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培优圆的综合辅导专题训练含答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图,点P在⊙O的直径AB的延长线上,PC为⊙O的切线,点C为切点,连接AC,过点A作PC的垂线,点D为垂足,AD交⊙O于点E.(1)如图1,求证:∠DAC=∠PAC;(2)如图2,点F(与点C位于直径AB两侧)在⊙O上,BF FA=,连接EF,过点F作AD 的平行线交PC于点G,求证:FG=DE+DG;(3)在(2)的条件下,如图3,若AE=23DG,PO=5,求EF的长.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)EF=32.【解析】【分析】(1)连接OC,求出OC∥AD,求出OC⊥PC,根据切线的判定推出即可;(2)连接BE交GF于H,连接OH,求出四边形HGDE是矩形,求出DE=HG,FH=EH,即可得出答案;(3)设OC交HE于M,连接OE、OF,求出∠FHO=∠EHO=45°,根据矩形的性质得出EH∥DG,求出OM=12AE,设OM=a,则HM=a,AE=2a,AE=23DG,DG=3a,求出ME=CD=2a,BM=2a,解直角三角形得出tan∠MBO=12MOBM=,tanP=12COPO=,设OC=k,则PC=2k,根据OP=5k=5求出k=5,根据勾股定理求出a,即可求出答案.【详解】(1)证明:连接OC,∵PC为⊙O的切线,∴OC⊥PC,∵AD⊥PC,∴OC∥AD,∴∠OCA=∠DAC,∵OC=OA,∴∠PAC=∠OCA,∴∠DAC=∠PAC;(2)证明:连接BE交GF于H,连接OH,∵FG∥AD,∴∠FGD+∠D=180°,∵∠D=90°,∴∠FGD=90°,∵AB为⊙O的直径,∴∠BEA=90°,∴∠BED=90°,∴∠D=∠HGD=∠BED=90°,∴四边形HGDE是矩形,∴DE=GH,DG=HE,∠GHE=90°,∵BF AF=,∴∠HEF=∠FEA=12∠BEA=1902o⨯=45°,∴∠HFE=90°﹣∠HEF=45°,∴∠HEF=∠HFE,∴FH=EH,∴FG=FH+GH=DE+DG;(3)解:设OC交HE于M,连接OE、OF,∵EH=HF,OE=OF,HO=HO,∴△FHO≌△EHO,∴∠FHO=∠EHO=45°,∵四边形GHED是矩形,∴EH∥DG,∴∠OMH=∠OCP=90°,∴∠HOM=90°﹣∠OHM=90°﹣45°=45°,∴∠HOM=∠OHM,∴HM=MO,∵OM⊥BE,∴BM=ME,∴OM=12 AE,设OM=a,则HM=a,AE=2a,AE=23DG,DG=3a,∵∠HGC=∠GCM=∠GHE=90°,∴四边形GHMC是矩形,∴GC=HM=a,DC=DG﹣GC=2a,∵DG=HE,GC=HM,∴ME=CD=2a,BM=2a,在Rt△BOM中,tan∠MBO=122 MO aBM a==,∵EH∥DP,∴∠P=∠MBO,tanP=12 COPO=,设OC=k,则PC=2k,在Rt△POC中,,解得:在Rt△OME中,OM2+ME2=OE2,5a2=5,a=1,∴HE=3a=3,在Rt△HFE中,∠HEF=45°,∴.【点睛】考查了切线的性质,矩形的性质和判定,解直角三角形,勾股定理等知识点,能综合运用性质进行推理是解此题的关键.2.如图1,直角梯形OABC中,BC∥OA,OA=6,BC=2,∠BAO=45°.(1)OC的长为;(2)D是OA上一点,以BD为直径作⊙M,⊙M交AB于点Q.当⊙M与y轴相切时,sin∠BOQ=;(3)如图2,动点P以每秒1个单位长度的速度,从点O沿线段OA向点A运动;同时动点D以相同的速度,从点B沿折线B﹣C﹣O向点O运动.