2020-2021学年高三数学周测卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．设集合A ＝{x |ln x ＜1}，B ＝{x |x 2－4x －12≥0}，则A ∪(∁R B )＝( )．A ．(－∞，6)B ．(－2，6)C ．(0，6]D ．(0，e)2. 已知sin(θ－π3)＝15，则sin(2θ－π6)＝（ ）A . －225 B . －2325 C . 225 D . 23253．设a ＝30.7，b ＝(13)－0.8，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为( )．A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b4. 已知菱形ABCD 的边长为4，∠ABC ＝60º，E 是BC 的中点，DF →＝－2AF →，则AE →·BF →＝（ ） A . 24 B . －7C . －10D . －125．函数f (x )＝(x －1x)cos x 在其定义域上的图像大致是( )．6.意大利“美术三杰”(文艺复兴后三杰)之一的达芬奇的经典之作—— 《蒙娜丽莎》举世闻名｡画中女子神秘的微笑数百年来让无数观赏者入迷,某数学兼艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘｡将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧,在嘴角A,C 处作圆弧的切线,两条切线交于B 点,测得如下数据:AB=6.9 cm,BC=7.1 cm,AC=12.6 cm.根据测量得到的结果推算:将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于以下哪个区间?.(,)64A ππ.(,)43B ππ5.(,)312C ππ5.(,)122D ππ7．“中国剩余定理”又称“孙子定理”,最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》．1852年，英国传教士伟烈亚力将该解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．此定理讲的是关于整除的问题，现将1到2021这2021个数中，能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，则该数列共有( )． A ．202项 B ．203项 C ．204项 D ．205项 8. 函数f (x )的定义域为D ，若满足：①f (x )在D 内是单调函数；②存在[m ，n ]D ，使f (x )在[m ，n ]上的值域为[m 2，n2]，那么就称y ＝f (x )为“半保值函数”，若函数f (x )＝log a (a x ＋t 2)（a ＞0，且a ≠1）是“半保值函数”，则t 的取值范围为（ ）． A . (0，14) B . (－12，0)∪(0，12) C . (0，12)D . (－12，12)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有选错的得0分．9．下列命题正确的是( )．A ．“a ＞1”是“a 2＞1”的充分不必要条件 B ．“M ＞N ”是“lg M ＞lg N ”的必要不充分条件C ．命题“∀x ∈R ，x 2＋1＜0”的否定是“∃x ∈R ，使得x 2＋1＜0”D ．设函数f (x )的导数为f '(x )，则“f '(x 0)＝0”是“f (x )在x ＝x 0处取得极值”的充要条件10．将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则( )．A ．y ＝f (x )是偶函数B ．y ＝f (x )的最小正周期为πC ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(－π2，0)对称11．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，且双曲线C 的左焦点在直线x ＋y ＋5＝0上，A ，B 分别是双曲线C 的左，右顶点，点P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点，记PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，则下列说法正确的是A ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2xB ．双曲线C 的方程为x 24－y 2＝1C ．k 1k 2为定值14D ．存在点P ，使得k 1＋k 2＝112．关于函数f(x)＝ae x－cosx ，x ∈(－π，π)，下列说法正确的是A ．当a ＝1时，f(x)在x ＝0处的切线方程为y ＝xB ．若函数f(x)在(－π，π)上恰有一个极值，则a ＝0C ．对任意a ＞0，f(x)≥0恒成立D ．当a ＝1时，f(x)在(－π，π)上恰有2个零点三、 填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．13.已知复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为__________.14． 若函数f (x )＝⎩⎨⎧(3a －1)x ＋4a －ax，，x ＜1x ≥1，是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围为_________.15．已知F 是抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，设点A (p ，1)，点M 为抛物线C 上任意一点，且MA ＋MF 的最小值为3，则p ＝ ，若线段AF 的垂直平分线交抛物线C 于P 、Q 两点，则四边形APFQ 的面积为 （本题第一空2分，第二空3分）． 16．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2AB ＝2BC ＝2，将△ABC 沿对角线AC 翻折到△AMC ，连结MD ．当三棱锥M —ACD 的体积最大时，该三棱锥的外接球的表面积为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）在①a 1，a 2，a 5成等比数列，且T n ＝2－b n ；②S 4＝S 22，且T n ＝2－(12)n －1这两个条件中任选一个填入下面的横线上并解答．已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝1，其前n 项和为S n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，若 ．