解：设甲、乙产品的产量分别为x1，x2，建立线性规划模型：
max z 2x1 3x2
2x1 2x2 12
s.t
4
x1 x1
2x2
8 16
4x2 12
x1 , x2 0
其最优解为x1＝4，x2＝2，z＊＝14元
但企业的经营目标不仅仅是利润，而且要考虑多个方面，如： (1) 力求使利润指标不低于12元； (2) 考虑到市场需求，甲、乙两种产品的生产量需保持1:1的比
20x1＋50x2≤90000
x1
0
1000
2000
3000
4000
5000
图2 图解法步骤2
针对优先权次高的目标建立线性规划
优先权次高（P2）的目标是总收益超过10000。 建立线性规划如下：
Min d2s.t.
20x1＋50x2≤90000 0.5x1 +0.2x2-d1++d1-=700 3x1+4x2-d2++d2-=10000 d1+＝0 x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2-≥0
显然，此问题属于目标规划问题。它有两个目标变量：一是限制风险，一 是确保收益。在求解之前，应首先考虑两个目标的优先权。假设第一个目 标（即限制风险）的优先权比第二个目标（确保收益）大，这意味着求解 过程中必须首先满足第一个目标，然后在此基础上再尽量满足第二个目 标。 建立模型：
设x1、x2分别表示投资商所购买的A股票和B股票的数量。 首先考虑资金总额的约束：总投资额不能高于90000元。即 20x1＋50x2≤90000。
目标规划模型的标准化
例6中对两个不同优先权的目标单独建立线性规划进行求解。为简 便，把它们用一个模型来表达，如下：
Min P1（d1+）+P2（d2-） s.t.
20x1＋50x2≤90000 0.5x1 +0.2x2-d1++d1-=700 3x1+4x2-d2++d2-=10000 x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2-≥0
例； (3) C和D为贵重设备，严格禁止超时使用； (4) 设备B必要时可以加班，但加班时间要控制；设备A即要求
充分利用，又尽可能不加班。
要考虑上述多方面的目标，需要借助目标规划的方法。
线性规划模型存在的局限性：
1）要求问题的解必须满足全部约束条件，实际问 题中并非所有约束都需要严格满足。
2）只能处理单目标的优化问题。实际问题中，目 标和约束可以相互转化。
解：本问题中有3个不同优先权的目标，不妨用P1、P2、P3表 示从高至低的优先权。
对应P1有两个目标：每周总耗费人力资源不能低于600工 时,也不能超过680工时；
对应P2有一个目标：每周的利润超过70000元； 对应P3有两个目标：每周产品A和B的产量分别不低于200和 120件。
采用简化模式，最终得到目标线性规划如下：
年收益（元）／年 3 4
风险系数 0.5 0.2
从上表可知，A股票的收益率为（3／20）×100％＝15％， 股票B的收益率为4／50×100％＝8％，A的收益率比B 大，但同时A的风险也比B大。这也符合高风险高收益的 规律。试求一种投资方案，使得一年的总投资风险不高于 700，且投资收益不低于10000元。
ckj x j
d
k
d
k
gk (k 1.2
K)
目标约束
j1
n
aij x j
( . )bi
(i 1.2 m)
j1
x j 0 (j 1.2 n)
d
k
.