当点P到达点A时,两点同时停止运动.过点P作直线PE∥OC,与折线O﹣B﹣A交于点E.设点P运动的时间为t (秒).求当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标.【答案】(1)4;(2)35;(3)点E的坐标为(1,2)、(53,103)、(4,2).【解析】分析:(1)过点B作BH⊥OA于H,如图1(1),易证四边形OCBH是矩形,从而有OC=BH,只需在△AHB中运用三角函数求出BH即可.(2)过点B作BH⊥OA于H,过点G作GF⊥OA于F,过点B作BR⊥OG于R,连接MN、DG,如图1(2),则有OH=2,BH=4,MN⊥OC.设圆的半径为r,则MN=MB=MD=r.在Rt△BHD中运用勾股定理可求出r=2,从而得到点D与点H重合.易证△AFG∽△ADB,从而可求出AF、GF、OF、OG、OB、AB、BG.设OR=x,利用BR2=OB2﹣OR2=BG2﹣RG2可求出x,进而可求出BR.在Rt△ORB中运用三角函数就可解决问题.(3)由于△BDE的直角不确定,故需分情况讨论,可分三种情况(①∠BDE=90°,②∠BED=90°,③∠DBE=90°)讨论,然后运用相似三角形的性质及三角函数等知识建立关于t的方程就可解决问题.详解:(1)过点B作BH⊥OA于H,如图1(1),则有∠BHA=90°=∠COA,∴OC∥BH.∵BC∥OA,∴四边形OCBH是矩形,∴OC=BH,BC=OH.∵OA=6,BC=2,∴AH=0A﹣OH=OA﹣BC=6﹣2=4.∵∠BHA=90°,∠BAO=45°,∴tan∠BAH=BHHA=1,∴BH=HA=4,∴OC=BH=4.故答案为4.(2)过点B作BH⊥OA于H,过点G作GF⊥OA于F,过点B作BR⊥OG于R,连接MN、DG,如图1(2).由(1)得:OH=2,BH=4.∵OC与⊙M相切于N,∴MN⊥OC.设圆的半径为r,则MN=MB=MD=r.∵BC ⊥OC ,OA ⊥OC ,∴BC ∥MN ∥OA .∵BM =DM ,∴CN =ON ,∴MN =12(BC +OD ),∴OD =2r ﹣2,∴DH =OD OH -=24r -.在Rt △BHD 中,∵∠BHD =90°,∴BD 2=BH 2+DH 2,∴(2r )2=42+(2r ﹣4)2.解得:r =2,∴DH =0,即点D 与点H 重合,∴BD ⊥0A ,BD =AD .∵BD 是⊙M 的直径,∴∠BGD =90°,即DG ⊥AB ,∴BG =AG .∵GF ⊥OA ,BD ⊥OA ,∴GF ∥BD ,∴△AFG ∽△ADB , ∴AF AD =GF BD =AG AB =12,∴AF =12AD =2,GF =12BD =2,∴OF =4,∴OG同理可得:OB AB ,∴BG =12AB .设OR =x ,则RG x .∵BR ⊥OG ,∴∠BRO =∠BRG =90°,∴BR 2=OB 2﹣OR 2=BG 2﹣RG 2,∴(2﹣x 2=()2﹣(x )2.解得:x ,∴BR 2=OB 2﹣OR 2=(2)2=365,∴BR在Rt △ORB 中,sin ∠BOR =BR OB35. 故答案为35. (3)①当∠BDE =90°时,点D 在直线PE 上,如图2.此时DP =OC =4,BD +OP =BD +CD =BC =2,BD =t ,OP =t . 则有2t =2.解得:t =1.则OP =CD =DB =1.∵DE ∥OC ,∴△BDE ∽△BCO ,∴DE OC =BD BC =12,∴DE =2,∴EP =2, ∴点E 的坐标为(1,2).②当∠BED =90°时,如图3.∵∠DBE =OBC ,∠DEB =∠BCO =90°,∴△DBE ∽△OBC ,∴BEBC =2DB BE OB ∴,∴BE . ∵PE ∥OC ,∴∠OEP =∠BOC .