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）求数列{a n b n}的前n 项和Q n ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18.（本小题满分12分）在四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ，E 是AD 上的点且满足ΔBED 与ΔABD相似，∠AEB ＝3π4，∠DBE ＝π6，DE ＝6.(1)求BD 的长度；(2)求三角形BCD 面积的最大值.19.（本小题12分）在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AB ＝AD ＝2， 三角形PBD 是边长为22的正三角形，PA ＝2 3. （1）证明：PC ⊥面ABCD ；（2）若E 为BC 中点，F 在线段DE 上，且DF →＝25DE →，求二面角F －PA －C 的大小.20.（本小题12分）已知f (x )＝x ln x ＋a2x 2＋1（1）若f (x )在其定义域上为单调递减函数，求实数a 的取值范围；（2）若函数g (x )＝f (x )＋x cos x －sin x －x ln x －1在(0，π2]上有1个零点.求实数a 的取值范围；21.（本小题满分12分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，点P (263，33)在C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设O 为坐标原点，H (0，－12)，试判断在椭圆C 上是否存在三个不同点Q ，M ，N (其中M ，N 的纵坐标不相等)，满足OM →＋ON →＝12OQ →，且直线HM 与直线HN 倾斜角互补？若存在，求出直线MN 的方程，若不存在，说明理由.22.（本小题12分）已知函数f (x )＝e x－1－x －ax 2.（1）当x ≥0时，若不等式f (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若x ＞0，证明(e x －1)ln(x ＋1)＞x 2.2020-2021学年度宁海中学高三（上）数学周测卷8一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上．1．设集合A ＝{x |ln x ＜1}，B ＝{x |x 2－4x －12≥0}，则A ∪(∁R B )＝( )．A ．(－∞，6)B ．(－2，6)C ．(0，6]D ．(0，e) 【答案】B【分析】A ＝(0，e)，∁R B ＝(－2，6)．2. 已知1sin 35πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A. 225-B. 2325-C.225D.2325【答案】D3．设a ＝30.7，b ＝(13)－0.8，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为( )．A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b 【答案】D【分析】a ＞1，b ＝30.8＞a ，c ＜log 0.70.7＝1，故c ＜1＜a ＜b ．4. 已知菱形ABCD 的边长为4，60ABC ∠=︒，E 是BC 的中点2DF AF =-，则AE BF ⋅=（ ）A. 24B. 7-C. 10-D. 12-【答案】D5．函数f (x )＝(x －1x)cos x 在其定义域上的图像大致是( )．答案：C6.意大利“美术三杰”(文艺复兴后三杰)之一的达芬奇的经典之作—— 《蒙娜丽莎》举世闻名｡画中女子神秘的微笑数百年来让无数观赏者入迷,某数学兼艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘｡将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧,在嘴角A,C 处作圆弧的切线,两条切线交于B 点,测得如下数据:AB=6.9 cm,BC=7.1cm,AC=12.6 cm.根据测量得到的结果推算:将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于以下哪个区间?.(,)64A ππ.(,)43B ππ5.(,)312C ππ5.(,)122D ππ【答案】B7．“中国剩余定理”又称“孙子定理”,最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》．1852年，英国传教士伟烈亚力将该解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．此定理讲的是关于整除的问题，现将1到2021这2021个数中，能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，则该数列共有( )． A ．202项 B ．203项 C ．204项 D ．205项 【答案】B【分析】被2除余1的数：1，3，5，7，9，11，…；被5除余1的数：1，6，11，16…故a n ＝10n －9，由10n －9≤2021，解得n ≤203．8. 函数()f x 的定义域为D ，若满足：①()f x 在D 内是单调函数；②存在[],m n D ⊆，使()f x 在[],m n 上的值域为,22m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，那么就称()y f x =为“半保值函数”，若函数()()2log x a f x a t =+（0a >，且1a ≠）是“半保值函数”，则t 的取值范围为（ ）． A. 10,4⎛⎫⎪⎝⎭B. 11,00,22⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填写在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有选错的得0分． 9．下列命题正确的是( )．A ．“a ＞1”是“a 2＞1”的充分不必要条件 B ．“M ＞N ”是“lg M ＞lg N ”的必要不充分条件C ．命题“∀x ∈R ，x 2＋1＜0”的否定是“∃x ∈R ，使得x 2＋1＜0”D ．设函数f (x )的导数为f '(x )，则“f '(x 0)＝0”是“f (x )在x ＝x 0处取得极值”的充要条件【答案】AB【分析】对于C ，命题“∀x ∈R ，x 2＋1＜0”的否定是“∃x ∈R ，使得x 2＋1≥0”，错误； 对于D ，“f '(x 0)＝0”是“f (x )在x ＝x 0处取得极值”的必要不充分条件，错误．A ，B 正确．10．