利润（元/件）
I 5 4 6
II 10 4 8
资源限量 60 40
• 设产品I和II的产量分别为X1和X2，当用 线性规划来描述和解决这个问题时，其 数学模型为： max z 6 x1 8 x2
5 x1 10x2 60 4 x1 4 x2 40 x ,x 0 1 2
假设企业的经营目标不仅仅是利润，而是要考虑多个方面的目标:
（1）企业利润不低于12（百元）。
（2）力争使甲乙两种产品的比例大致为1：1。 （3）设备B必要时可以加班，但不希望加班；设备A既要充分利用， 又尽可能不加班。 是否可以用线性规划解决上述多目标的问题？
线性规划模型存在Байду номын сангаас下几方面的局限性:
1.LP只能处理单目标优化问题。因此，线性规划模型中人为地将一 些次要目标转化为约束。（在实际中，目标和约束可以相互转化） 2.LP要求问题的解必须满足全部约束条件，但实际中并非所有约束 都必须严格满足。 3.LP中各个约束（实际上也可以看作目标）都处于同等重要地位， 但实际问题中各个目标既有层次上的差别，又有权重上的区分。 4.LP寻求最优解，但很多问题只要找到满意解即可。
xj 0 d l , d l 0
( j 1,2, , n) (l 1,2, , L)
例2 • 某工厂生产两种产品，受到原材料供应 和设备工时的限制。在单件利润等有关 数据已知的条件下，要求制订一个获利 最大的生产计划。具体数据见下表
产品
原材料（kg/件） 设备工时（h/件）
第五章 目标规划
( Goal Programming)
本章基本要求：
1. 理解目标规划概念 2. 掌握目标规划建模技巧 3. 能够运用图解法求解模型
一、问题提出与目标规划的数学模型
线性规划：在一组线性约束下一个线性函数的极值问题。 线性规划的局限性 只能解决一组线性约束条件下，某一目标而且只能是 一个目标的最大或最小值的问题。 实际决策中，衡量方案优劣常常需要考虑多个目标,比如 1）.生产计划决策中，通常要考虑产值、利润、满足市场 需求、降低消耗、提高质量、提高劳动生产率等； 2）.生产布局决策中，除了要考虑运输费用、投资、原料 供应、产品需求量等经济指标外，还要考虑到污染和其它 社会因素等。
ｄ＋——超出目标的差值，称正偏差变量； ｄ-——未达到目标的差值，称负偏差变量。
ｄ＋与ｄ－两者必有一个为零
（1）ｄ-＝0，ｄ＋>0 表示实际值超出规定目标值； （2）ｄ->0，ｄ＋＝0 表示实际值未达到目标值； （3）ｄ-=0，ｄ＋＝0 表示实际值同规定目标值恰好一致。
3.统一处理目标和约束 系统约束(硬约束)：对资源使用上有严格限制的约束， 用严格的等式或不等式表示（同线性规划中的约束）。 如：4x1 16 (设备C的使用时间) 4x2 12 (设备D的使用时间)
解：设 x1, x2 分别表示彩色和黑白电视机的产量。该问 题的目标规划模型为：
min z P1d1 P2d 2 P3 (2d 3 d4 )
x1 x2 d1 d1 40 x1 x2 d 2 d 2 50 s.t . x1 d3 d3 24 x d d 2 4 4 30 x , x , d , d 0 ( i 1, 2, 3, 4) 1 2 i i
目标约束（软约束）：引入正、负偏差变量后，对各 个目标建立的目标约束方程。
c x d d kj j k k Ek j 1 n
原来的目标函数变成了约束条件的一部分，即目标约 束(软约束)
原来的目标函数，在目标规划中只是成了问题要达到的
目标之一 ,“目标利润不低于12（百元 ）”, 可以表示 成 min{d1-}
解：设 x1， x2 分别表示甲乙产品的产量，则相应的线性 规划模型为： max z 2 x1 3 x2
2 x1 2 x2 12 x1 2 x2 8 s.t . 4 x1 16 4 x2 12 x1 , x2 0
它的最优解为: x1 =4, x2 =2, z =14
目标规划的一般模型为：
~ min a Pk ( wkl d l wkl d l ) k 1 l 1 K L
s.t.
