练习：用图解法求解下列目标规划问题
min
Z

P1
d
1

P2
(
d
2

d
2
)

P3
d
3

x1 x1
x2

d
1

d
1

0
2 x2

d
2

d
2

10

8
x
1

10
x2

d
3

d
3

56

2
x1


x2
11
x 1 2

0,
d
j
.
d
该公司依下列次序为目标的优先次序，以实现次月的生产与销售目标．
P1：厂内的储存成本不超过23000元． P2：A销售量必须完成1500单位． P3：甲、乙两工厂的设备应全力运转，避免有空闲时间，两厂的单位 运转成本当作它们的权系数． P4：甲厂的超过作业时间全月份不宜超过30h． P5：B药的销量必须完成1000单位． P6：两个工厂的超时工作时间总和要求限制，其限制的比率依各厂每 小时运转成本为准． 试确定A、B药各生产多少，使目标达到最好，建立目标规划模型并化 成标准型
x1
+d2- –d2+ ＝50
x2 +d3- –d3+ ＝80
2x1 +x2 +d4- –d4+ ＝120 x1 +3x2 +d5- –d5+ ＝150
d4+ +d6- –d6+ ＝20
x1, x2 ，di-,di+ ≥0
[例2]某制药公司有甲、乙两个工厂，现要生产A、B两种药品均需在两 个工厂生产．A药品在甲厂加工2h，然后送到乙厂检测包装2.5h才能成 品，B药在甲厂加工4h，再到乙厂检测包装1.5h才能成品．A、B药在公 司内的每月存贮费分别为8元和15元．甲厂有12台制造机器，每台每天 工作8h，每月正常工作25天，乙厂有7台检测包装机，每天每台工作 16h，每月正常工作25天，每台机器每小时运行成本：甲厂为18元，乙 厂为15元，单位产品A销售利润为20元，B为23元，依市场预测次月A、 B销售量估计分别为1500单位和1000单位．
x1
+d4- –d4+ ＝ 1500
x2+d5- –d5+ ＝ 1000
d1+ +d6- –d6+ ＝30
x1, x2 ，di-,di+ ≥0
小结：目标规划模型与线性规划模型的异同
目标函数
变量 约束条件
解
线性规划LP min , max
系数可正负
xi 系统约束 （绝对约束）
最优
目标规划GP min , 偏差变量
式约束。 目标约束：对那些不严格限定的约束，连同原线性规划
建模时的目标函数转化为的约束，称为目标约束。 2x13x2dd12
3．目标规划的目标函数－－达成函数
由此决策者可根据自己的要求构造一个使总偏差量为最 小的目标函数，称为达成函数，记为
m Z i n fd ,d
即达成函数是正、负偏变量的函数。有三种形式：
min Z=P1d1- +P2( 2.5 d3++d4+ )+P3d2+ 30x1+12x2 +d1- –d1+ ＝2500 2x1 +x2 +d2- –d2+ =140
x1+ d3- –d3+ ＝60 x2 + d4- –d4+ ＝ 100
x1, x2 ，di-,di+ ≥0
于是，确定D点的坐标 x1=60，x2=58.3为所求 的满意解。即
j

0
( j 1.2.3)
min
Z

P1
d
1

P2
(
d
2

d
2
)

