+ (20 ⨯第十四届“小机灵杯”数学竞赛初赛解析（四年级组）时间： 60 分钟 总分：120 分（第1 题~ 第 5 题，每题 6 分.） 1.我们规定 a ★b = a ⨯ a - b ⨯ b ，那么 3★2 + 4★3 + 5★4 + + 20★19 = .【答案】 396【考点】定义新运算 【分析】原式= (3⨯ 3 - 2 ⨯ 2) + (4 ⨯ 4 - 3⨯ 3) + (5 ⨯ 5 - 4 ⨯ 4) + 20 -19 ⨯19)= 3⨯ 3 - 2⨯ 2 + 4⨯ 4 - 3⨯ 3 + 5⨯ 5 - 4⨯ 4 + + 20⨯ 20 -19⨯19= 20 ⨯ 20 - 2 ⨯ 2 = 400 - 4 = 3962.将一个等边三角形的三个角分别剪去，剩余部分是一个正六边形，剩余部分的面积是原来等边三角形面积的 .(得数用分数表示)【答案】 23【考点】图形分割 【分析】6 如图所示，将剩余部分分割可得，剩余部分的面积是原来等边三角形面积的 9 2，即 .33.小明去超市买牛奶.若买每盒 6 元的鲜奶，所带的钱正好用完；若买每盒 9 元的酸奶，钱也正好用完，但比鲜奶少买 6 盒.小明共带了 元. 【答案】108 元【考点】列方程解应用题 【分析】设小明能买酸奶 x 盒，则能买鲜奶 ( x + 6) 盒； 由题意可列得方程： 6( x + 6) = 9x ，解得 x = 12 ；所以小明共带了 9 ⨯12 =108 元.4.用一根长1 米的铁丝围成长和宽都是整数厘米的长方形，共有 种不同的围法.其 中长方形面积的最大值是 平方厘米. 【答案】 25 种， 625 平方厘米 【考点】长方形的周长，最值问题 【分析】1 米 =100 厘米，即为长方形的周长, 因此长方形的长 + 宽 =100 ÷ 2 = 50 厘米；不同围法有： 50 = 49 +1 = 48 + 2 = 47 + 3 = = 25 + 25 ，共 25 种； 由于长与宽的和一定，当它们的差越小时，它们的乘积也就是长方形的面积越大， 因此长方形面积的最大值是 25⨯ 25 = 625 平方厘米.5.用同样大小的正方形瓷砖铺正方形的地面，周围用白瓷砖，中间用黑瓷砖（如图1 和图 2的铺法）.当正方形地面周围铺了 80 块白瓷砖是，黑瓷砖需要 块.图1图2【答案】 361块 【考点】方阵问题 【分析】铺有 80 块白瓷砖的正方形地面上内部的黑瓷砖每行有(80 - 4) ÷ 4 = 19 块； 因此黑瓷砖需要19 ⨯19 = 361 块.（第 6 题 ~ 第10 题，每题 8 分.）6.在下列每个 2 ⨯ 2 的方格中， 4 个数的排列存在着某种规律.根据这样的排列规律，可知 ◆= .【答案】◆= 5 【考点】找规律填数【分析】观察发现：在表1 中：2 ⨯ 9 = (1⨯ 6)⨯ 3 ；在表 2 中：3⨯ 8 = (4 ⨯ 2)⨯ 3 ；在表 3 中：6 ⨯ 8 = (4 ⨯ 4)⨯ 3 ； 所以在表 4 中，应该有5 ⨯6 = (◆⨯2)⨯ 3 ，求得 ◆= 5 . 5 ◆ 2 66 4 4 83 4 2 82 1 6 91 2 7.学生们手中有1 、2 、3 三种数字卡片，每种数卡都有很多张.老师请每位学生取出两张或 三张数卡排成一个两位数或三位数，如果其中至少有三名学生排出的数是完全相同的，那 么这些学生至少有 人. 