解 (1) 有放回抽球是伯努利试验，现令A=｛抽到白
球｝，则P(A)=2/3，所以所求概率
P5 (3)

C53
(
2 3
)3
(1)2 3

0.329
(2) 同(1)属伯努利试验
(3) 无放回抽球不是伯努利试验，抽取5次，可以看 成是一次抽取5个球，此时抽球的概率计算可参照古 典概型讨论。因此若记｛抽到白球3次｝，则
试治该病5例，问治愈3例的概率是多少？
解 假设 Ai ｛第 i 例治愈｝，那么，假设 Ai ｛第 i 例未治愈｝ i 1, 2, ,5
B ｛治愈3例｝
P( Ai ) p
故治疗5例就是做5次贝努利试验。
治疗5例治愈3例的所有结果为 C53 ，如下：
A1 A2 A3 A4 A5 , A1 A2 A3 A4 A5 , A1 A2 A3 A4 A5 , A1 A2 A3 A4 A5 ,
于是
B A1 A2 A3 A4 A5 A1 A2 A3 A4 A5 A1 A2 A3 A4 A5 A1 A2 A3 A4 A5
又 C53 种事件 互相排斥，因此
P(B) P( A1A2 A3 A4 A5 ) P( A1A2 A3 A4 A5 ) P( A1A2 A3 A4 A5 ) P(A1A2 A3 A4 A5 )
记住 p 较大时 ( p 0.5), X Y n
例5 已知 X ~ B(k,10, 0.7) 求 P(X 7)
解 设 Y 为X 所代表事件的对立事件，则
Y ~ B(k,10,0.3) 其中 k k 10 所以
P(X 7) P(Y 3) 1 P(Y 4)
1 0.35039 0.64961
二项分布的最可能成功次数 k0
使 P(X k) 取最大值时的 k 称为二项分布的
最可能值
就是 n 次独立重复试验中事件 A 最可能出现的
次数，记为k0
P(X k) P(X k 1)

Cnk pk (1 p)nk
P(A)
C230C120 C350
0.360
例4 设 X ~ B(k, 20, 0.20)求 P(X 4), F(4), P(2 X 6)
解 直接用公式计算
P( X 4) C240 0.24 0.816
情况1 p 0.5 用查表法计算更简便
P(X 4) P(X 4) P(X 5) 0.58855 0.37035 0.2182
又
P( A1A2 A3 A4 A5 ) P( A1)P( A2 )P( A3 )P( A4 )P( A5 ) p3(1 p)2
P( A1 A2 A3 A4 A5 ) P( A1 A2 A3 A4 A5 ) P( A1A2 A3 A4 A5 ) p3 (1 p)2
所以
P(B) C53 p3 (1 p)2
F(4) P(X 4) 1 P(X 5) 1 0.37035 0.62965
P(2 X 6) P(3 X 5) P(X 3) P(X 6)
0.79392 0.19579 0.59813
情况2 p 0.5 当二项分布中的概率 p 较大时 ( p 0.5), 但可转化 为其对立事件的概率
一、伯努利试验
试验结果具有对立性的 n 次独立重复试验 称为 n 重伯努利试验，简称伯努利试验。
伯努利试验的特点：
(1) 对立性，每次试验的结果只能是对立事件
中的一个，要么出现A ，要么出现 A
(2) 独立性，每次试验的结果互不影响，且各
次试验中事件 A 出现的概率都相等.
例2 设某药治某病的治愈率为 p，现在用此药
P5 (3) C53 0.73 (1 0.7)3 0.3087
若 X 的分布律为：
P{X k} Cnk pk qnk , k 0,1, 2, n
则称随机变量 X 服从参数为 n,p 的二项分布
记为 X ~ B(n , p) 其中 q ＝ 1 － p
两个基本性质
(1) P( X k ) Cnk pk (1 p)nk 0
常见离散型随机变量的概率分布
一、二项分布 二、泊松分布 三、其它离散型分布
二项分布
二项分布是瑞士数学家雅各布·伯努利在1713 年出版的专著《猜度术》中提出的，在医药学 中常用于率的研究，如死亡率，有效率，治愈 率等。
雅各布·伯努利 （Jakob Bernoulli‎，1654年12月
27日－1705年8月16日）伯努利家族 代表人物之一，数学家。他是最早使 用“积分”这个术语的人，也是较早 使用极坐标系的数学家之一。他研究 了悬链线，还确定了等时曲线的方程。
若事件 A 出现的次数 X ~ B(k, n, p), 那么其对立事件
A 出现的次数Y ~ B(k, n, q), 其中
q 1 p, k 0,1, , n, k k n,
因此
P( X k) P(Y n k), P(X k) P(Y n k)
P(k1 X k2 ) P(n k2 Y n k1)
故用此药试治该病5例，治愈3例的概率为C53 p3 (1 p)2
二、二项分布(伯努利公式)
在伯努利试验中，若事件 A
在一次试验中出现的概率为 p 则在 n重试验中
事件 A恰好出现 k 次的概率为
Pn (k ) Cnk pk (1 p)nk
如果上例的治愈率为0.7，那么治疗5例治愈3例的 概率就是
n
n
(2)
P( X k) Cnk pk (1 p)nk ，每次抽球一个： (1) 袋中装有白球20个和黑球10个，现从袋中有放回 抽取5次，求抽到白球3次的概率； (2) 袋中装有白球2个和黑球1个，现从袋中有放回抽 取5次，求抽到白球3次的概率； (3) 袋中装有白球20个和黑球10个，现从袋中无放回 抽取5次，求抽到白球3次的概率。