将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则( )．A ．y ＝f (x )是偶函数B ．y ＝f (x )的最小正周期为πC ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(－π2，0)对称【答案】AD【分析】函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位后，得到函数f (x )＝sin(x ＋π2)＝cos x 的图象．故A ，D 正确；对于B ，f (x )周期为2π，错误；对于C ，f (x )的图象不关于直线x ＝π2对称，错误．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)且双曲线C 的左焦点在直线x ＋y 0上，A ，B 分别是双曲线C 的左，右顶点，点P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点，记PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则下列说法正确的是A ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2xB ．双曲线C 的方程为2214x y -= C ．1k 2k 为定值14D ．存在点P ，使得1k ＋2k ＝1 答案：BC12．关于函数()e cos x f x a x =-，x ∈(π-，π)，下列说法正确的是 A ．当a ＝1时，()f x 在x ＝0处的切线方程为y ＝x B ．若函数()f x 在(π-，π)上恰有一个极值，则a ＝0 C ．对任意a ＞0，()f x ≥0恒成立D ．当a ＝1时，()f x 在(π-，π)上恰有2个零点答案：ABD三、 填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．13.已知复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为__________. 答案：214． 若函数(31)4,1(),1a x a x f x ax x -+<⎧=⎨-≥⎩，是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围为_________.答案：1183⎡⎫⎪⎢⎣⎭，16．已知F 是抛物线C ：22y px =(p ＞0)的焦点，设点A(p ，1)，点M 为抛物线C 上任意一点，且MA ＋MF 的最小值为3，则p ＝ ，若线段AF 的垂直平分线交抛物线C 于P 、Q 两点，则四边形APFQ 的面积为 （本题第一空2分，第二空3分）． 答案：2，3416．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2AB ＝2BC ＝2，将△ABC 沿对角线AC 翻折到△AMC ，连结MD ．当三棱锥M —ACD 的体积最大时，该三棱锥的外接球的表面积为 ． 答案：π4四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）在①1a ，2a ，5a 成等比数列，且2n n T b =-；②242S S =，且112()2n n T -=-这两个条件中任选一个填入下面的横线上并解答．已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =，其前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若 ．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n Q ． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18.（本小题满分12分）在四边形ABCD 中，A C ∠=∠，E 是AD 上的点且满足BED ∆与ABD ∆相似，34AEB π∠=，6DBE π∠=，6DE =. (1)求BD 的长度；(2)求三角形BCD 面积的最大值. 18. 解：（1）4BED AEB ππ∠=-∠=,在三角形BDE 中，sin sin DE BDDBE BED=∠∠， 即6sinsin64BD ππ=， …………2分所以6122=，62BD =； …………6分 (2)因为BED ABD ∆∆，所以C A ∠=∠=6DBE π∠=， …………7分在三角形BDC 中，2222cos6BD DC BC DC BC π=+-，所以22723DC BC DC BC =+-， …………8分所以7223DC BC DC BC ≥-，所以()722+3DC BC ≤， 所以()()11sin 722+3182+3264BCD S DC BC π∆=≤⨯=， 所以三角形BCD 面积的最大值为36183+. …………12分 19.（本小题12分）在四棱锥P ABCD -中，ABCD 为平行四边形，=2AB AD =， 三角形PBD 是边长为22的正三角形，23PA =. （1）证明：PC ABCD ⊥平面；（2）若E为BC中点，F在线段DE上，且25DF DE=，求二面角F PA C--的大小.解：(1)因为222AB AD BD===，，所以222+=AB AD BD，所以AB AD⊥，又因为ABCD为平行四边形，所以AB BC⊥,AD DC⊥，因为222,23AB BP PA===，，所以222+=AB BP AP，所以AB BP⊥，因为PB BC B=,所以AB BPC⊥平面,所以AB CP⊥, 因为222,23AD P PA===，D，所以222+=AD DP AP，所以AD DP⊥，因为PD DC D=,所以AD PCD⊥平面,所以AD CP⊥,因为AD AB A=,所以PC ABCD⊥平面. …………6分(2)由 (1)知，,,CD CB CP两两垂直，分别以,,CD CB CP所在的直线为,,x y z轴，建立如图所示的平面直角坐标系，在三角形PBC中，222PC PB BC=-=,则(2,2,0)A, (0,2,0)B,(0,0,0)C, (2,0,0)D,(0,1,0)E,(0,0,2)P,所以(2,1,0)DE=-，242(,,0)555DF DE==-,48(,,0)55AF AD DF=+=--,(2,2,2)PA=-,设平面PAF的一个法向量为(,,)x y z=m，则AFPA⎧=⎪⎨=⎪⎩mm，即48552220x yx y z⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，令1y=，得2x=-，1z=-，于是取(2,1,1)=--m，又由 (1)知，底面ABCD为正方形，所以AC BD⊥,因为PC ABCD⊥平面，所以PC BD⊥,因为AC PC C=,所以BD ACP⊥平面.