOC ≌△BOD (AAS )．∴AC ＝BD. (2)小明的说法有道理．理由：由(1)可知OC ＝OD ，且OC ⊥AE ，OD ⊥BE. ∴点O 在∠E 的平分线上．(3)α的值为120 °或90 °或60 °. 24．(本小题满分10分)已知一次函数y ＝kx ＋3－2k(k ≠0)，A(－2，1)，C(－2，－3)，B(1，－3)，如图．(1)说明点M(2，3)在直线y ＝kx ＋3－2k(k ≠0)上；(2)当直线y ＝kx ＋3－2k(k ≠0)经过点C 时，P 是直线y ＝kx ＋3－2k(k ≠0)上一点．若S △BCP ＝2S △ABC ，求点P 的坐标；(3)当直线y ＝kx ＋3－2k(k ≠0)与△ABC 有公共点时，直接写出k 的取值范围．解：(1)证明：∵y ＝kx ＋3－2k ，∴y －3＝k (x －2)． ∴当x ＝2时，y ＝3.∴点M (2，3)在直线y ＝kx ＋3－2k (k ≠0)上． (2)将点C (－2，－3)代入y ＝kx ＋3－2k 中，得－3＝－2k ＋3－2k ，解得k ＝32.此时直线CM 的解析式为y ＝32x.设点P 的坐标为(m ，32m )．∵S △BCP ＝12BC ·|y P －y B |，S △ABC ＝12BC ·|y A －y C |，S △BCP ＝2S △ABC ，∴|32m －(－3)|＝2×|1－(－3)|. 解得m 1＝－223，∴点P 的坐标为(－223，－11)或(103，5)．(3)当直线y ＝kx ＋3－2k (k ≠0)与△ABC 有公共点时，k 的取值范围为12≤k ≤6.25．(本小题满分10分)已知扇形OAB 的半径为8，∠AOB ＝90°，点P 是OA 的中点，点Q 是AB ︵上的一个动点(不与点A ，B 重合)，如图1，将扇形沿PQ 折叠，点A 的对应点为A ′，连接AA ′.发现：在点Q 的运动过程中，∠AA ′O 始终为90°，点A ′与点B 之间的最小距离为 思考：(1)如图2，当点O 与点A ′重合时，求BQ ︵的长；(2)如图3，当Q 是AB ︵上的中点时，求tan ∠APQ 的值．图1 图2 图3解：思考：(1)连接OQ ，根据题意，得OP ＝12OA ＝12OQ ，∠OPQ ＝90 °，∴PQ ∥OB ，∠PQO ＝30 °. ∴∠QOB ＝30 °.∴lBQ ︵＝30×π×8180＝4π3.(2)连接OQ ，过点Q 作QD ⊥OA 于点D ，∵Q 是AB ︵上的中点，∠AOB ＝90 °，∴∠AOQ ＝45 °.∴DQ ＝OD ＝OQ ·sin ∠DOQ ＝8×22＝4 2.∴DP ＝OD －OP ＝42－4.∴tan ∠APQ ＝DQ DP ＝4242－4＝22－1＝2＋ 2.26．(本小题满分12分)如图，抛物线L ：y ＝－12(x －t)(x －t ＋4)(常数t>0)与x 轴从左到右的交点为B ，A ，过线段OA 的中点M 作MP ⊥x 轴，交双曲线y ＝kx (k>0，x>0)于点P ，且OA ·MP＝12.(1)求k 值；(2)当t ＝1时，求AB 长，并求直线MP 与L 对称轴之间的距离；(3)把L 在直线MP 左侧部分的图象(含与直线MP 的交点)记为G ，用t 表示图象G 最高点的坐标；(4)设L 与双曲线有个交点的横坐标为x 0，且满足4≤x 0≤6，通过L 位置随t 变化的过程，直接写出t 的取值范围．解：(1)设点P(x ，y)，则MP ＝y ，由OA 的中点为M 知OA ＝2x ，代入OA ·MP ＝12，得 2xy ＝12，即xy ＝6. ∴k ＝xy ＝6.(2)当t ＝1时，令y ＝0，得0＝－12(x －1)(x ＋3)．解得x 1＝1，x 2＝－3.∴抛物线的对称轴为直线x ＝－1. ∵B 在A 左边，∴B(－3，0)，A(1，0)．∴AB ＝4，M(12，0)．∴MP 与L 对称轴之间的距离为32.