一、 离散型分布1、 两点分布：binom （1，p ）意义：一次实验中有二个事件：成功（记1）与失败（记0），出现的概率分别为p 和1p -，则一次试验（称为贝努利试验）成功的次数服从一个参数为p 的贝努利试验。

例子（投一次硬币） 分布律：1(|)(1),0,1(01)x x f x p p p x p -=-=<<数字特征：(X),Var(X)(1)E p p p ==-2、 二项分布：binom （n ，p ）意义：贝努利试验独立重复n 次，则试验成功的次数服从一个参数为（n ，p ）的二项分布。

（投n 次硬币） 分布律：(|)(1),0,1,,.(01)xn x n f x p p p x n p p -⎛⎫=-=<< ⎪⎝⎭数字特征：(X),Var(X)(1)E np np p ==-3、 多项分布：1(,,,)k multinon n p p意义：一试验中有k 个时间,1,2,,i A i k =，且1()(01,1)ki i i i i PA p p p ==<<=∑将此试验独立地重复n 次，则时间12,,,k A A A 出现的次数服从一个参数(,)n p 的多项式分布，其中12(,,,)k P p p p =（仍骰子问题）分布律：1211(,,|,),0,kkx x x k i i i n f x x n p p p p x n x n p =⎛⎫=≤≤= ⎪⎝⎭∑数字特征：(X),Var(X)(1),Cov(X ,X )i j i j E np np p np p ==-=-4、 负二项分布：(,)nbinom k p意义：贝努利试验独立地重复进行，一直到出现k 次成功时停止试验，则试验失败的次数服从一个参数(,)k p 的负二项分布。

分布律：()(|,)(1),0,1,()()kx k x f x k p p p x k x Γ+=-=ΓΓ数字特征： 2(1)(1)(X ),V a r (X )k p k p E p p--== 5、 几何分布：()geom p意义：伯努利试验独立地重复进行，一直到出现有成功出现时停止试验，则试验失败的次数服从一个参数p 的集合分布。

分布律：(|)(1),0,1,2,x f x p p p x =-=数字特征：2(1)(1)(X),Var(X)p p E p p--== 6、 超几何分布：(,,)hyper N M n意义：从装有N 个白球和M 个黑球的罐子中不放回地取出k 其中k N M ≤+则其中的白球服从超几何分布。

分布律：(|,,),0,1,2,,min{N,k}N M x k x f x N M k x N M k ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭==+⎛⎫ ⎪⎝⎭数字特征：(kN)(N M k)(X),Var(X)(1)1kN N E N M N M N M M N+-==-++-++ 7、 泊松分布：()pois λ意义：单位时间，单位长度，单位面积，单位体积中发生某一事件的次数常可以使用泊松分布来刻画，例如某高速公路上一年内交通事故和某办公室一天中收到的电话次数可以认为近似服从泊松分布。

分布律：(|)e ,0,1,2,.!xf x x x λλλ-==数字特征： (X),Var(X)E λλ==二、 连续分布的密度函数1、 贝塔分布(,)Beta a b意义：在贝叶斯分析中，贝塔分布常常作为二项分布参数的共轭先验分布。

密度函数：111(|,)(1),01(,0)(,)a b f x a b x x x a b B a b --=-<<> 数字特征：2(X),Var(X)()(1)a ab E a b a b a b ==++++ 当(1,1)a b ==时的分布为[0,1]上的均匀分布。

意义：区间[,]a b 上随机投点对应的坐标服从[,]a b 上的均匀分布。

密度函数：1(|,),f x a b a x b b a=≤≤- 数字特征：22(X),Var(X)212a b b a E +-==3、 柯西分布：(,)cauchy a b意义：柯西分布（又称为Lorentz 分布）用于描述共振行为。

以一随机的角度投向X 轴的水平距离服从柯西分布。

密度函数：1(|,),01(,0)[1]f x a b x a b x a b b π=≤≤>-⎛⎫+ ⎪⎝⎭数字特征：均值和方差均不存在。

4、 威布尔分布：(,)weibull a b意义：最为常见的寿命分布，用来刻画滚珠轴承、电子元器件等产品的寿命。

密度函数：1(|,),0(,0)bb ax f x a b abx e x a b -=>> 数字特征：2122121(1)(1){(1)}(X),Var(X)b b b b b b E a a aΓ+Γ+Γ+==- 特例：b = 1时为指数分布。

意义：泊松过程的等待时间服从指数分布。

形状参数1b =的weibull 分布为指数分布。

密度函数： (|,),0(0)x f x a b e x λλλ-=>> 数字特征：211(X),Var(X)E λλ==6、 瑞利（Rayleigh ）分布：()rayl b意义：瑞利（Rayleigh ）分布为weibull 分布的又一个特例：它是参数为2((1/2),2)b 的weibull 分布。