∵∠OPE =∠BCO =90°,∴△OPE ∽△BCO , ∴OEOB =OP BC,2t ,∴OE .∵OE+BE=OB=255,∴t+55t=25.解得:t=53,∴OP=53,OE=55,∴PE=22OE OP-=103,∴点E的坐标为(51033,).③当∠DBE=90°时,如图4.此时PE=PA=6﹣t,OD=OC+BC﹣t=6﹣t.则有OD=PE,EA=22PE PA+=2(6﹣t)=62﹣2?t,∴BE=BA﹣EA=42﹣(62﹣2t)=2t﹣22.∵PE∥OD,OD=PE,∠DOP=90°,∴四边形ODEP是矩形,∴DE=OP=t,DE∥OP,∴∠BED=∠BAO=45°.在Rt△DBE中,cos∠BED=BEDE=22,∴DE=2BE,∴t=22(t﹣22)=2t﹣4.解得:t=4,∴OP=4,PE=6﹣4=2,∴点E的坐标为(4,2).综上所述:当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标为(1,2)、(51033,)、(4,2).点睛:本题考查了圆周角定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数的定义、平行线分线段成比例、矩形的判定与性质、勾股定理等知识,还考查了分类讨论的数学思想,有一定的综合性.3.在平面直角坐标系xOy中,点M的坐标为(x1,y1),点N的坐标为(x2,y2),且x1≠x2,y1≠y2,以MN为边构造菱形,若该菱形的两条对角线分别平行于x轴,y轴,则称该菱形为边的“坐标菱形”.(1)已知点A(2,0),B(0,23),则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为;(2)若点C(1,2),点D在直线y=5上,以CD为边的“坐标菱形”为正方形,求直线CD 表达式;(3)⊙O的半径为2,点P的坐标为(3,m).若在⊙O上存在一点Q,使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形,求m的取值范围.【答案】(1)60°;(2)y=x+1或y=﹣x+3;(3)1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1【解析】分析:(1)根据定义建立以AB为边的“坐标菱形”,由勾股定理求边长AB=4,可得30度角,从而得最小内角为60°;(2)先确定直线CD与直线y=5的夹角是45°,得D(4,5)或(﹣2,5),易得直线CD的表达式为:y=x+1或y=﹣x+3;(3)分两种情况:①先作直线y=x,再作圆的两条切线,且平行于直线y=x,如图3,根据等腰直角三角形的性质分别求P'B=BD=1,PB=5,写出对应P的坐标;②先作直线y=﹣x,再作圆的两条切线,且平行于直线y=﹣x,如图4,同理可得结论.详解:(1)∵点A(2,0),B(0,3∴OA=2,OB3.在Rt△AOB中,由勾股定理得:AB22(),∴∠ABO=30°.223∵四边形ABCD是菱形,∴∠ABC=2∠ABO=60°.∵AB∥CD,∴∠DCB=180°﹣60°=120°,∴以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为60°.故答案为:60°;(2)如图2.∵以CD为边的“坐标菱形”为正方形,∴直线CD与直线y=5的夹角是45°.过点C作CE⊥DE于E,∴D(4,5)或(﹣2,5),∴直线CD的表达式为:y=x+1或y=﹣x+3;(3)分两种情况:①先作直线y=x,再作圆的两条切线,且平行于直线y=x,如图3.∵⊙O的半径为2,且△OQ'D是等腰直角三角形,∴OD=2OQ'=2,∴P'D=3﹣2=1.