7、7 机械能守恒定律的应用一、教学目标1．熟悉应用机械能守恒定律解题的步骤．2．明了应用机械能守恒定律分析问题的注意点．二、重点·难点及解决办法1．重点：机械能守恒定律的具体应用。
2．难点：应用机械能守恒定律和动能定律分析解决较复杂的力学问题。
3．解决办法（1）分析典型例题，解剖麻雀，从而掌握机械能守恒定律应用的程序和方法。
（2）比较研究，能准确选择解决力学问题的方法、灵活运用各种定律分析问题。
三、教学步骤【引入新课】复习上节课的机械能守恒定律内容及数学表达式． 【新课教学】1、应用机械能守恒定律解题的步骤：（1）根据题意选取研究对象（物体或系统）；（2）分析研究对象在运动过程中的受力情况以及各力做功的情况，判断机械能是否守恒； （3）确定运动的始末状态，选取零势能面，并确定研究对象在始、末状态时的机械能； （4）根据机械能守恒定律列出方程进行求解注意：列式时，要养成这样的习惯，等式作左边是初状态的机械能而等式右边是末状态的机械能，这样有助于分析的条理性。
例1：如图所示，光滑的倾斜轨道与半径为R 的圆形轨道相连接，质量为。
的小球在倾斜轨道上由静止释放，要使小球恰能通过圆形轨道的最高点，小球释放点离圆形轨道最低点多高？通过轨道点最低点时球对轨道压力多大？分析及解答： 小球在运动过程中，受到重力和轨道支持力，轨道支持力对小球不做功，只有重力做功，小球机械能守恒．取轨道最低点为零重力势能面．因小球恰能通过圆轨道的最高点C ，说明此时，轨道对小球作用力为零，只有重力提供向心力，根据牛顿第二定律可列R v m mg c 2= 得 gR mR v mc 2212= 在圆轨道最高点小球机械能mgR mgR E C 221+=在释放点，小球机械能为 mgh E A =根据机械能守恒定律 A C E E = 列等式：R mg mgR mgh 221+= 解设R h 25= 同理，小球在最低点机械能 221B B mv E =gR v E E B C B 5:=小球在B 点受到轨道支持力F 和重力根据牛顿第二定律，以向上为正，可列mg F Rv mmg F B62==-据牛顿第三定律，小球对轨道压力为6mg ．方向竖直向下．例2．长l=80cm 的细绳上端固定，下端系一个质量m ＝100g 的小球。
将小球拉起至细绳与竖立方向成60°角的位置，然后无初速释放。
不计小球运动过程中，重力势能的变化量0)60cos 1(0=--=-=∆mgl mgh E p ，此过程中动能的变化量221mv E k -=∆。
机械能守恒定律还可以表达为0=∆+∆k p E E 即0)60cos 1(2102=--mgl mv整理得)60cos 1(202-=mg m l v m 又在最低点时，有lv m mg T 2=- 在最低点时绳对小球的拉力大小N N mg mg mg lv m mg T 2101.022)60cos 1(202=⨯⨯==-+=+= 提出问题：通过以上各例题，总结应用机械能守恒定律解决问题的基本方法。
2．机械能守恒定律在多个物体组成系统中的应用对单个物体能用机械能守恒定律解的题一般都能用动能定理解决．而且省去了确定是否守恒和选定零势能面的麻烦，反过来，能用动能定理来解决的题却不一定都能用机械能守恒定律来解决，在这个意义上讲，动能定理比机械能守恒定律应用更广泛更普遍。
故机械能守恒定律主要应用在多个物体组成的系统中。
例3：如图2-8-3所示，粗细均匀的U 形管内装有总长为4L 的水。
开始时阀门K 闭合，左右支管内水面高度差为L 。
