单位 产品
甲
资源 消耗
钢材
9
煤炭
4
设备台时 3
单件利润 70
乙 资源限制
4
3600
5
2000
10 3000
120
目标规划数学模型
设：甲产品x1 ，乙产品 x2
maxZ=70 x1 + 120 x2 9 x1 +4 x2 ≤3600 4 x1 +5 x2 ≤ 2000 3 x1 +10 x2 ≤3000 x1 ， x2 ≥0
▪ 正偏差变量dk+ 表示第k个目标超过期望值的数值； ▪ 负偏差变量dk- 表示第k个目标未达到期望值的数值。 ▪ 同一目标的dk+ 和dk- 中至少有一个必须为零。
目标规划的数学模型
在一次决策中，实现值不可能既超过目标值又未达 到目标值，故有d＋×d－＝0,并规定d＋≥0, d－≥0 当完成或超额完成规定的指标则表示：d＋≥0, d－＝0 当未完成规定的指标则表示： d＋＝0, d－≥0 当恰好完成指标时则表示： d＋＝0, d－＝0
多目标线性规划模型的原始一般形式如下：
m ax (m in ) G 1 c11x1 c12 x2 c1n xn m ax (m in ) G 2 c21x1 c22 x2 c2n xn
m a x (m in ) G l c l1 x1 c l 2 x 2 c ln x n
a11x1 a12 x2
多目标线性规划 ▪ 含有多个优化目标的线性规划
目标规划与线性规划的比较
• 线性规划只讨论一个线性目标函数在一组线性约束条 件下的极值题；而目标规划是多个目标决策，可求 得更切合实际的解。
• 线性规划求最优解；目标规划是找到一个满意解。 • 线性规划中的约束条件是同等重要的，是硬约束；而
目标规划中有轻重缓急和主次之分，即有优先权。 • 线性规划的最优解是绝对意义下的最优，但需花去大
量的人力、物力、财力才能得到；实际过程中，只要 求得满意解，就能满足需要(或更能满足需要)。
目标规划与线性规划的比较
例5-1：某厂计划在下一个生产周期内生产甲、乙两种产 品，已知资料如表所示。试制定生产计划，使获得的利润 最大？同时，根据市场预测，甲的销路不是太好，应尽可 能少生产；乙的销路较好，可以扩大生产。试建立此问题 的数学模型。
• 目标规划法：
▪ 对每一个目标函数引入正的或负的偏差变量； ▪ 引入目标的优先等级和加权系数。
第二节 目标规划的数学模型
一、目标值和偏差变量 目标规划通过引入目标值和偏差变量，可 以将目标函数转化为目标约束。
1.目标期望值
▪ 每一个目标希望达到的期望值(或目标值、理想值)。 ▪ 根据历史资料、市场需求或上级部门的布置等来确定。
• 为了弥补线性规划问题的局限性，解决有限资源和计划指标 之间的矛盾，在线性规划基础上，建立目标规划方法，从而 使一些线性规划无法解决的问题得到满意的解答。
第一节 多目标规划问题
一、线性规划的局限性
• 线性规划的局限性
▪ 只能解决一组线性约束条件下，某一目标而且只能是一个目标 的最大或最小值的问题
上述
第一节 多目标规划问题
三、多目标的处理方法
• 加权系数法：
▪ 为每一目标赋一权数，把多目标转化成单目标。 ▪ 但权系数难以科学确定。
• 优先等级法：
▪ 各目标按重要性归不同优先级而化为单目标。
• 有效解法：
▪ 寻求能照顾到各目标而使决策者感到满意的解。 ▪ 但可行域大时难以列出所有有效解的组合。
s
.
t
.
a 21x1
a 22
x2
a
m
1
x
1
am2x2
x 1 , x 2 , x n 0
a1n xn ( , )b1 a2n xn (, )b2
amn xn (, )bm
n个决策变量，m个约束条件，L个目标函数。 当L=1时，即为我们熟悉的单目标线性规划模型。
二、多目标规划的提出
得最优解，而在企业管理中，经常遇到多目标决策问 题，如拟订生产计划时，不仅考虑总产值，同时要考 虑利润，产品质量和设备利用率等。这些指标之间的 重要程度(即优先顺序)也不相同，有些目标之间往往 相互发生矛盾。 • 线性规划致力于某个目标函数的最优解，这个最优解 若是超过了实际的需要，很可能是以过分地消耗了约 束条件中的某些资源作为代价。
这些目标之间 相互矛盾，一 般的线性规划 方法不能求解
根据市场预测：
maxZ1=70 x1 + 120x2 minZ2= x1 maxZ3= x2 9 x1 +4 x2 ≤3600 4 x1 +5 x2 ≤ 2000 3 x1 +10 x2 ≤3000 x1 ， x2 ≥0
第一节 多目标规划问题
二、多目标规划的提出
实现值或决策值：是指当决策变量xj选定以后， 目标函数的对应值。
第二节 目标规划的数学模型
2、偏差变量
偏差变量(事先无法确定的未知数)：是指实现值和目标值 之间的差异,记为 d 。偏差可能存在正的或负的。 正偏差变量:表示实现值超过目标值的部分，记为d＋。 负偏差变量:表示实现值未达到目标值的部分，记为d－。
问题的提出
• 线性规划把各个约束条件的重要性都不分主次地等同看待， 这也不符合实际情况。
• 求解线性规划问题，首先要求约束条件必须相容，如果约束 条件中，由于人力，设备等资源条件的限制，使约束条件之 间出现了矛盾，就得不到问题的可行解，但生产还得继续进 行，这将给人们进一步应用线性规划方法带来困难。
第5 章 目标规划
学S习ub要titl点e
了解目标规划与线性规划的异同 理解目标约束中的正负偏差变量 思考目标约束与系统约束的差异 理解目标的优先级和目标权系数 了解目标规划图解法和单纯形法
目标规划
本章内容重点 ✓目标规划模型 ✓目标规划的几何意义 ✓目标规划的单纯形方法
问题的提出
• 线性规划的局限性 • 线性规划只研究在满足一定条件下，单一目标函数取
• 实际决策中，衡量方案优劣考虑多个目标
▪ 生产计划决策，通常考虑产值、利润、满足市场需求等 ▪ 生产布局决策，考虑运费、投资、供应、市场、污染等
• 这些目标中，有主要的，也有次要的；有最大的，有最小的； 有定量的，有定性的；有互相补充的，有互相对立的，LP则 无能为力
• 目标规划（Goal Programming）