∵△P'DB是等腰直角三角形,∴P'B=BD=1,∴P'(0,1),同理可得:OA=2,∴AB=3+2=5.∵△ABP是等腰直角三角形,∴PB=5,∴P(0,5),∴当1≤m≤5时,以QP为边的“坐标菱形”为正方形;②先作直线y=﹣x,再作圆的两条切线,且平行于直线y=﹣x,如图4.∵⊙O的半径为2,且△OQ'D是等腰直角三角形,∴OD=2OQ'=2,∴BD=3﹣2=1.∵△P'DB是等腰直角三角形,∴P'B=BD=1,∴P'(0,﹣1),同理可得:OA=2,∴AB=3+2=5.∵△ABP是等腰直角三角形,∴PB=5,∴P(0,﹣5),∴当﹣5≤m≤﹣1时,以QP为边的“坐标菱形”为正方形;综上所述:m的取值范围是1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1.点睛:本题是一次函数和圆的综合题,考查了菱形的性质、正方形的性质、点P,Q的“坐标菱形”的定义等知识,解题的关键是理解题意,学会利用图象解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,注意一题多解,属于中考创新题目.4.已知:如图,△ABC中,AC=3,∠ABC=30°.(1)尺规作图:求作△ABC的外接圆,保留作图痕迹,不写作法;(2)求(1)中所求作的圆的面积.【答案】(1)作图见解析;(2)圆的面积是9π.【解析】试题分析:(1)按如下步骤作图:①作线段AB的垂直平分线;②作线段BC的垂直平分线;③以两条垂直平分线的交点O为圆心,OA长为半圆画圆,则圆O即为所求作的圆.如图所示(2)要求外接圆的面积,需求出圆的半径,已知AC=3,如图弦AC所对的圆周角是∠ABC=30°,所以圆心角∠AOC=60°,所以∆AOC是等边三角形,所以外接圆的半径是3故可求得外接圆的面积.(2)连接OA,OB.∵AC=3,∠ABC=30°,∴∠AOC=60°,∴△AOC是等边三角形,∴圆的半径是3,∴圆的面积是S=πr2=9π.5.如图所示,以Rt△ABC的直角边AB为直径作圆O,与斜边交于点D,E为BC边上的中点,连接DE.(1)求证:DE是⊙O的切线;(2)连接OE,AE,当∠CAB为何值时,四边形AOED是平行四边形?并在此条件下求sin∠CAE的值.【答案】(1)见解析;(2)1010. 【解析】 分析:(1)要证DE 是⊙O 的切线,必须证ED ⊥OD ,即∠EDB+∠ODB=90°(2)要证AOED 是平行四边形,则DE ∥AB ,D 为AC 中点,又BD ⊥AC ,所以△ABC 为等腰直角三角形,所以∠CAB=45°,再由正弦的概念求解即可.详解:(1)证明:连接O 、D 与B 、D 两点,∵△BDC 是Rt △,且E 为BC 中点,∴∠EDB=∠EBD .(2分)又∵OD=OB 且∠EBD+∠DBO=90°,∴∠EDB+∠ODB=90°.∴DE 是⊙O 的切线.(2)解:∵∠EDO=∠B=90°,若要四边形AOED 是平行四边形,则DE ∥AB ,D 为AC 中点,又∵BD ⊥AC ,∴△ABC 为等腰直角三角形.∴∠C AB=45°.过E 作EH ⊥AC 于H ,设BC=2k ,则EH=22k ,AE=5k , ∴sin ∠CAE=1010EH AE .点睛:本题考查的是切线的判定,要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心和这点(即为半径),再证垂直即可.6.如图所示,AB 是半圆O 的直径,AC 是弦,点P 沿BA 方向,从点B 运动到点A ,速度为1cm/s ,若10AB cm ,点O 到AC 的距离为4cm .(1)求弦AC 的长;(2)问经过多长时间后,△APC 是等腰三角形.