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专题02 十字相乘法与增根全解(试题解析)

专题02 十字相乘法与增根全解解题核心一、十字相乘法因式分解(形如ax2+bx+c)1. 二次项系数为1时x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)方法特点:拆常数项,凑一次项.当常数项为正数时,分解成同号的因数,符号与一次项符号相同;当常数项为负数时,分解成异号的因数,绝对值较大数的符号与一次项符号相同;例:x2+4x+3→ x2+4x+3=(x+1)(x+3)x2-5x-6→ x2-5x-6=(x+1)(x-6)2. 二次项系数不为1时ax2+bx+c=a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2=(a1x+c1)(a2x+c2)此类特点:拆两头,凑中间1. 当二次项系数为负数时,提取符号,将其转变为正数2. 二次项系数只分解成两个正数的乘积3. 常数项分解参考上一类4. 分解后横向写结果.例:2x2-3x-5→ 2x2-3x-5=(x+1)(2x-5)3. 多字母例:4x2-3xy-y2→ 4x2-3xy-y2=(x-y)(4x+y)二、分式方程的增根与无解1. 增根意义:(1)增根是所给分式方程去分母后整式方程的根;(2)(1)中的根使分式方程分母为0.2. 分式方程无解与增根无解:分式方程化成整式方程后,(1)整式方程无解;(2)整式方程的所有的解均为增根. 增根:①是分式方程转化为整式方程后的解;②该解使得原分式方程分母为0.*分式方程无解≠分式方程有增根;分式方程有增根≠分式方程无解.若分式方程无解,且分式方程转化整式方程后有解,则该解必为增根.释义:1. 分式方程10x= 去分母得:1=0×x ,此方程无解; 2. 分式方程20x x= 去分母得:x 2=0,解得x=0,此时分母为0,无意义,故x=0是分式方程的增根,此方程无解;3. 分式方程()10x x x-= 去分母得:x (x -1)=0,解得x=0或x=1,x=0是分式方程的增根,分式方程的解为x=1. 4. 若分式方程21x m x -=+无解,求m 值. 去分母得:x -m=2x+2,x=-m -2,原方程无解,则x=-1,即-m -2=-1,m=-1.5. 若分式方程21x m x -=+m 无解,求m 值. 去分母得:x -m=2mx+2m ,(1-2m)x=3m ,因为原方程无解,则:1-2m=0或3112m m=--,即m=0.5或m=-1.★解分式方程时一定要“检验”!【题型一】十字相乘【例1-1】(1)x 2+14x+24;(2)a 2-15a+36;(3)x 2+4x -5【答案】(1)原式= (x+2)(x+12)(2)原式= (a-3)(a-12)(3)原式= (x+5)(x-1)【例1-2】(1)x2+x-2;(2)y2-2y-15;(3)x2-10x-24【答案】(1)原式= (x+2)(x-1) (2)原式= (y-5)(y+3) (3)原式= (x-12)(x+2)【例1-3】(1)5x2+7x-6;(2)3x2-7x+2;(3)10x2-17x+3;(4)-6t2+11t+10【答案】(1)原式= (x+2)(5x-3) (2)原式= (x-2)(3x-1) (3)原式=-(2t-5)(3t+2)【例2-1】(1)x2-3xy+2y2;(2)m2-6mn+8n2;(3)a2-ab-6b2【答案】(1)原式= (x-2y)(x-y) (2)原式= (m-2n)(m-4n) (3)原式= (a-3b)(a+2b)【例2-2】(1)15x2+7xy-4y2;(2)12x2-11xy-15y2【答案】(1)原式= (3x-1)(5x+4)(2)原式= (3x-5)(4x+3)【例3-1】(1)(x+y)2-3(x+y)-10;(2)(a+b)2-4a-4b+3(3)12(x+y)2+11(x2-y2)+2(x-y)2【答案】(1)原式=(x+y-5)(x+y+2)(2)原式=(a+b)2-4(a+b)+3=(a+b-1)(a+b-3)(3)原式=12(x+y)2+11(x+y)(x-y)+2(x-y)2 =(3x+3y+2x-2y)(4x+4y+x-y)=(5x+y)(5x+3y)【例3-2】(1)(x2-3)2-4x2;(2)(x2+x)2-17(x2+x)+60(3)(x2+2x-3)(x2+2x-24)+90【答案】(1)原式=(x2-3+2x)(x2-3-2x)=(x+3)(x-1)(x-3)(x+1)(2)原式=(x2+x-12)(x2+x-5)=(x+4)(x-3)(x2+x-5)(3)令x2+2x=t,原式=(t-3)(t-24)+90=t2-27t+162=(t-9)(t-18)=(x 2+2x-9)(x 2+2x-18)【例4-1】(2020·长沙市月考)如果关于x 的不等式组213272x x x a+⎧-≤⎪⎨⎪<-⎩有且仅有2个整数解,并且关于y 的分式方程45333y a a y y++=--有整数解,则符合条件的所有整数a 的和是( ) A .24B .15C .12D .7【答案】C. 【解析】解:213272x x x a +⎧-≤⎪⎨⎪<-⎩①②解①得:x≥−2,解②得:x <27a -, 不等式组的解集为−2≤x <27a -, 因为不等式组有且仅有2个整数解,所以−1<27a -≤0. 解得2≤a <9分式方程去分母得:y +4a−5a =3(y−3),解得:y =92a -. 经检验:a =5或7是分式方程的解.则所有整数a 的和为12.故答案为:C .【例4-2】(2020·重庆月考)若关于x 的分式方程4222a x x-=--的解为正整数,且关于y 的不等式组25220y y y a -⎧+<⎪⎨⎪-≤⎩无解,则满足条件的所有整数a 的值之和是( )A .18-B .14-C .10-D .6-【答案】D.【解析】解不等式组,y>83,y≤a∵不等式组无解,∴a≤83,分式方程去分母得,4+a=2x-4,解得,x=82a+,∵分式的解为正整数,∴82a+>且822a+≠,∴883a-<≤且4a≠-∴整数a=-6,-2,0,2,∴整数a之和为:-6.故答案为:D.【例4-3】(2020·重庆月考)若关于x的一元一次不等式组12(35)334333x axx⎧--≤⎪⎪⎨+⎪>+⎪⎩无解,且关于y的分式方程223211y a yy y---=--有非负整数解,则符合条件的所有整数a的和为()A.7 B.8 C.14 D.15 【答案】C.【解析】解:解不等式组12(35)334333x axx⎧--⎪⎪⎨+⎪>+⎪⎩,得16x ax-⎧⎨>⎩,∵不等式组12(35)334333x axx⎧--⎪⎪⎨+⎪>+⎪⎩无解,∴a-1≤6,即a≤7,解分式方程,得y=12a+,为非负整数,且a≤7,∴a=-1或1或3或5或7,a=1时,y=1,原分式方程无解,a=1舍去,符合条件的所有整数a 的和是14,故答案为:C .【例5-1】(2020·河北石家庄市期中)若关于x 的分式方程3mx x --2=23m x -无解,则m 的值为( )A .0B .2C .0或2D .无法确定 【答案】C.【解析】解:分式方程去分母,得:(m-2)x=2m-6,由分式方程无解,①m-2=0,m=2,②x −3=0,即x =3,把x =3代入整式方程得:m =0,故答案为:C .【例5-2】(2020·长沙市月考)请你利用我们学习的“分式方程及其解法”解决下列问题: (1)已知关于x 的方程2112mx x -=+的解为负数,求m 的取值范围; (2)若关于x 的分式方程322133x nx x x --+=---无解.求n 的取值范围. 【答案】见解析.【解析】解:(1)去分母,得2mx-1=x+2,当2m-1≠0时,解得:x=321m -, ∵ 方程有解,且解为负数, ∴2103221m m -<⎧⎪⎨≠-⎪-⎩,解得m <12且m≠14-; (2)分式方程去分母整理得:(n-1)x=2,当n -1=0时,方程无解,此时n =1;当n-1≠0时,x=21n -, 要使方程无解,则21n -=3,解得:n=53; 综上,n=53或n =1.【例5-3】(2020·湖南株洲市期中)若分式方程144-=--x m x x 无解,则m =__________. 【答案】3.【解析】解:方程去分母得:m =x ﹣1,解得:x =m +1,∴当x =4时分母为0,方程无解,即m +1=4,∴m =3时方程无解.