【答案】 73 人 【考点】抽屉原理 【分析】学生可能排成的不同两位数有 3⨯ 3 = 9 个，可能排成的不同三位数有 3⨯ 3⨯ 3 = 27 个， 因此学生可能排成的不同的数一共有 9 + 27 = 36 个； 如果要保证其中至少有三名学生排出的数完全相同，那么这些学生至少有 2⨯ 36 +1 = 73 人.8. 已知 2014 + 迎 = 2015 + 新 = 2016 + 年，且迎 ⨯ 新 ⨯ 年 = 504 ， 那么迎⨯ 新 + 新 ⨯ 年= .【答案】128【考点】分解质因数 【分析】根据 2014 + 迎 = 2015 + 新 = 2016 + 年可知：迎 = 新 +1 = 年 +2 ；由 504 = 23 ⨯ 32 ⨯ 7 可得，只有504 = 9 ⨯8 ⨯7 满足条件，即迎 = 9 ，新 = 8 ，年 = 7 ； 迎⨯ 新 + 新⨯ 年 = 9⨯8 + 8⨯ 7 = 72 + 56 =128 .9.一个正方体的六个面上各自写着一些数，相对面上的两个数的和等于 50 .如果我们将右图 的正方体先从左往右翻转 97 次，再从前往后翻转 98 次，这时这个正方体底面的数是 ，前面的数是 ，右面的数是 .（翻转一次表示翻转一个面）【答案】底面的数是37 ，前面的数是 35 ，右面的数是11 【考点】周期问题 【分析】 根据题意，初始时左面的数是 50 -13 = 37 ，后面的数是 50 -15 = 35 ，底面的数是 50 -11 = 39 ； 对于一个正方体来说如果连续朝同一个方向翻转 4 次就会回到初始方向； 由于 97 ÷ 4 = 24 ， 98 ÷ 4 = 24 ，所以原题中的操作可以简化为先从左往右翻转 1 次，再从前往后翻转 2 次； 先从左往右翻转1 次后，正方体的六个面分别为：左面的数39 ，右面的数11，前面的数15 ，后面的数 35 ，顶面的数 37 ，底面的数13 ； 再从前往后翻转 2 次后，正方体的六个面分别为：左面的数39 ，右面的数11，前面的数 35 ，后面的数15 ，顶面的数13 ，底面的数 37 ； 所以按要求操作后，这个正方体底面的数是37 ，前面的数是 35 ，右面的数是11. 11 131510.学校用一笔钱来买球，如果只买排球正好能买15 个，如果只买篮球正好能买12 个.现在 用这些钱买来排球与篮球共14 只，买来的排球与篮球相差 只. 【答案】 6 只【考点】鸡兔同笼 【分析】由于[15,12] = 60 ，因此可以假设这笔钱是 60 ，那么一只排球的价格是 60 ÷15 = 4 ，一只篮球的价格是 60 ÷12 = 5 ； 现在用这些钱买来的14 只球中篮球有(60 - 4 ⨯14) ÷ (5 - 4) = 4 只，排球有14 - 4 = 10 只， 所以买来的排球与篮球相差10 - 4 = 6 只.（第11题~ 第15 题，每题10 分.） 11.小明骑车，小明爸爸步行，他们分别从 A 、 B 两地相向而行，相遇后小明又经过了18 分 钟到达了 B 地.已知小明骑车的速度是爸爸步行速度的 倍，小4明爸爸从相遇地点步行到 A 地还需要 分钟. 【答案】 288 分钟 【考点】行程问题 【分析】小明小明爸爸如图所示，当小明与爸爸相遇时，由于小明的速度是爸爸的 4 倍且二人运动时间相同，因此小明的路程应该是爸爸的 4 倍（图中的 4S 与 S ）；而相遇后小明又经过18 分钟前进了 S 的路程才到达了 B 地； 因为小明的速度是爸爸的 4 倍，所以爸爸步行S 的路程需要18⨯ 4 = 72 分钟； 又因为爸爸从相遇地点步行到 A 地还需要再走 4S 的路程， 所以小明爸爸从相遇地点步行到 A 地还需要72 ⨯ 4 = 288分钟.12.