【答案】(1)AC=6;(2)t=4或5或145s 时,△APC 是等腰三角形; 【解析】 【分析】(1)过O 作OD ⊥AC 于D ,根据勾股定理求得AD 的长,再利用垂径定理即可求得AC 的长;(2)分AC=PC 、AP=AC 、AP=CP 三种情况求t 值即可.【详解】(1)如图1,过O 作OD ⊥AC 于D ,易知AO=5,OD=4,从而AD==3,∴AC=2AD=6;(2)设经过t 秒△APC 是等腰三角形,则AP=10﹣t①如图2,若AC=PC ,过点C 作CH ⊥AB 于H ,∵∠A=∠A ,∠AHC=∠ODA=90°,∴△AHC ∽△ADO ,∴AC :AH=OA :AD ,即AC :=5:3,解得t=s , ∴经过s 后△APC 是等腰三角形; ②如图3,若AP=AC ,由PB=x,AB=10,得到AP=10﹣x,又∵AC=6,则10﹣t=6,解得t=4s,∴经过4s后△APC是等腰三角形;③如图4,若AP=CP,P与O重合,则AP=BP=5,∴经过5s后△APC是等腰三角形.综上可知当t=4或5或s时,△APC是等腰三角形.【点睛】本题是圆的综合题,解决问题利用了垂径定理,勾股定理等知识点,解题时要注意当△BPC是等腰三角形时,点P的位置有三种情况.7.如图1,等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点A,C的圆交AB于点D,交BC 于点E,连结DE(1)若AD=7,BD=1,分别求DE,CE的长(2)如图2,连结CD,若CE=3,△ACD的面积为10,求tan∠BCD(3)如图3,在圆上取点P使得∠PCD=∠BCD(点P与点E不重合),连结PD,且点D 是△CPF的内心①请你画出△CPF,说明画图过程并求∠CDF的度数②设PC=a,PF=b,PD=c,若(a-2c)(b-2c)=8,求△CPF的内切圆半径长.【答案】(1)DE=1,CE=32;(2)tan ∠BCD=14;(3)①135°;②2. 【解析】【分析】 (1)由A 、C 、E 、D 四点共圆对角互补为突破口求解;(2)找∠BDF 与∠ODA 为对顶角,在⊙O 中,∠COD=2∠CAD ,证明△OCD 为等腰直角三角形,从而得到∠EDC+∠ODA=45°,即可证明∠CDF=135°;(3)过点D 做DH CB ⊥于点H ,以D 为圆心,DH 为半径画圆,过点P 做D 切线PF 交CB 的延长线于点F ,结合圆周角定理得出∠CPD=∠CAD=45°,再根据圆的内心是三角形三个内角角平分线的交点,得出∠CPF=90°,然后根据角平分线性质得出114522DCF CFD PCF PFC ∠+∠=∠+∠=︒,最后再根据三角形内角和定理即可求解;证明∠DCF+∠CFD=45°,从而证明∠CPF 是直角,再求证四边形PKDN 是正方形,最后以△PCF 面积不变性建立等量关系,结合已知(a-2c )(b-2c )=8,消去字母a ,b 求出c 值,即求出△CPF 的内切圆半径长为22c . 【详解】(1)由图可知:设BC=x .在Rt △ABC 中,AC=BC .由勾股定理得:AC 2+BC 2=AB 2,∵AB=AD+BD ,AD=7,BD=1,∴x 2+x 2=82,解得:x=2.∵⊙O 内接四边形,∠ACD=90°,∴∠ADE=90°,∴∠EDB=90°,∵∠B=45°,∴△BDE 是等腰直角三形.∴DE=DB ,又∵DB=1,∴DE=1,又∵CE=BC-BE ,∴CE=42232-=. (2)如图所示:在△DCB 中过点D 作DM ⊥BE ,设BE=y ,则DM=12y , 又∵CE=3,∴BC=3+y ,∵S △ACB =S ACD +S DCB , ∴()1114242103y y 222⨯⨯=+⨯+⨯, 解得:y=2或y=-11(舍去).