故答案为:3. 【例5-4】(2020·新乐市月考)若关于x 的分式方程223111m x x x -=+--无解,则m =________. 【答案】32-或2. 【解析】解:去分母可得:(m-2)x=m+5,当m-2=0时,∴ m=2,此时方程无解,满足题意,当m-2≠0时,x=52m m +-, 由于该分式方程无解,x 2-1=0,x=1或x=-1 即52m m +-=-1或1, 解得:m=32-, 故答案为:32-或2. 【例5-5】(2020·黑龙江齐齐哈尔市期末)如果方程322x m x x -=-- 无解,则m=___________. 【答案】1.【解析】解:去分母,得x -3=﹣m ,∵原方程无解,∴x -2=0,即x =2,把x =2代入上式,得2-3=﹣m ,所以m =1.故答案为1.【例6-1】(2020·四川省成都期中)关于x 的分式方程3601(1)x k x x x x ++-=--有解,则k 该满足什么条件?【答案】见解析.【解析】解:原方程整理得:8x=k+3∵该分式方程有解,∴x≠0,且x≠1,即k+3≠0且k+3≠8,解得:k≠-3且k≠5.【例6-2】(2020·北京师大附中期中)当k 为何值时,关于x 的方程123(2)(3)x x x k x x x x ++-=-+-+的解为负数. 【答案】见解析.【解析】解:分式方程解得:x=35k -, ∵方程的解为负数,且使得分式有意义, ∴305325335k k k -⎧<⎪⎪-⎪≠⎨⎪⎪-≠-⎪⎩, 解得k <3且k≠-12.【例6-3】(2020·黑龙江绥化市模考)关于x 的分式方程2111x a x x -=+-的解为负数,则a 的取值范围____.【答案】见解析.【解析】解:原方程化为:x=1-a ,∵分式方程的解为负数,∴1-a <0,∴a>1∵x≠1,且x≠-1,∴1-a≠-1,得a≠2故答案为:a >1且a≠2.【例6-4】(2020·长沙市月考)已知关于x的分式方程2311x kx x-=--的解为正数,则k的取值范围为________.【答案】k<32且k≠12.【解析】解:去分母得,x-3(x-1)=2k解得:x=322k -,∵分式方程的解为正数,∴322k->,且3212k-≠解得,k<32且k≠12故答案为:k<32且k≠12.【例7-1】(2020·山东济南市期中)若关于x的方程12x-+3=12axx--有增根,则a=_____.【答案】1.【解析】解:去分母,得1+3x﹣6=ax﹣1,∵方程有增根,所以x﹣2=0,x=2是方程的增根,将x=2代入上式,得1+6﹣6=2a﹣1,解得a=1,故答案为1.【例7-2】(2020·昌乐县期中)若关于x的分式方程4333x ax x--=--有增根,则a的值是______.【答案】-1.【解析】解:原分式方程解得:x=52a -∵分式方程有增根,∴52a-=3,解得a=-1.故答案为:-1.【例7-3】(2020·浙江杭州市模拟)关于x的方程32211x mx x--=++有增根,则m的值为___.【答案】-5.【解析】解:分式方程解得:x=m+4,因为分式方程由增根,即x=-1∴m+4=-1即m=-5故答案为-5.【例7-4】(2020·四川成都市期中)已知关于x 的分式方程222242mx x x x +=--+.若方程有增根,则m 的值为_______.【答案】±4. 【解析】解:分式方程变为:mx=-8,由方程有增根,得x=2或x=-2∴m=-4或m=4故答案为:±4. 【例7-4】(2020·浙江杭州市模拟)关于x 的方程213242ax x x x +=--+有增根,则a 的值为_______.【答案】-2或6.【解析】解:方程整理得:(2-a )x=8,∵原方程有增根,∴x=2或x=-2∴a=-2或a=6故答案为:-2或6.【例7-5】(2020·湖南岳阳市期中)若关于x 的分式方程355x a x x -=--有增根,则a 的值为__________.【答案】5.【解析】解:原方程两边同时乘以(x-5)得:x-3(x-5)=a,由题意,x=5,∴a=5,故答案为5 .。

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