打开阀门K 后，左右水面刚好相平时左管液面的速度是多大？（管的内部横截面很小，摩擦阻力忽略不计）解答：由于不考虑摩擦阻力，故整个水柱的机械能守恒。
从初始状态到左右支管水面相平为止，相当于有长L /2的水柱由左管移到右管。
系统的重力势能减少，动能增加。
该过程中，整个水柱势能的减少量等效于高L /2的水柱降低L /2重力势能的减少。
不妨设水柱总质量为8m ，则28212v m L mg ⋅⋅=⋅，得8gL v =例4：如图2-8-4所示，质量分别为2 m 和3m 的两个小球固定在一根直角尺的两端A 、B ，直角尺的顶点O 处有光滑的固定转动轴。
AO 、BO 的长分别为2L 和L 。
开始时直角尺的AO 部分处于水平位置而B 在O 的正下方。
让该系统由静止开始自由转动，求：当A 到达最低点时，A 小球的速度大小v ？ 解答：以直角尺和两小球组成的系统为对象，由于转动过程不受摩擦和介质阻力，所以该系统的机械能守恒。
过程中A 的重力势能减少， A 、B 的动能和B 的重力势能增加，A 的即时速度总是B 的2倍。
222321221322⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅⋅+⋅=⋅v m v m L mg L mg ，解得118gL v =例5：如图22所示，将楔木块放在光滑水平面上靠墙边处并用手固定，然后在木块和墙面之间放入一个小球，球的下缘离地面高度为H ，木块的倾角为θ，球和木块质量相等，一切接触面均光滑，放手让小球和木块同时由静止开始运动，求球着地时球和木块的速度。
解答：此题的关键是要找到球着地时小球和木块的速度的关系。
因为小球和木块总是相互接触的，所以小球的速度V 1和木块 的速度V 2在垂直于接触面的方向上的投影相等，即:V 1Cos θ=V 2Sin θ 由机械能守恒定律可得：mgH=mv 12/2+mv 22/2由上述二式可求得： V 1=gH 2.sin θ, V 2=gH 2.cos θ.2-8-32-8-4【同步检测】1、如图2-8-14所示，两质量相同的小球A 、B ，分别用线悬线在等高的O 1、O 2点，A 球的悬线比B 比球的悬线长，把两球的悬线均拉到水平后将小球无初速释放，则经过最低点时（悬点为零势能）（ ） A ．A 球的速度大于B 球的速度 B ．A 球的动能大于B 球的动能C ．A 球的机械能大于B 球的机械能D ．A 球的机械能等于B 球的机械能2．如图2-8-15所示，小球自高为H 的A 点由静止开始沿光滑曲面下滑，到曲面底B 点飞离曲面，B 点处曲面的切线沿水平方向．若其他条件不变，只改变h ，则小球的水平射程s 的变化情况是 ( )A ．h 增大，s 可能增大B ．h 增大，s 可能减小C ．A 减小，s 可能增大D ．A 减小，s 可能减小3．用平行斜面向下的拉力将物体沿斜面拉下，拉力的大小等于摩擦力，则（ ） A .物体做匀速运动 B ．合外力对物体做功为零C ．物体的机械能守恒D ．物体的机械能减小 4．如图2-8-16所示，用长为L 的绳子一端系着一个质量为m 的小球，另一端固定在O 点，拉小球至A 点，此时绳子偏离竖直方向为θ角，空气阻力不计，松手后小球经过最低点的速率为（ ）A ． 2glcos θB ． 2gl （1—sin θ）C ． 2gl （1—cos θ）D ． 2gl5．细绳的一端固定，另一端系一质量为m 的小球，小球绕绳的固定点在竖直面内做圆周运动，细绳在小球的最低点和最高点的张力之差 为（ ）A ．mgB ．2mgC ．4mgD ．6mg6．如图2-8-17所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上。