(3)∵A(t ，0)，B(t －4，0)，∴L 的对称轴为直线x ＝t －2，直线MP 为x ＝t2.当t －2≤t2，即t ≤4时，顶点(t －2，2)就是G 的最高点；当t －2＞t 2，即t ＞4时，L 与MP 的交点(t 2，－18t 2＋t)就是G 的最高点．(4)5≤t ≤8－2或7≤t ≤8＋ 2.对比曲线，当4≤x 0≤6时，1≤y 0≤32，即L 与双曲线在C(4，32)，D(6，1)之间的一段有个交点．①由32＝－12(4－t)(4－t ＋4)，得t 1＝5，t 2＝7；②由1＝－12(6－t)(6－t ＋4)，得t 3＝8－2，t 4＝8＋ 2. 随着t 的逐渐增大，L 位置随着点A(t ，0)向右平移，如图所示．当t ＝5时，L 右侧过点C ；当t ＝8－2＜7时，L 右侧过点D ，即5≤t ≤8－ 2.当8－2＜t ＜7时，L 右侧离开了点D ，而左侧未到点C ，即L 与该段无交点，舍去． 当t ＝7时，L 左侧过点C ；当t ＝8＋2时，L 左侧过点D ，即7≤t ≤8＋ 2.2020年河北省中考数学模拟试题(B)一、选择题(本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．计算：－(－9)＝( )A ．9B ．－9C ．±9D ．02．如图，长度为10 m 的木条，从两边各截取长度为x m 的木条．若得到的三根木条能组成三角形，则x 可以取的值为( )A ．2 B.52 C ．3 D ．63．下列计算中，正确的是( )A ．a 6÷a 3＝a 2(a ≠0)B ．4a －3a ＝aC ．－x(x －2y ＋2)＝－x 2－2xy ＋2xD ．20＝04．反比例函数y ＝－16x (x ＜0)的图象大致为( )A B CD 5.下列图形，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )A B CD 6．如图，下面描述点C 的位置，正确的是( )A ．点C 在点A 北偏东55°，点B 北偏西40°方向上B ．点C 在点A 北偏东45°，点B 北偏西50°方向上C ．点C 在点A 东偏北50°，点B 西偏北40°方向上D ．点C 在点A 北偏东35°，点B 北偏西50°方向上7．计算(aa －b ＋bb －a )÷1a ＋b 的结果是( )A ．a ＋bB ．abC ．a 2－b 2D ．a －b8．若方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝4，2x －y ＝m中的x ，y 满足x ＝2y ，则m 的值为( ) A ．1 B.12 C.32 D.529．由若干个(大于8个)大小相同的正方体组成一个几何体的主视图和俯视图如图所示，则这个几何体的左视图不可能是()A B CD10．如图，在5×8的正方形网格中，下列结论成立的是()A．△PAB∽△PCA B．△ABC∽△DBAC．△PAB∽△PDA D．△ABC∽△DCA11．如图1，△ABC和△DEF是边长为2的两个全等的等边三角形，△DEF保持不动，把△ABC 沿FD方向平移到如图2所示位置，则阴影部分的周长为()A．6 B．8 C．10 D．1212．从高处自由下落的物体，下落距离s与下落时间t的平方成正比．若某一物体从125米高度自由下落，5秒落地，则下落1秒时，距离地面的高度为()A．5米B．25米C．100米B．120米13．已知在△ABC中，AB＝AC，用尺规在BC上确定中点P，则下列作图痕迹不符合要求的是()A B C D14．如图，四边形ABCD中，AB与CD不平行，M，N分别是AD，BC的中点，AB＝4，DC＝2，则MN的长不可能是()A．3 B．2.5 C．2 D．1.515.如图，在边长为2 cm 的等边△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，点M ，N 同时从A 点出发，分别沿A －B －D ，A －D 运动，速度都是1 cm/s ，直到两点都到达点D 即停止运动．