• 多目标线性规划
–含有多个优化目标的线性规划。 –线性规划模型只能有一个目标函数，可称为 单目标线性规划。 –多目标线性规划模型具有两个或两个以上的 目标函数。
例1
某工厂计划生产甲、乙两种产品，现有的 设备资源、每种产品的技术消耗定额及单 位产品的利润如表所示。试确定计划期内 的生产计划，使获得的利润最大。
假设： 甲产品产量希望不少于3单位的权数为3， 乙产品产量比甲产品多2单位的权数为5。
3
minZ= P1 d1- + P2(d2- + d2+ ) + P3(3d3- +5 d4- )
目标规划的数学模型
min Z Pk ( wkl d l wkl d l ) k 1 l 1 K Lk
maxZ1=5x1+4x2
maxZ2=x1 minZ3=x2 4x1+3x2 ≤24 x1，x2 ≥0
这些目标 之间相互矛盾， 一般的线性规划 方法不能求解
目标规划的基本概念
P1>>P2>>P3>>…
• 1.优先等级： 将各目标按其重要程度分成不同的优先等级。 • 2.加权系数：在同一优先级下为每一目标赋一个权系数。 • 3.正负偏差变量
– – – – 首先是在可行域内寻找一个使P1级各目标均满足的区域R1； 然后再在R1中寻找一个使P2级各目标均满足的区域R2(R2R1)； 接着再在R2中寻找一个满足P3级各目标的区域R3(R3 R2 R1)； 如此继续，直到寻找到一个区域RK(RK RK-1 … R3 R2 R1)， 满足PK级各目标，这时RK即为这个目标规划的最优解空间， 其中的任一点均为这个目标规划的满意解。
x2
11 10 9 (3)d2+ 8 7 6 (1) 5 4 (4)d3 3 2 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
(2)d1-
可行域
9
10 11 12 13
x1
minZ=P1d1-+P2d2++P3(2d3-+d4-) X1+X2 +d1- -d1+=50 X1 +X2+d2- -d2+=60 X1+d3- -d3+=24 X2 +d4- -d4+=30 X1 , X2 , di- , di+ 0 (i=1,2,3,4)
• 目标规划（Goal Programming）
• 目标规划可根据实际情况，分主次地、轻重缓 急地考虑问题。
• 在LP的基础上发展起来的解决多目标规划问题的最有 效的方法之一。 • 美国经济学家查恩斯(A.Charnes)和库柏(W.W.Cooper) 在1961年出版的《管理模型及线性规划的工业应用》 一书中，首先提出的。
• 转为标准型 maxZ=-P1 d1--P2(d2-+d2+)-P3(3d3-+5d4-) 5x1+4x2 +d1-- d1+ = 20 4x1+3x2 +d2- - d2+ = 24 x1 +d3- - d3+ =3 - x1 + x2 +d4- - d4+ = 2 x1 , x2 ,dk- , dk+ ≥0
• 检验数一般是各优先等级因子的代数和 • 判断检验数的正负和大小
minZ=P1 d1-+P2(d2-+d2+)+P3(3d3-+5d4-)
5x1+4x2 +d1-- d1+ = 20 4x1+3x2 +d2- - d2+= 24 x1 +d3- - d3+ = 3 - x1 + x2 +d4- - d4+ = 2 x1 , x2 ,dk- , dk+ ≥0
5x1+4x2 +d1--d1+ = 20 4x1+3x2 +d2- - d2+ = 24 x1 +d3- -d3+ = 3 - x1 + x2 +d4--d4+ = 2 目标达成函数
minZ= P1 d1- + P2(d2- + d2+ ) + P3(3d3- +5 d4- ) 5x1+4x2 +d1-- d1+ = 20 4x1+3x2 +d2- - d2+ = 24 x1 +d3- - d3+ = 3 –第一个目标是实现利润最大，其优先级为P1 ；- - d + = 2 - x1 + x2 +d4 4 –第二个目标是充分利用设备台时，但尽量少加班，其优先级为P2 ； x1 , x2 ,dk- , dk+ ≥0 –第三个目标：甲的产量不少于3，乙的产量比甲多2，优先级为P 。
– – – –