如图所示，两个正方形的周长相差12 厘米，面积相差 69 平方厘米，大、小两个正方形 的面积分别是 平方厘米， 平方厘米.a2 2 【答案】169 平方厘米，100 平方厘米【考点】正方形的周长与面积，平方差公式 【分析】设大正方形的边长是 a 厘米，小正方形的边长是 b 厘米，由题意得：⎧4a - 4b = 12 ⎧⎪a - b = 3 ⎧a - b = 3 ⎨ - b = 69 ，整理得⎨(a + b )(a - b ) = 69，即为 ⎨a + b = 23 ； ⎩ ⎪⎩ ⎩⎧a = 13 解得 ⎨ ⎩b = 10 ，所以大正方形面积是132 = 169 平方厘米，小正方形面积是102 = 100 平方厘米.13.甲、乙两人用同样多的钱去买同一种糖果，甲买的是铁盒装的，乙买的是纸盒装的.两人都尽可能多地购买，结果甲比乙少买了 4 盒且余下6 元，而乙用完了所带的钱.如果甲用 元原来 3 倍的钱去购买铁盒装的糖果，就会比乙多买 31盒，而且仍余下 6 元.那么铁盒装的 糖果售价为每盒 元，纸盒装的糖果售价为每盒 元. 【答案】12 元，10 元【考点】约数与倍数，列方程解应用题 【分析】甲用原有的钱去买铁盒余下 6 元，那么用 3 倍的钱去买铁盒理论上应余下 6 ⨯ 3 = 18 元，然而仍余下6 元，说明18 - 6 = 12 元刚好又可买若干个铁盒，即铁盒的单价应为12 的约数； 有根据余下 6 元可知铁盒的单价必定大于 6 元，所以铁盒的单价只能是每盒12 元；设乙买了x 盒纸盒，由甲两次所用的钱数关系可列得方程: 3⎡⎣12( x - 4) + 6⎤⎦ = 12(x + 31) + 6 ，解得 x = 21； 所以两人原有的钱数为12 ⨯(21 - 4) + 6 = 210 元，纸盒的单价是每盒 210 ÷ 21 = 10 元.14.如下图所示，将一个由 3 个 小正方形组成的形放入右边的L 格子中，共有几种放法.（ 图 形可旋转） L【答案】 48 种【考点】对应法计数 【分析】首先，右图中共有9，每个田字格中 L 形有 4 种放法，分别为：，共 4⨯ 9 = 36 种；+ 210+ 210 =其次，还有一些 L 形不包含于图中的某个田字格，例如下图中的 L 形1 号：观察发现这些 L 形分别对应了图中方格外部的一个凹拐角，而这样的凹拐角共有12 个（如图所示）,因此不包含于图中的某个田字格的 L 形也有12 种；综上所述，图中的 L 形共有36 +12 = 48 种放法.15.一棵生命力极强的树苗，第一周在树干上长出 2 条树枝（如图1 ），第二周在原先长出的每条树枝上又长出2 条新的树枝（如图2 2），第三周又在第二周新长出的每条树枝上再长 出 条新2 枝（如图 3）这棵树苗按此规律生长，到第十周新的树枝长出来后，共有条树枝.图1 图2 图3【答案】 2046 条【考点】等比数列求和 【分析】第一周树上新长出1⨯ 2 条树枝，共有 2 条树枝； 第二周树上新长出 2 ⨯ 2 = 22 条树枝，共有 2 + 22 条树枝； 第三周树上新长出 22 ⨯ 2 = 23 条树枝，共有 2 + 22 + 23 条树枝； 依次类推第十周树上新长出210 条树枝，共有2 + 22 + 23 +条树枝； 因为 2 + 22 + 23 + 211 - 2 = 2046 ， 所以第十周新的树枝长出来后共有 2046 条树枝.1。