设点M ，N运动的时间为x(s)，△AMN 的面积为y(cm 2)，则y 与x 的函数图象大致是( )A B C D16．在分割矩形的课外实践活动中，甲、乙两人进行如下操作：甲：如图1，将矩形按图形所示分割成四个三角形，然后将其沿矩形的边翻折，得到一个面积是原来矩形面积2倍的菱形；乙：如图2，将矩形按图形所示分割成四个三角形，然后将其沿矩形的边翻折，得到一个面积是原来矩形面积2倍的矩形．则下列说法正确的是( )A ．甲、乙都正确B ．甲、乙都不正确C ．甲不正确，乙正确D ．甲正确，乙不正确二、填空题(本大题有3个小题，共11分，17小题3分；18～19小题各有2个空，每空2分，把答案写在题中横线上)17．若12是数a 的立方根，则a ＝ ． 18．已知a ，b 互为倒数：若a ＝2 000，请用科学记数法表示b ＝ ；若a 为任意非零实数，则(a ＋b)2－(a －b)2＝ ．19．定义：如图，若菱形AECF 与正方形ABCD 两个顶点A ，C 重合，另外两个顶点E ，F 在正方形ABCD 的内部，则称菱形AECF 为正方形ABCD 的内含菱形．若正方形的周长为16，其内含菱形边长是整数，则内含菱形的周长为 ；若正方形的面积为18，其内含菱形的面积为6，则内含菱形的边长为 ．三、解答题(共7小题，满分67分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)20．(本小题满分8分)如图，在数轴上有A ，B 两点．(1)若C 是AB 的中点，求C 点表示的数；(2)若AD ＝14AB ，求D 点表示的数．21．(本小题满分9分)目前中学生带手机进校园现象越来越受到社会关注，针对这种现象，某校数学兴趣小组的同学随机调查了学校若干名家长对“中学生带手机”现象的态度(态度分为：A.无所谓；B.基本赞成；C.赞成；D.反对)，并将调查结果绘制成折线统计图1和扇形统计图2(不完整)．请根据图中提供的信息，解答下列问题：(1)此次抽样调查中，共调查了多少名中学生家长？(2)求出图2中扇形C 所对的圆心角的度数，并将图1补充完整；(3)根据抽样调查结果，请你估计1万名中学生家长中有多少名家长持反对态度？(4)在此次调查活动中，初三(1)班和初三(2)班各有2名家长对中学生带手机持反对态度，现从这4名家长中选2名家长参加学校组织的家校活动，用列表法或画树状图的方法求选出的2人来自不同班级的概率．22．(本小题满分9分)发现 两个差为2的整数的积与1的和总是一个整数的平方．验证 (1)(－9)×(－7)＋1是几的平方？(2)设较小一个整数为n ，写出这两个整数的积与1的和，并说明它是一个整数的平方； 延伸 两个差为4的偶数，它们的积与常数a 的和是一个整数的平方，求a.23．(本小题满分9分)某超市从糕点厂以每个5元的价格购进某种风味糕点，并以每个8元的价格销售，如果该糕点当天卖不完，那么剩下的糕点不再销售，由糕点厂以每个2元的价格回收处理，超市考虑市场基本情况后，决定每天购进25个该种糕点．(1)求超市当天的利润y(单位：元)与当天销售量x(单位：个)之间的函数关系式；(2)若超市记录50天该糕点的日销售量(单位：个)，整理得到如图所示的统计图： ①请计算这50天该糕点的平均销售量；②若从记录中随机抽取一天，求抽到当天利润低于45元的概率．24．(本小题满分10分)如图，在▱ABCD 中，AD ⊥DB ，垂足为D ，将▱ABCD 折叠，使点B 落在点D 的位置，点C 落在点G 的位置，折痕为EF.(1)求证：△ADE ≌△GDF ；(2)若BD ＝AE ，求∠GFC 的度数；(3)连接CG ，求证：四边形DBCG 是矩形．25．(本小题满分10分)如图1，已知在△ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝12，D 是AB 上一动点，设AD ＝x ，以AD 为直径作⊙E.