P3
d
3
C
D
d
1
D(60, 58.3)
验算
min Z=P1d1- +P2( 2.5 d3++d4+ ) +P3d2+ 30x1+12x2 +d1- –d1+ ＝2500
将x1=60，x2=58.3代入约束条件，有
30601258.32499.62500 26058.3178.3140 16060 158.358.3100
系数≥0
xi d 目标约束 系统约束
最满意
§5.2 目标规划的图解法
和线性规划问题一样，图解法虽然只适用于两个决策 变量的目标规划问题，但其操作简便，原理一目了然，并 且有助于理解一般目标规划问题的求解原理和过程。
图解法解题的步骤为：
1.确定各约束条件的可行域，即将所有约束条件(包括目标约 束和绝对约束，暂不考虑正负偏差变量)在坐标平面上表示出 来； 2.在目标约束所代表的边界线上，用箭头标出正、负偏差变量 值增大的方向； 3.求满足最高优先等级目标的解； 4.转到下一个优先等级的目标，在不破坏所有较高优先等级目 标的前提下，求出该优先等级目标的解；
3x1－4x2 +d2-–d2+ =0
2x1 +2x2 +d3- –d3+ =12
x1 +2x2 +d4- –d4+ =8
x1, x2 ，di-,di+ ≥0
x2
6
d3+
5
d3-
4
3x1-4x2=0 x1+2x2=8 得x1=3.2，x2=2.4
d2-
C3
F E B d2+
2
D
1
d1+
d4+
0
1
2
3
2x1 +x2 +d2- –d2+ =140
x1+ d3- –d3+ ＝60 x2 + d4- –d4+ ＝ 100
x1, x2 ，di-,di+ ≥0
以上验算表明，若A、B的计划生产量分别为60件和58.3件，所
需甲种原料的数量超过了现有库存量。
这就意味着，在现有资源条件下，求得的为非可行解。为了使 这个解能成为可行解，工厂领导必须采取先进的技术手段和有效管 理措施降低A、B产品对甲种原料的消耗量。显然，A、B产品每件所 需甲种原料量应变为原有消耗量的78.5%(140/178.3=78.5%)，才能 使求得的生产方案(x1=60，x2=58.3)成为可行方案。
4Ad1-5
d4-
6
x1
例2 用图解法求解目标规划问题：
m Z iP n 1 (d 1 d 1 ) P 2 d 2
10x1+12x2 +d1- –d1+ ＝62.5
x2
x1 +2x2 +d2- –d2+ =10
2x1 +x2 ≤ 8
C(0,5.20863)
x1, x2 ，d1-,d1+ ,d,2-,d2+ ≥0
P1：厂内的储存成本不超过23000元 P5：B药的销量必须完成1000单位
P2：A销售量必须完成1500单位
P6：超时工作时间总和要求限制
P3：甲、乙两工厂的设备应全力运转,单位运转成本当作它们的权系数
P4：甲厂的超过作业时间全月份不宜超过30h 解：设x1 、x2 分别表示次月份A、B药品的生产量， di-、di+为相应目标约
上节小结：目标规划的基本概念
1.目标值和正、负偏差变量 目标值是预先给定的某个目标的一个期望值。实现值是当
决策变量x1、x2、…、xn选定以后目标函数的对应值。 偏差变量：实现值和目标值之间的差异值，用d＋和d－表示。
d＋——超出目标的差值，称正偏差变量；
d－——未达到目标的差值，称负偏差变量；
2.绝对约束与目标约束 绝对约束又称系统约束，是指必须严格满足的等式和不等
间生产。已知除外购件外，生产一台录音机需甲车间加工2h，乙车间装
配1h；生产一台电视机需甲车间加工1h，乙车间装配3h；两种产品需检
验、销售环节，每台录音机检验销售费用需50元，每台电视机检验销售
费用需30元。又甲车间每月可用工时为120h，车间管理为80元/h，乙车
间每月可用工时为150h，车间管理为20元/h。估计每台录音机利润100
条直线表示出来，再用两个箭头分别表示上述目标约束方程中的
正、负偏差变量。
例1 用图解法求解目标规划问题：
m Z P 1 d 2 i d 2 n P 2 d 1 P 3 d 3 d 3 3 P 3 d 4
4x1
≤16
4x2
≤12
2x1 +3x2 +d1- –d1+ =12
min Z=P1d3+ + P2d4- + P3 ( 6d1- +5 d2- ) + P4d6+ + P5d5- + P6(6d4+＋5d5+)
2x1 +4x2 +d1- –d1+ ＝ 2400
2.5x1 +1.5x2 +d2- –d2+ ＝ 2800
8x1 +15x2 +d3- –d3+ ＝ 23000
5
D(0.625,4.6875)