所以(2,2,0)BD=-平面PAC的一个法向量，设二面角F PA C--的大小为θ，则cos cos ,6BD BD BDθ=<>===m m m ， 所以二面角F PA C --的大小为6π. …………12分20.（本小题12分）已知2()ln 12a f x x x x =++ （1）若()f x 在其定义域上为单调递减函数，求实数a 的取值范围；（2）若函数()()cos sin ln 1g x f x x x x x x =+---在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上有1个零点.求实数a的取值范围；20.解:（1）()ln 10f x x ax '=++≤在(0,)+∞上恒成立，所以ln 1x a x--≤， 令ln 1()x h x x --=，则2ln ()xh x x'=， 由2ln 0xx >，得1x >，所以()h x 在(1,)+∞单调递增， 由2ln 0xx <，得01x <<，所以()h x 在(0,1)单调递减， 所以当1x =时，()h x 取得最小值(1)1h =-，所以1a ≤-. (6)分（2）（i ）2()cos sin ,0,22a g x x x x x x π⎛⎤=+-∈ ⎥⎝⎦所以()(sin )g x x a x '=-，当1a ≥时，sin 0a x -≥，所以()g x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦单调递增，又因为(0)0g =，所以()g x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上无零点. (7)分当01a <<时，00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使得0sin x a =，所以()g x 在0,2x π⎛⎤⎥⎝⎦单调递减，在()00,x 单调递增，又因为(0)0g =，2()128a g ππ=-， 所以若2108a π->，即28a π>时，()g x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上无零点， ........8分 若2108a π-≤，即280a π<≤时，()g x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上有一个零点， …………9分当0a ≤时()sin 0g x a x x '=-<，()g x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减， ()g x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上无零点， .............................10分综上当280a π<≤时，()g x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上有一个零点 …………12分21.（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>P (33在C 上． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设O 为坐标原点，1(0,)2H -，试判断在椭圆C 上是否存在三个不同点,,Q M N (其中,M N 的纵坐标不相等)，满足12OM ON OQ +=，且直线HM 与直线HN 倾斜角互补？若存在，求出直线MN 的方程，若不存在，说明理由. 21.解：（1）由题意知可得c a =222a b c -=，2281133a b+=，解得2a =，1b =，则椭圆C 的方程为2214x y +=； …………4分 （2）由题意，直线MN 的斜率存在且不为0，设直线MN 方程为y kx m =+，设点1122(,),(,)M x y N x y ，联立2214m y y kx x ==+⎧+⎪⎨⎪⎩，得222(41)4084k k x mx m +++-=，所以122814km x x k -+=+ ，21224441m x x k -=+，121222()214m y y k x x m k +=++=+，因为12OM ON OQ +=，所以22164(,)1414km mQ k k -++， 因为Q 在椭圆上，所以222216()414()1414km m k k-++=+， 化简得221614m k =+， …………8分满足0∆>，又因为直线HM 与直线HN 倾斜角互补， 所以0HE HF k k +=，所以121211220y y x x +++=， 所以121211220kx m kx m x x +++++=，所以121212()()02kx x m x x +++=，所以24(2)014k m k+=+， …………10分因为0k ≠，所以2m =-，代入221614m k =+得k =±， 所以存在满足条件的三个点，此时直线MN的方程为22y x =-或2y x =-. (12)分22.（本小题12分）已知函数()21xf x e x ax =---.（1）当0x ≥时，若不等式()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若0x >，证明()()21ln 1x e x x -+>.【答案】（1）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（2）见解析【解析】 【分析】（1）求出函数导数()12x f x e ax '=--，令()12x h x e ax =--，再利用导数求得函数()h x 的单调性与最值，即可求解；（2）由（1）可知当12a =时，当0x >时，212xx x e >++，转化为2(e 1)ln(1)x x x -+>，进而转化为ln(1)22x x x +>+，构造新函数()ln(1)2(0)2xx x F x x =+->+，利用导数即可求解.【详解】（1）由条件得()12xf x e ax =--'，令()12xh x e ax =--，则()2xh x e a '=-.①当21a ≤时，在[]0,+∞上，()0h x '≥，()h x 单调递增 ∴()()0h x h ≥，即()()00f x f ''≥=，∴()f x 在[]0,+∞上为增函数，∴()()00f x f ≥=∴12a ≤时满足条件. ②当21a >时，令()0h x '=解得ln2x a =，在[]0,ln2a 上，()0h x '<，()h x 单调递减， ∴当()0,ln2x a ∈时，有()()00h x h <=，即()()00f x f ''<=，()f x 在()0,ln2a 上为减函数，∴()()00f x f <=，不合题意.综上实数a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．。