发现：当点C 在⊙E 上时，x ＝ ；CE 的最小值为 ；思考：(1)若⊙E 交AC 另一点为F ，当AF ＝2时，求AF ︵的长；(2)当⊙E 与边AC ，BC 恰好有3个公共点时，求x.探究：如图2，过点D 作DM ⊥BC 于点M ，交⊙E 于点N ，当CN ⊥AB 时，求DN 的长．(参考数据：sin25°≈512，cos65°≈512，tan23°≈512)图1 图226.(本小题满分12分)已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋nx ＋n （x ≥n ），－12x 2＋n 2x ＋n 2（x ＜n ），(n 为常数) (1)当n ＝5时：①点P(4，b)在此函数图象上，求b 的值；②求此函数的最大值；(2)已知线段AB 的两个端点坐标分别为A(2，2)，B(4，2)，当此函数的图象与线段AB只有一个交点时，直接写出n 的取值范围；(3)当此函数图象上有4个点到x 轴的距离等于4时，求n 的取值范围．答案一、选择题(本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)二、填空题(本大题有3个小题，共11分，17小题3分；18～19小题各有2个空，每空2分，把答案写在题中横线上)17．若12是数a 的立方根，则a ＝18． 18．已知a ，b 互为倒数：若a ＝2 000，请用科学记数法表示b ＝5×10－4；若a 为任意非零实数，则(a ＋b)2－(a －b)2＝4．19．定义：如图，若菱形AECF 与正方形ABCD 两个顶点A ，C 重合，另外两个顶点E ，F 在正方形ABCD 的内部，则称菱形AECF 为正方形ABCD 的内含菱形．若正方形的周长为16，其内含菱形边长是整数，则内含菱形的周长为12；若正方形的面积为18，其内含菱形的面积为6三、解答题(共7小题，满分67分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)20．(本小题满分8分)如图，在数轴上有A ，B 两点．(1)若C 是AB 的中点，求C 点表示的数；(2)若AD ＝14AB ，求D 点表示的数． 解：(1)C 点表示的数为10－62＝2. (2)∵AB ＝10－(－6)＝16，∴AD ＝14AB ＝4. 当D 在A 点左侧时，D 点表示的数为－6－4＝－10；当D 在A 点右侧时，D 点表示的数为－6＋4＝－2.∴D 点表示的数为－2或－10.21．(本小题满分9分)目前中学生带手机进校园现象越来越受到社会关注，针对这种现象，某校数学兴趣小组的同学随机调查了学校若干名家长对“中学生带手机”现象的态度(态度分为：A.无所谓；B.基本赞成；C.赞成；D.反对)，并将调查结果绘制成折线统计图1和扇形统计图2(不完整)．请根据图中提供的信息，解答下列问题：(1)此次抽样调查中，共调查了多少名中学生家长？(2)求出图2中扇形C所对的圆心角的度数，并将图1补充完整；(3)根据抽样调查结果，请你估计1万名中学生家长中有多少名家长持反对态度？(4)在此次调查活动中，初三(1)班和初三(2)班各有2名家长对中学生带手机持反对态度，现从这4名家长中选2名家长参加学校组织的家校活动，用列表法或画树状图的方法求选出的2人来自不同班级的概率．解：(1)共调查的中学生家长数是40÷20%＝200(人)．(2)扇形C所对的圆心角的度数是360 °×(1－20%－15%－60%)＝18 °，C类的人数是200×(1－20%－15%－60%)＝10(人)．补图如图．(3)10 000×60%＝6 000(人)．答：10 000名中学生家长中大约有6 000名家长持反对态度．(4)设初三(1)班两名家长为A1，A2，初三(2)班两名家长为B1，B2，画树状图为：共有12种等可能的结果，其中2人来自不同班级的共有8种，所以选出的2人来自不同班级的概率为812＝23.22．