在将弹簧压缩到最短的整个过程中， 下列关于能量的叙述中正确的是（ ）A ．重力势能和动能之和总保持不变B ．重力势能和弹性势能之和总保持不变C ．动能和弹性势能之和不断增加D ．重力势能、弹性势能和动能之和总保持不变7．人站在h 高处的平台上，水平抛出一个质量为m 的物体，物体落地时的速度为v ，以地面为重力势能的零点，不计空气阻力，则有（ ）A ．人对小球做的功是2mv 21 B ．人对小球做的功是mgh mv 212- C ．小球落地时的机械能是2mv 21 D ．小球落地时的机械能是mgh mv 212-8．在下面列举的各例中，若不考虑阻力作用，则物体机械能发生变化的是（ ）Ａ．用细杆栓着一个物体，以杆的另一端为固定轴，使物体在光滑水平面上做匀速率圆周运动 Ｂ．细杆栓着一个物体，以杆的另一端为固定轴，使物体在竖直平面内做匀速率圆周运动 Ｃ．物体沿光滑的曲面自由下滑Ｄ．用一沿固定斜面向上、大小等于物体所受摩擦力的拉力作用在物体上，使物体沿斜面向上运动9．如图2-8-18所示，长为L 1的橡皮条与长为L 2的细绳的一端都固定在O 点，另一端分别系两球A 和B ，A 和B 的质量相等，现将两绳都拉至水平位置，由静止释放放，摆至最低点时，橡皮条和细绳长度恰好相等，若不计橡皮条和细绳的质量，两球经最低点速度相比 ( )A ．A 球大B ．B 球大C ．两球一样大D ．条件不足，无法比较10．一根全长为L 、粗细均匀的铁链，对称地挂在轻小光滑的定滑轮θ L A O 2-8-16 L 21 BA 2-8-17 2-8-1511．从地面以40m/s 的初速度竖直上抛一物体，不计空气阻力，经过T 时间小球的重力势能是动能的3倍，则T= ，这时小球离地高度为 。
12．如图2-8-20所示，光滑圆柱O 被固定在水平平台上，质量为m 的小球用轻绳跨过柱体与质量为M(M>m)的小球相连，开始时，m 与平台接触，两边绳伸直，然后两球从静止开始运动，M 下降，m 上升，当上升到圆柱的最高点时，绳子突然断了，发现m 恰好做平抛运动，则M 是m 的多少倍？13．如图2-8-21，光滑圆管形轨道AB 部分平直，BC 部分是处于竖直平面内半径为R 的半圆，圆管截面半径r<<R ，有一质量m ，半径比r 略小的光滑小球以水平初速v 0射入圆管，（1）若要小球能从C 端出来，初速度v 0多大？（2）在小球从C 端出来的瞬间，对管壁的压力有哪几种典型情况，初速v 0各应满足什么条件？14．如图2-8-22所示，质量为m 的小球由长为L 的细绳（质量不计）固定在O 点，今将小球水平拉至A 点静止释放，在O 点正下方何处钉一铁钉O /方能使小球绕O /点在竖直平面内做圆周运动（设细绳碰钉子时无能量损）15．如图2-8-23所示，半径为r ，质量不计的圆盘盘面与地面相垂直，圆心处有一个垂直盘面的光滑水平固定轴O ，在盘的最右边缘固定有一个质量为m 的小球A ，在O 点的正下方离O 点r/2处固定一个质量也为m 的小球B ．放开盘让其自由转动，问：(1)当A 球转到最低点时，两小球的重力势能之和减少了多少？ (2)A 球转到最低点时的线速度是多少？(3)在转动过程中半径OA 向左偏离竖直方向的最大角度是多少？ LA O O / 2-8-222-8-20 2-8-232-8-2116．质量均为m的物体A和B分别系在一根不计质量的细绳两端，绳子跨过固定在倾角为30°的斜面顶端的定滑轮上，斜面固定在水平地面上，开始时把物体B拉到斜面底端，这时物体A离地面的高度为0.8米，如图2-8-24所示。