d
k
0
(k
1.2
K)
其中：gk为第k个目标约束的预期目标值，
对应各目标的权系数。
lk
和
l k为pl
优先因子
用目标规划求解问题的过程：
例4．裁员:同样的，企业裁员时要考虑很多可能彼此矛盾 的因素。裁员的首要目的是压缩人员开支，但在人人自危 的同时员工的忠诚度就很难保证，此外，员工的心理压力、 工作压力等都会增加，可能产生负面影响。
例5．营销:营销方案的策划和执行存在多个目标。既希望 能达到立竿见影的效果，又希望营销的成本控制在某一个 范围内。此外，营销活动的深入程度也决定了营销效果的 好坏和持续时间。
故恒有d+×d-=0
2. 统一处理目标和约束。
对有严格限制的资源使用建立系统约束，数学形式同线性规划 中的约束条件。如C和D设备的使用限制。
4x1 16 4x2 12
对不严格限制的约束，连同原线性规划建模时的目标，均通过 目标约束来表达。
1）例如要求甲、乙两种产品保持1:1的比例，系统约束表达为： x1=x2。由于这个比例允许有偏差， 当x1<x2时，出现负偏差d-，即： x1+d- =x2或x1－x2+d- =0 当x1>x2时，出现正偏差d+，即： x1-d+ =x2或x1－x2-d+ =0
min{d d }
x1
x2
d
d
0
2）力求使利润指标不低于12元，目标约束表示为：
min{d }
2 x1
3x2
d
d
12
3）设备B必要时可加班及加班时间要控制，目标约束表示为：
min{d }
x1
2x2
d
d
8
4）设备A既要求充分利用，又尽可能不加班，目标约束表示为：
min{d d }
∵正负偏差不可能同时出现，故总有： x1－x2+d--d+ =0
若希望甲的产量不低于乙的产量，即不希望d->0,用目标约束
可表为:
min{d }
x1
x2
d
d
0
若希望甲的产量低于乙的产量，即不希望d＋>0,用目标约束可
表为:
min{d }
x1
x2
d
d
0
若希望甲的产量恰好等于乙的产量，即不希望d＋>0,也不希望 d->0用目标约束可表为:
x2 4000
3000 2000
0.5x1 +0.2x2=700 3x1+4x2=10000
1000
(810,1476) d1+＝0 d1+>0
d2-=0
20x1＋50x2≤90000
d2->0
x1
0
1000
2000
3000
4000 5000
图3 图解法步骤3
目标规划的这种求解方法可以表述如下： 1．确定解的可行区域。 2．对优先权最高的目标求解，如果找不到能满足该目标的解， 则寻找最接近该目标的解。 3．对优先权次之的目标进行求解。注意：必须保证优先权高 的目标不变。 4. 重复第3步，直至所有优先权的目标求解完。
3）线性规划中各个约束条件都处于同等重要地位， 但现实问题中，各目标的重要性即有层次上的差别， 同一层次中又可以有权重上的区分。
4）线性规划寻求最优解，但很多实际问题中只需 找出满意解就可以。
例1．企业生产:不同企业的生产目标是不同的。多数企业 追求最大的经济效益。但随着环境问题的日益突出，可持 续发展已经成为全社会所必须考虑的问题。因此，企业生 产就不能再如以往那样只考虑企业利润，必须承担起社会 责任，要考虑环境污染、社会效益、公众形象等多个方面。 兼顾好这几者关系，企业才可能保持长期的发展。
现假定：
第1优先级P1——企业利润； 第2优先级P2——甲乙产品的产量保持1:1的比例 第3优先级P3——设备A,B尽量不超负荷工作。其中设备A的重要性 比设备B大三倍。
上述目标规划模型可以表示为：
min z
P1
d
1
P2
(d
2
d
2
)Leabharlann 3P3(d
3
d
3
)
P3
d
4
4x1 16
4 x2 12
s.t
2
x1
3
. x1 x2
x2
d
2
d 1
d
2
d 1
0
12
2 x1
2x2
d
3
d
3
12
x1
2x2
d
4
d
4
8
x1
,
x
2
,
d
i
,
d
i
0
(i 1,...,4)
目标规划数学模型的一般形式
L
K
达成函数
minZ
Pl (
d lk k
lk
d
k
)
l 1
k 1
n
运筹学基础及应用 ( Operations Research )
主讲：杨启明
第5章 目标规划
例5.1 某企业计划生产甲，乙两种产品，这些产品分别 要在A,B,C,D四种不同设备上加工。按工艺文件规定， 如表所示。
A
B
C
D 单件利润
甲
1
1
4
0
2
乙
2
2
0
4
3
最大负荷 12
8
16
12
问该企业应如何安排计划，使得计划期内的总利润 收入为最大？
把等式转换，可得到 0.5x1 +0.2x2-d1++d1-=700。
再来考虑年收入: 年收入=3x1+4x2
引入变量d2+和d2-，分别表示年收入超过与低于10000 的数量。 于是，第2个目标可以表示为
3x1+4x2-d2++d2-=10000。