a
j 1 n j 1
n
ij
x j (, )b j (l 1,2, , L)
c x d d lj j l l el
3. 对所有的目标函数建立约束方程，并入原来的约束条 件中，组成新的约束条件；
4. 引入目标的优先等级和加权系数；建立使组合偏差最 小的目标函数。
1.确定目标函数的期望值 每一个目标函数希望达到的期望值(或目标值、理想值)。
根据历史资料、市场需求或上级部门的布置等来确定。 2.设置偏差变量，用来表明实际值同目标值之间的差异。
（2）对属于同一层次优先级的不同目标，其重要程度的差别可以通 过设置权系数来表达。权系数越大，表示目标越重要。 本例中，假设： P1 ：企业利润目标； P2 ：甲、乙产品的产量尽可能达到1∶1的要求； P3 ：设备A、B尽量不超负荷工作，在第三优先级中，设备A的重 要性是设备B的三倍。
本例中，假设：
- - d ＋=12 2x +3x + d 1 2 1 1 要求甲、乙两种产品的比例尽可能接近1∶1，可以表示成
min{d2- + d2＋ }
x1-x2 +d2- - d2＋ = 0
设备A既要充分利用，又尽可能不加班,可以写成
•
min{d3- +d3+} 2x1+2x2+ d3-- d3＋=12 (设备A) 设备B允许加班，只是不希望加班或少加班，可以写成 min{d4＋} x1+2x2+ d4- - d4＋=8 (设备B)
课堂练习2： 某电视机厂装配黑白和彩色两种电视机，每装配一台电视机 需要占用装配线1小时，装配线每周计划开动40小时。预计市 场每周彩色电视机的销量为24台，每台可获利80元；黑白电 视机的销量是30台，每台可获利40元。该厂确定的目标为： 第一优先级：充分利用装配线每周计划开动的40小时； 第二优先级：允许装配线加班，但加班的时间尽量不超过10 小时； 第三优先级：装配电视机的数量尽量满足市场需要。因彩色 电视机利润高，取其权为2。 试确定该厂为达到以上目标的最优生产计划。（建立数学模 型）
f(x) 的值不超过目标值 f0 (即允许少于f0， 但尽可能不要超过f0） min（d＋） …… f0
二、建立目标规划模型的步骤 • 第一步：定义决策变量和有关的常量 定义决策变量和决策目标约束等式右边的常数。 等式右边的常数是可利用的资源或是决策者特定 的目标值。 • 第二步：建立决策目标约束 通过分析决策变量之间的关系以及决策变量与目 标值之间的关系，建立一组目标约束。并从所有 的决策目标中，找出绝对决策目标（即，如果不 满足将导致最终结果无法实现的目标），将这些 目标作为第一优先级。而后再确定其余目标的优 先级。 • 第三步：建立指标偏差函数
其最优解，即最优生产计划为X1=8，X2=2，maxz=64
• 假设计划人员还被要求考虑如下意见： • （1）由于产品II销售疲软，故希望产品II的产 量不超过产品I的一半。 • （2）原材料严重短缺，生产中应避免过量消 耗。 • （3）最好能节约4小时设备工时； • （4）计划利润不少于48元。 • 面对这些意见，计划人员作出如下意见，首先 原材料使用额不得突破；产品II产量要求必须 优先考虑；设备工时问题其次考虑；最后考虑 计划利润的要求。
4.目标函数、目标的优先级和权系数
目标规划中的目标函数是各个实际值与目标值之间的最小差距。
（1）在目标规划中，如果两个不同目标的重要程度相差悬殊，为达 到某一目标可牺牲其他目标，称这些目标是属于不同层次的优先级。 优先级层次的高低可通过优先因子P1，P2……表示。
并规定P
k
»P
k+1
，即不同优先级之间的差别无法用数字大小衡量。
例1.某企业计划生产甲、乙两种产品，这些产品分别要在 A、B、C、D四种不同的设备上加工。各产品占用资源数 量，资源拥有量及产品利润见下表。问如何安排生产，才 能获得最大的总利润？
消耗 产品 甲 乙
设备
设备工作 台时
A
B C D 利润（百元/件）
2 1 4 0 2
2 2 0 4 3
12 8 16 12
P1 ：企业利润目标； P2 ：甲、乙产品的产量尽可能达到1∶1的要求；
P3 ：设备A、B尽量不超负荷工作，在第三优先级中，设备A的重 要性是设备B的三倍。
min z P1d1 P2 (d 2 d2 ) 3 P3 (d 3 d3 ) P3d 4
4 x1 16 (1) (2) 4 x2 12 2 x 3 x d d 12 (3) 2 1 1 1 (4) x1 x2 d 2 d 2 0 2 x 2 x d d (5) 2 3 3 12 1 x 2x d d 8 (6) 1 2 4 4 x , x 0, d , d i i 0 ( i 1, 2, 3, 4) 1 2
消耗 资源 产品 A B 12 1 20 资源限量 66 8
电力
10
2 10
原材料
单位产品利润
解：设x1 、x2分别表示A、B两种产品的产量，则目标规划 模型如下：
min z P1 (d1 d1 ) P2d 2 P3d 3
2 x1 x2 8 10 x 12 x d d 1 2 1 1 66 s .t . 10 x1 20 x2 d 2 d2 100 x x d d 2 3 3 0 1 x , x , d , d 0 ( i 1, 2, 3) 1 2 i i