(本小题满分9分)发现两个差为2的整数的积与1的和总是一个整数的平方．验证(1)(－9)×(－7)＋1是几的平方？(2)设较小一个整数为n，写出这两个整数的积与1的和，并说明它是一个整数的平方；延伸两个差为4的偶数，它们的积与常数a的和是一个整数的平方，求a.解：验证：(1)(－9)×(－7)＋1＝64＝82，是8的平方．(2)较小一个整数为n，则较大的整数为n＋2，依题意，得n(n＋2)＋1＝n2＋2n＋1＝(n＋1)2.∴结果是整数n＋1的平方．延伸：设较小的偶数为2n，则较大的偶数为2n＋4，依题意，得2n(2n＋4)＋a＝4n2＋8n＋a＝4(n2＋2n＋1)＋a－4＝[2(n＋1)]2＋a－4.∴a－4＝0，即a＝4.23．(本小题满分9分)某超市从糕点厂以每个5元的价格购进某种风味糕点，并以每个8元的价格销售，如果该糕点当天卖不完，那么剩下的糕点不再销售，由糕点厂以每个2元的价格回收处理，超市考虑市场基本情况后，决定每天购进25个该种糕点．(1)求超市当天的利润y(单位：元)与当天销售量x(单位：个)之间的函数关系式；(2)若超市记录50天该糕点的日销售量(单位：个)，整理得到如图所示的统计图： ①请计算这50天该糕点的平均销售量；②若从记录中随机抽取一天，求抽到当天利润低于45元的概率．解：(1)y ＝(8－5)x －(5－2)(25－x )＝6x －75.(2)①x ＝17×6＋18×4＋19×8＋20×12＋21×10＋22×6＋23×450＝20.答：这50天该糕点的平均销售量为20个．②6x －75＜45，解得x ＜20.∴当日销售量小于20个时，当天利润低于45元．∵在50天中，日销售量小于20个的天数是18天，∴P (抽到当天利润低于45元)＝1850＝925. 24．(本小题满分10分)如图，在▱ABCD 中，AD ⊥DB ，垂足为D ，将▱ABCD 折叠，使点B 落在点D 的位置，点C 落在点G 的位置，折痕为EF.(1)求证：△ADE ≌△GDF ；(2)若BD ＝AE ，求∠GFC 的度数；(3)连接CG ，求证：四边形DBCG 是矩形．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，∠A ＝∠BCD ，∠ABC ＝∠ADC.由折叠可知，∠BCD ＝∠DGF ，BC ＝DG ，∠EBC ＝∠EDG.∴AD ＝DG ，∠A ＝∠DGF ，∠ADC ＝∠EDG.∵∠ADC ＝∠ADE ＋∠EDC ，∠EDG ＝∠EDC ＋∠GDF ，∴∠ADE ＝∠GDF.∴△ADE ≌△GDF (ASA )．(2)由折叠可知，BE ＝DE ，∴∠EDB ＝∠EBD.∵AD ⊥DB ，∴∠EDB ＋∠ADE ＝∠EBD ＋∠A ＝90 °.∴∠ADE ＝∠A.∴AE ＝DE ＝BE.∵BD ＝AE ，∴BD ＝DE ＝BE.∴△BDE 为等边三角形，∠DEB ＝60 °.∵∠ADE ＝∠GDF ，∠DAE ＝∠DGF ，∴∠GFC ＝∠GDF ＋∠DGF ＝∠ADE ＋∠DAE ＝∠DEB ＝60 °.(3)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC.∵AD ⊥DB ，∴∠ADB ＝∠DBC ＝90 °.由折叠可知，∠DBC ＝∠BDG ＝90 °.∴DG ∥BC.∵DG ＝BC ，∴四边形DBCG 是矩形．25．(本小题满分10分)如图1，已知在△ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝12，D 是AB 上一动点，设AD ＝x ，以AD 为直径作⊙E.发现：当点C 在⊙E 上时，x ＝13；CE 的最小值为6013； 思考：(1)若⊙E 交AC 另一点为F ，当AF ＝2时，求AF ︵的长；(2)当⊙E 与边AC ，BC 恰好有3个公共点时，求x.