∴x1＋x2＝3.又4523－3＝－65，
∴中点坐标为32，－65.
弦长问题
例3 (本题满分6分)已知椭圆4x2＋5y2＝ 20的一个焦点为F，过点F且倾斜角为45°的 直线l交椭圆于A、B两点，求弦长|AB|.
【思路点拨】 求出焦点F的坐标 → 求出直线l的斜率 → 设直线l的方程 → 联立方程 → 利用根与系数的关系设而不解 → 由弦长公式求解
即 1－1a62 ＝295，∴a＝5. ∴C 的方程为2x52＋1y26＝1.
(2)过点(3，0)且斜率为45的直线方程为 y＝45(x －3)， 设直线与 C 的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将直线方程 y＝45(x－3)代入 C 的方程， 得2x52 ＋（x－253）2＝1， 即 x2－3x－8＝0，
当
m
为何值时，直线
y＝x＋m
与椭圆 x2 16
＋y92＝1 相交？相切？相离？
y＝x＋m 【解】 由1x62＋y92＝1，得 25x2＋32mx＋16m2 －144＝0， ∴Δ＝(32m)2－4×25×(16m2－144) ＝9×43(25－m2)． 当Δ>0，即－5<m<5 时，直线和椭圆相交； 当Δ＝0，即 m＝±5 时，直线和椭圆相切； 当Δ<0,即 m>5 或 m<－5 时,直线和椭圆相离． 综上所述，当 m>5 或 m<－5 时直线与椭圆相 离；当 m＝±5 时，直线与椭圆相切；当－5<m<5 时，直线与椭圆相交．
直线 y＝3x－2 与椭圆交于 A、B 两点．
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
ay122＋xb212＝1 ay222＋xb222＝1
① ②
①－②得
（y1＋y2）a（2 y1－y2）＝－（x1＋x2）b（2 x1－x2），
即xy11－－yx22＝－a2b（2（x1y＋1＋x2y）2）＝－ab22xy11＋＋xy22.
失误防范 1.由直线和椭圆求解直线方程，要注意斜率不 存在时是否成立． 2.涉及直线和椭圆的相交，相切问题应满足判 别式Δ≥0.
变式训练
2.设椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)过点(0，4)，离 心率为35. (1)求 C 的方程； (2)求过点(3，0)且斜率为45的直线被 C 所截线段 的中点坐标．
解：(1)将(0，4)代入 C 的方程得1b62＝1， ∴b＝4. 又由 e＝ac＝35得a2－a2b2＝295，
则 x1＋x2＝－190，x1·x2＝－35，(3 分)
|AB|＝ 2|x1－x2|＝ 2· （x1＋x2）2－4x1x2
＝ 2· －1902－4·－35
＝
2·8
910＝169
5 .(6
分)
【名师点评】 当直线与椭圆相交时，两交 点间的距离称为弦长． (1)求弦长的方法：将直线方程与椭圆方程联 立，得到关于x的一元二次方程，然后运用根 与系数的关系，再求弦长．不必具体求出方 程的根，即不必求出直线与椭圆的交点．这 种方法是求弦长常采用的方法．
方法技巧 (1)直线与椭圆有相交、相切和相离三种情况, 其位置关系的几何特征分别是直线与椭圆有 两个交点、有且只有一个交点、无公共点， 并且二者互为充要条件．
(2)判断直线与椭圆的位置关系通常使用代数 法而不使用几何法，即先将直线方程与椭圆 的方程联立，消去一个未知数y(或x)，得到关 于x(或y)的一个一元二次方程，至于该一元二 次方程有无实数解,有几个与方程组的解的个 数相对应,故利用一元二次方程根的判别式Δ, 根据Δ>0、Δ＝0还是Δ<0即可作出判断．
【名师点评】 判断直线与椭圆的位置关系 的常用方法为：联立直线与椭圆方程，消去y 或x，得到关于x或y的一元二次方程,记该方 程的判别式为Δ,则(1)直线与椭圆相交⇔Δ>0； (2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0；(3)直线与椭圆相 离⇔Δ<0.
变式训练
1.已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.当直 线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围 ．解：由4y＝x2＋x＋y2m＝1，得 5x2＋2mx＋m2－1＝0. 因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0. 解得－ 25≤m≤ 25.
∵kAB＝3，AB 中点(x0，y0)，x0＝12，y0＝－12，
∴3＝－ba222×2×－1212＝ba22，
∴a2＝3b2.又 a2－b2＝(5 2)2＝50，∴a2＝75， b2＝25， ∴椭圆方程为7y25＋2x52 ＝1.
【名师点评】 关于中点的问题一般地可以 采用两种方法解决：(1)联立方程组，消元， 利用根与系数的关系进行设而不解，从而简 化运算解题；(2)利用“点差法”，求出与中 点、斜率有关的式子，进而求解，同学们可 以试一试．不管应用何种方法我们都必须注 意判别式Δ的限制．
【解】 椭圆方程为x52＋y42＝1，a＝ 5，b＝2， c＝1， ∴直线 l 的方程为 y＝x＋1(不失一般性，设 l 过左焦点)，由y4＝x2＋x＋5y12，＝20，消去 y，得 9x2 ＋10x－15＝0.(2 分) 名师微博 直线方程代入曲线方程，是解这类题目常用 方法.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
设 y＝3x－2 与椭圆的交点坐标为(x1，y1)，(x2， y2)，则 x1＋x2＝a2＋6b92b2.
∵x1＋2 x2＝12，∴a2＋6b92 b2＝12，
∴a2＝3b2 ②， 由①②解得：a2＝75，b2＝25，此时Δ>0，∴2x52 ＋7y52 ＝1.
法二：设椭圆方程为ya22＋xb22＝1(a>b>0)，
中点弦问题
例2 焦点分别为(0，5 2)和(0，－5 2)的椭 圆截直线 y＝3x－2 所得椭圆的弦的中点的横 坐标为12，求此椭圆的方程．
【解】 法一：设所求方程为xb22＋ay22＝1(a>b>0)，
且 a2－b2＝(5 2)2＝50.①
由xb22＋ya22＝1， y＝3x－2
得(a2＋9b2)x2－12b2x＋4b2－a2b2＝0，