数列求和例题精讲
1． 公式法求和
（1）等差数列前n 项和公式 d n n na a a n a a n S k n k n n 2
)1(2
)
(2
)
(111-+
=+=
+=
-+
（2）等比数列前n 项和公式 1=q 时 1na S n = 1≠q 时 q
q a a q
q a S n n
n --=
--=11)1(11
（3）前n 个正整数的和 2
)
1(321+=
++++n n n
前n 个正整数的平方和 6
)
12)(1(3212222++=++++n n n n
前n 个正整数的立方和 2
3333]
2
)
1([
321+=++++n n n
公式法求和注意事项 （1）弄准求和项数n 的值；
（2）等比数列公比q 未知时，运用前n 项和公式要分类。

例1．求数列13741+n ，，，， 的所有项的和
例2．求和221-++++n x x x (0,2≠≥x n )
2．分组法求和
例3．求数列1，21+，321++，…，n ++++ 321的所有项的和。

例4．已知数列{}n a 中，⎪⎩⎪⎨⎧+=)
()
2()(15为偶数为奇数n n n a n
n ，求m S 2。

3．并项法求和
例5．数列{}n a 中， 21)1(n a n n +-=，求100S 。

例6．数列{}n a 中，，n a n n 4)1(-=，求20S 及35S 。

4．错位相减法求和
{}{}{}若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项a b a b n n n n n
{}和，可由求，其中为的公比。

S qS S q b n n n n -
例7．求和12321-++++n nx x x （0≠x ）。

5．裂项法求和:把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。

例8．求和)
12)(12(1
7
515
313
11+-+
+⨯+
⨯+
⨯n n 。

例9．求和n
n +
++
++
+
+
+
+113212311
21 。

［练习］ 求和： (1112)
1123
1
123+
++
++++
++++n
（…………，）
a S n n n ===-
+21
1
6 . 倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

S a a a a S a a a a n n n n n n =++++=++++⎫⎬⎪
⎭
⎪--121121…………相加
()()()21211S a a a a a a n n n n =++++++-………… ［
练习
］
已知，则f x x
x
f f f f f f f ()()()()()=
+++⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎛⎝ ⎫
⎭⎪=2
2
11212313414
（由f x f x x x
x x x
x
x
()+⎛⎝ ⎫
⎭⎪=++⎛⎝ ⎫⎭
⎪+⎛⎝ ⎫
⎭
⎪
=
++
+=1111111112
2
2
2
22
2
∴原式=++⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤
⎦⎥++⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥++⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤
⎦⎥f f f f f f f ()()()()1212313414
=
+++=12
1113
12）
专题训练 数列求和练习
1、数列}{n a 的通项n
a n ++++= 3211
，则数列}{n a 的前n 项和为
( ) A ．1
22+n n B ．12+n n
C ．
1
2++n n D ．
1
2+n n 2
、
数
列
,1614,813,412,211的
前n
项
和可
能
为
( ) A ．
n
n n 21)2(212
-
++ B ．1
22
11)(21
--
++n n n
C ．n
n n 2
1
)2(212-
+- D ．)2
11(2)(2
12n
n n -
++
3、已知数列}{n a 的前n 项和12-=n n S ，则22221n a a a ++等于 ( )
A ．2)12(-n
B ．)12(3
1-n C ．14-n D ．)14(3
1
-n
4、数列}{n a 的通项公式)(1
1*
N n n n a n ∈++
=
,若前n 项和为10，则项数n 为
( ) A ．11 B ．99 C ．120 D ．121
5、在数列}{n a 中，2,121==a a 且)()1(1*2N n a a n n n ∈-+=-+，则=100S ．
6、已知)34()1(2117139511--++-+-+-=-n S n n ，则=+2215S S ．
7、已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若,0,,12
11=-+∈>+-m m m a a a N m m 3812=-m S ，
则m ＝ ．
8、已知数列}{n a 中，11=a ，当2≥n 时，其前n 项和n S 满足)2
1
(2
-=n n n S a S 。

（1）求n S 的表达式； （2）设1
2+=n S b n n ，求}{n b 的前n 项和n T ．
9、等比数列}{n a 同时满足下列条件：①3361=+a a ，②32
4
3=a a ，③三个数4
32,2,4a a a 依次成等差数列．（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）记n
n a n
b =，求数列}{n b 的前n
项和T n ．
10、等差数列}{n a 各项均为正整数，31=a ，前n 项和为n S ，在等比数列}{n b 中，11=b 且6422=S b ，公比为8。

（１）求n a 和n b ；（２）证明：
4
31112
1
<+
++n
S S S 。