密度函数：222(|)exp()2x x f x b b b=-数字特征：24(X),Var(X)2E b π-==7、 正态分布/高斯分布：2(,)norm μσ意义：高斯分布式概率论与数理统计中最重要的一个分布。

中心极限定理表明，一个变量如果是由大量微小的、独立的随机因素的叠加结果，那么这个变量一定是正态变量。

因此许多随机变量可以用高斯分布表述或近似描述。

密度函数：22()2(|,),,(,0)x f x x μσμσμσ--=-∞<<∞-∞<<∞>数字特征：2(X),Var(X)E μσ== 8、 对数正态分布：2(,)lnorm μσ意义：ln(X)服从参数为2(,)μσ的正态分布，则X 服从参数为2(,)μσ的对数正态分布。

密度函数：2(ln())2(|,),0,(,0)x f x x μσμσμσ--=>-∞<<∞>数字特征：22221(X)exp(),Var(X)(1)2E e e e σσμμσ=+=- 9、 逆正态分布：(,)inorm μλ意义：正态随机变量的倒数服从的分布。

密度函数：2()2(|,),(,0)x xf x λμμμλμλ--=-∞<<∞>数字特征：3(X),Var(X)E μμλ==10、 伽马分布：(,)gamma a b意义：k 个相互独立的参数为1/b 的指数分布的和服从(,)k b 的伽马分布。

密度函数：1/1(|,)e ,0,(0,b 0)()a x baf x a b x x a a b--=>>>Γ 数字特征：2(X),Var(X)E ab ab ==特例：1a =时的分布为指数分布；,22n a b ==的分布为卡方分布。

11、 伽马分布：(,)igamma a b意义：伽马分布随机变量的倒数服从逆伽马分布。

密度函数：(1)1/1(|,)e ,0,(0,b 0)()a bx af x a b x x a a b-+-=>>>Γ 数字特征：2211(X)(1),Var(X)(2)(1)(1)(2)E a a a b a a b=>=>--- 特例： ,22n a b ==的分布为逆卡方分布。

12、 卡方（2χ）分布：()chisq n意义：n 个独立正态随机变量的平方和服从自由度为n 的卡方分布。

密度函数：/2/2/2(|),02(/2)n x n x e f x n x n -=>Γ数字特征：(X),Var(X)2(2)E n n n ==> 13、 逆卡方分布：()ichisq n意义：卡方分布随机变量的倒数服从逆卡方分布。

密度函数：(/21)1/2/2(|),02(/2)n xn x e f x n x n -+-=>Γ数字特征：212(X)(2),Var(X)(4)2(2)(4)E n n n n n =>=>---14、 t 分布：()t n意义:随机变量X 与Y 独立，X 服从标准正态分布，Y 服从自由度为n 的卡方分布，则T =服从自由度为n 的t 分布。

密度函数：2(1)/2(1)(|)1(,)22nxnf x nn-++=数字特征：(X)0,Var(X)(2)(2)nE nn==>-15、F分布：(,)f n m意义：随机变量X与Y独立，X服从自由度为n的卡方分布，Y服从自由度为m的卡方分布，则//X nTY m=服从自由度为(,)n m的t分布。

密度函数：/22()/2()/2(|,)(1)(,)22n nn mnx nxmf x n mn m mB--+=+数字特征：22(2)(X)(2),Var(X)(2)2(2)m m n mE m nm n m+-=>=>-+16、log istic分布：log(,)is a b意义：生态学中的增长模型常用log istic分布来刻画，它也常用于log istic回归中。

密度函数：()/1(|,)[1]x a bf x a b e---=+数字特征：22(X),Var(X)b3E aπ==17、Dirichlet分布：1(,,)kDirichletαα意义：在贝叶斯分析中作为多项分布参数的共轭分布。

Dirichlet分布的密度函数表示在已知k个竞争事件已经出现了1iα-次条件下，他们出现的概率为,1,2,,ix i k=的信念。

密度函数：111111()1(,,|),0,1(0),()()()i kkki i k i i i i ki i i i f x x x x x B B ααααααα-====Γ=>=>=Γ∏∑∏∑ 数字特征：00022100000()(X),Var(X),(X ,X ),(1)(1)ki i i i i j i i E Cov ααααααααααααα=-===-=++∑ 18、Pareto 分布：(,)pd a b意义：财富的分配的规则（称为Pareto 规则）是大部分的财富（80%）被少数（20%）的人拥有，这可以较好地用Pareto 分布来刻画。

密度函数：1(|,),(0)b b a f x a b x a b a x +⎛⎫=>> ⎪⎝⎭数字特征：22(X)(b 1),Var(X)(b 2)1(1)(2)ab a bE b b b =>=>--- 19、非中心分布.与前面卡方分布，t 分布和F 分布相对应还有三个非中心的分布：非中心的卡方分布：(,)chisq n μ，n 个独立正态随机变量2(,),1,2,,i N i n μσ=的平方服从自由度为n 、非中心参数为222122nμμμμσ+++=的卡方分布。