对每个目标函数确定一个希望达到的期望值； 由于各种条件的限制，这些目标值往往不可能全部都达到； 正偏差变量dk+ 表示第k个目标超过期望值的部分； 负偏差变量dk- 表示第k个目标不足期望值的部分；
• 4.软约束和硬约束
– 原来的目标函数变成了约束条件的一部分，即软约束（目 标约束） – 原来的约束条件称为硬约束(系统约束)。
• 例2 • 某工厂生产两种产品，受到原材料供应 和设备工时的限制。在单件利润等有关 数据已知的条件下，要求制订一个获利 最大的生产计划。具体数据见下表
产品
原材料（kg/件） 设备工时（h/件）
利润（元/件）
I 5 4 6
II 10 4 8
资源限量 60 40
• 设产品I和II的产量分别为X1和X2，当用 线性规划来描述和解决这个问题时，其 数学模型为： max z 6 x1 8 x2
•目标规划的图解法的步骤
–首先，按照绝对约束画出可行域， –其次，不考虑正负偏差变量，画出目标约束的边界线， –最后。按优先级别和权重依次分析各级目标。
minZ= P1 d1- + P2d2+ + P3d35x1+10x2<=60(1)
x1-2x2 +d1-- d1+ = 0(2) 4x1+4x2 +d2- - d2+ = 36(3) 6x1 +8x2 +d3- - d3+ = 48(4)
•实际决策中，衡量方案优劣考虑多个目标
–生产计划决策中，通常要考虑产值、利润、满 足市场需求、降低消耗、提高质量、提高劳动生 产率等； –生产布局决策中，除了要考虑运输费用、投资、 原料供应、产品需求量等经济指标外，还要考虑 到污染和其它社会因素等 。 –这些目标中，有主要的，也有次要的；有最大 的，也有最小的；有定量的，也有定性的；有互 相补充的，也有互相对立的，LP则无能为力。 –求解线性规划问题，首先要求约束条件必须相 容，如果约束条件中，由于人力，设备等资源条 件的限制，使约束条件之间出现了矛盾，就得不 到问题的可行解，但生产还得继续进行，这将给 人们进一步应用线性规划方法带来困难。
资源
产品
甲
乙
现有资源
例3：
设备
单位产品利润
4
5
3
4
24
管理部门提出新要求：第一个目标是实现利润最大，计划部门规定利润 目标是20；第二个目标是充分利用设备台时，但尽量少加班；第三个目 标做如下规定，甲产品产量希望不少于3单位，乙产品产量比甲产品至少 多2单位。对各目标函数引入正、负偏差变量，则目标约束为：
X1+d3- -d3+=24
X2 +d4- -d4+=30 X1 , X2 , di- , di+ 0 (i=1,2,3,4)
目标规划的解法
• 目标规划的图解法
• 只含有两个决策变量的目标规划模型 • 线性规划是在可行域中寻找一点，使单个目标极大或 极小；目标规划则是寻找一个区域，这个区域提供了 相互矛盾的目标集的折衷方案。 • 目标规划的图解法的思路
cj
CB - P1 - P2 - 3P3 - 5P3 XB d1d2d3d4b 20 24 3 2
0 x1 5 4 1 -1
0 x2 4 3 0 1
- P1 0 - P2 - P2 d1- d1+ d2- d2+ 1 -1 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 -P1 0
5 x1 10 x2 60 4 x1 4 x2 40 x ,x 0 1 2
其最优解，即最优生产计划为X1=8，X2=2，maxz=64
• 假设计划人员还被要求考虑如下意见： • （1）由于产品II销售疲软，故希望产品II的产 量不超过产品I的一半。 • （2）原材料严重短缺，生产中决不允许超额 使用。 • （3）最好能节约4小时设备工时； • （4）计划利润最好不少于48元。 • 面对这些意见，计划人员作出如下意见，首先 原材料使用额不得突破；产品II产量要求优先 考虑；设备工时问题其次考虑；最后考虑计划 利润的要求。
该厂目标： 1、充分利用装配线，避免开工不足。
2、允许装配线加班，但尽量不超过10小时。
3、尽量满足市场需求（产品25寸的两倍重要 于21寸的电视机）。
解：设X1 , X2 分别表示25寸，21寸彩电产量 minZ=P1d1-+P2d2++P3(2d3-+d4-) X1+X2 +d1- -d1+=50 X1 +X2+d2- -d2+=60

无解（或无可行解）：若约束条件相互 矛盾，则可行域为空集。
x
3
2
-2x1 + x2 =2