探究：如图2，过点D 作DM ⊥BC 于点M ，交⊙E 于点N ，当CN ⊥AB 时，求DN 的长．(参考数据：sin25°≈512，cos65°≈512，tan23°≈512)图1 图2 解：思考：(1)过点E 作EG ⊥AF 于点G ，连接EF ，则AG ＝1.∵∠C ＝∠AGE ＝90 °，∴EG ∥BC.∴∠B ＝∠AEG.∵tanB ＝512，∴∠AEG ＝23 °.∴∠AEF ＝46 °. ∵sinB ＝sin ∠AEG ＝AG AE ＝513.∴AE ＝135.∴AF ︵的长为46180π×135＝299450π. (2)当⊙E 与边AC ，BC 恰好有3个公共点时，⊙E 过点C 或⊙E 与BC 相切．①⊙E 过点C ，∴x ＝AB ＝13；②⊙E 与BC 相切，如图，设切点为H ，连接EH ，则EH ⊥BC.∵sinB ＝AC AB ＝EH BE ，∴513＝12x 13－12x .∴x ＝659. 探究：连接AN ，则∠AND ＝90 °.∵∠AND ＝∠NMB ＝ 90 °，∴AN ∥BC.∴∠NAD ＝∠B.∵CN ⊥AB ，∴∠ACN ＋∠CAD ＝ 90 °，∠B ＋∠CAD ＝ 90 °.∴∠ACN ＝∠B.∴tan ∠ACN ＝ tanB ＝512＝AN AC .∵AC ＝5, ∴AN ＝2512. ∴tan ∠NAD ＝DN 2512＝512.∴DN ＝125144.26.(本小题满分12分)已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋nx ＋n （x ≥n ），－12x 2＋n 2x ＋n 2（x ＜n ），(n 为常数) (1)当n ＝5时：①点P(4，b)在此函数图象上，求b 的值；②求此函数的最大值；(2)已知线段AB 的两个端点坐标分别为A(2，2)，B(4，2)，当此函数的图象与线段AB 只有一个交点时，直接写出n 的取值范围；(3)当此函数图象上有4个点到x 轴的距离等于4时，求n 的取值范围．解：(1)当n ＝5时，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋5x ＋5（x ≥5），－12x 2＋52x ＋52（x ＜5）， ①将P (4，b )代入y ＝－12x 2＋52x ＋52，得b ＝92. ②当x ≥5时，函数最大值为5；当x ＜5时，函数最大值为458. ∴此函数的最大值为458. (2)将点(4，2)代入y ＝－x 2＋nx ＋n 中，得n ＝185. ∴当185＜n ＜4时，图象与线段AB 只有一个交点． 将点(2，2)代入y ＝－x 2＋nx ＋n 中，得n ＝2.将点(2，2)代入y ＝－12x 2＋n 2x ＋n 2中，得n ＝83. ∴当2≤n ＜83时，图象与线段AB 只有一个交点． 综上所述，当185＜n ＜4或2≤n ＜83时，图象与线段AB 只有一个交点． (3)当n ＞0时，n ＞n 2，函数图象如图中实线所示： ①如图1，当点A 的纵坐标为4时，则有－n 28＋n 24＋n 2＝4，解得n ＝4或n ＝－8(舍去)． 观察图象可知，当n ＝4时，恰好有四个点满足条件，分别是点A ，B ，C ，D.②如图2，观察图象可知，当n ≥8时，恰好有四个点满足条件，分别是点A ，B ，C ，D.图1 图2当n ＜0时，n ＜n 2，函数图象如图中实线所示： ③如图3，当点A 的纵坐标为4时， 则有－n 24＋错误!＋n ＝4，解得n ＝－2－2错误!或n ＝－2＋2错误!(舍去)． 观察图象可知，当n ＝4时，恰好有四个点满足条件，分别是点A ，B ，C ，D.④如图4，当n ≤－8时，观察图象可知，恰好有四个点满足条件，分别是点A ，B ，C ，D.图3 图4综上所述，当函数图象上有4个点到x 轴的距离等于4时，n ≤－8或n ＝－2－25或n ＝4或n ≥8.。