数列求和例题精讲
1． 公式法求和
（1）等差数列前 n 项和公式
S n n(a 1 a n )
n(a k 1
a n k )
n( n 1)
d
2
2
na 1
2
（2）等比数列前 n 项和公式
q 1 时 S n na 1
q 1 时 S n
a 1 (1 q n ) a 1 a n q
1 q 1 q
（3）前 n 个正整数的和
1 2 3
n(n 1)
n
2
前 n 个正整数的平方和
12
22 32
n 2
n(n
1)(2n 1)
6 前 n 个正整数的立方和
13
23 33 n 3
[ n(n
1) ] 2
（ 1）弄准求和项数 n 的值； 2
公式法求和注意事项
（ 2）等比数列公比 q 未知时，运用前 n 项和公式要分类。
例 1．求数列 1，4，7， ，3n 1 的所有项的和
例 2．求和 1 x x 2
x n 2 ( n 2, x
0 )
2．分组法求和
例 3．求数列 1， 1 2，1 2 3，，1 2 3 n 的所有项的和。
5n 1 (n为奇数 )
例 4．已知数列a n中，a n ，求 S2m。
( 2) n (n为偶数 )
3．并项法求和
例 5．数列a n 中， a n ( 1) n 1 n2，求 S100。
例 6．数列a n中，，a n( 1) n 4n ，求 S20及 S35。
4．错位相减法求和
若a n 为等差数列，b n 为等比数列，求数列a n b n（差比数列）前n项
b n 的公比。
和，可由S n qS n求 S n，其中q
为
例 7．求和12x 3x 2nx n 1（x0 ）。
5．裂项法求和 :把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。
例 8．求和
1 1 1 1。
1 3 3 5 5 7 (2n 1)(2n 1)
例 9．求和
1 1 1 1
2 1
3 2 23 。
n 1n
［练习］
1 1 1
1
1 2 3 2 3 n
1 2 1
a n S n 2
1
n 1
6 . 倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。
S n a 1 a 2
a
n 1
a
n
S n a n
a
n 1
a 2 a 1
2S n a 1 a n
a 2
a
n 1
a 1
a n
［
练
习
］
已知 f ( x)
x
2
，则 f (1) f ( 2) f 1 f (3) f
1 f (4) f
1
1 x 2
2
3
4
1 2
x 2
x 2
f ( x)
f
1
x
1 1
x
1 x
2
1 2
1 x
2
1 x
2
1
x
∴原式 f (1)
f (2) 1
f (3)
f
1
1
f
f (4)
f
2
3
4
1 1 1 1 3 1
2
2
专题训练
数列求和练习
1 、 数 列 { a n } 的 通 项 a n
1
， 则 数 列 { a n } 的 前 n 项 和 为
1
2 3 n (
)
A ．
2n
B ．
2n
C ．
n
2 D ．
n
2n 1
n 1
n 1
2n 1
2 、 数 列 11,21,31,4 1
,
的 前 n
项和可能为
2 4
8 16
(
)
A ． 1
(n
2
n 2)
1
B ． 1
(n 2
n) 1 1
2 2n
2
2n 1
C ． 1 2
n 2)
1
D ． 1 ( n 2
n) 2(1
1
) (n 2 n
2
n
2
2
3 、 已 知 数 列 { a n } 的 前 n 项 和 S n
2n
1 ， 则 a 1
2 a 22
a n 2 等 于
(
)
A ． (2
n
1)
2
B ． 1
(2
n
1)
C ． 4
n
1
D ． 1
( 4n 1)
3
3
4、数列{ a n}的通项公式a n 1 (n N * ) ,若前n项和为10，则项数n为
n n 1
()
A．11 B．99 C．120 D．121
5、在数列{ a n}中，a1 1, a2 2 且 a n 2 a n 1 ( 1) n ( n N * ) ，则 S100 ．
6、已知S n 1 5 9 13 17 21 ( 1) n 1 (4n 3) ，则 S15 S22 ．
7、已知等差数列
n
}
n
，若
m 1, m N, a m 1 a m 1 a m2 0, 2 m 1
38 ，{ a 的前 n 项和为S S
则 m ＝．
8、已知数列{ a n}中，a1 1，当n 2 时，其前 n 项和S n满足S n 2 a n (S n 1 ) 。
2
（1）求S n的表达式；（ 2）设b n S n ，求 {b n } 的前n项和 T n．
2n 1
9、等比数列{ a n}同时满足下列条件：①a1a633 ，②a3a432 ，③三个数4a2,2a3, a4
依次成等差数列．（ 1）求数列{ a n}的通项公式；（2）记b n n
，求数列{b n}的前n a n
项和 T n．
10、等差数列{ a n}各项均为正整数，a1 3，前 n 项和为 S n，在等比数列 { b n } 中，b1 1 且 b2 S2 64 ，公比为8。
（１）求 a n和 b n；（２）证明：
1
1 1 3 。
S1 S
2 S n 4。