∴EM=1,CM=CE+ME=1+3=4,又∵∠BCD=∠MCD ,∴tan ∠BCD=tan ∠MCD , 在Rt △DCM 中,tan ∠MCD=DM CM =14, ∴tan ∠BCD=14. (3)①如下图所示:过点D 做DH CB ⊥于点H ,以D 为圆心,DH 为半径画圆,过点P 做D 切线PF 交CB的延长线于点F .∵∠CAD=45°,∴∠CPD=∠CAD=45°,又∵点D 是CPF ∆的内心,∴PD 、CD 、DF 都是角平分线,∴∠FPD=∠CPD =45°,∠PCD=∠DCF ,∠PFD=∠CFD∴∠CPF=90°∴∠PCF+∠PFC=90° ∴114522DCF CFD PCF PFC ∠+∠=∠+∠=︒ ∴∠CDF=180°-∠DCF-∠CFD F=90°+45°=135°,即∠CDF 的度数为135°.②如下图所示过点D 分别作DK ⊥PC ,DM ⊥CF ,DN ⊥PF 于直线PC ,CF 和PF 于点K ,M ,N 三点, 设△PCF 内切圆的半径为m ,则DN=m ,∵点D 是△PCF 的内心,∴DM=DN=DK ,又∵∠DCF+∠CFD+∠FDC=180°,∠FDC=45°,∴∠DCF+∠CFD=45°,又∵DC ,DF 分别是∠PCF 和∠PFC 的角平分线,∴∠PCF=2∠DCF ,∠PFC=2∠DFC ,∴∠PCF+∠PFC=90°,∴∠CPF=90°.在四边形PKDN 中,∠PND=∠NPK=∠PKD=90°,∴四边形PKDN 是矩形,又∵KD=ND ,∴四边形PKDN 是正方形.又∵∠MBD=∠BDM=45°,∠BDM=∠KDP ,∴∠KDP=45°. ∵PC=a ,PF=b ,PD=c ,∴PN=PK=2C 2, ∴NF=2b -,CK=2a -,又∵CK=CM ,FM=FN ,CF=CM+FM ,∴CF=a b 2c +-, 又∵S △PCF =S △PDF +S △PDC +S △DCF , ∴112121ab a c b c (a b 2222222=⨯+⨯++-c )×2c 2, 化简得:ab=()22a b c c +-------(Ⅰ),又∵若(a-2c )(b-2c )=8化简得:()2ab 2c a b 2c 8-++=------(Ⅱ), 将(Ⅰ)代入(Ⅱ)得:c 2=8,解得:c 22=,或c 22=-(舍去),∴m=22c 222=⨯=, 即△CPF 的内切圆半径长为2.【点睛】本题考查圆的内接四边形性质,圆的内心,圆心角、圆周角,同弧(或等弧)之间的相互关系,同时也考查直角三角形,勾股定理,同角或等角的三角函数值相等和三角形的面积公式,正方形,对顶角和整式的运算等知识点;难点是作辅助线和利用等式求△CPF 的内切圆半径长.8.如图,在△ABC 中,AB =AC ,以AC 为直径作⊙O 交BC 于点D ,过点D 作FE ⊥AB 于点E ,交AC 的延长线于点F .(1)求证:EF 与⊙O 相切;(2)若AE =6,sin ∠CFD =35,求EB 的长.【答案】(1)见解析(2)32【解析】【分析】 ()1如图,欲证明EF 与O 相切,只需证得OD EF ⊥.()2通过解直角AEF 可以求得AF 10.=设O 的半径为r ,由已知可得△FOD ∽△FAE ,继而得到OF OD AF AE =,即10r r 106-=,则易求15AB AC 2r 2===,所以153EB AB AE 622=-=-=. 【详解】(1)如图,连接OD ,OC OD =,OCD ODC ∠∠∴=.AB AC =,ACB B ∠∠∴=,ODC B ∠∠∴=,OD //AB ∴,ODF AEF ∠∠∴=,EF AB ⊥, ODF AEF 90∠∠∴==,OD EF ∴⊥,OD 是O 的半径,EF ∴与O 相切;()2由()1知,OD//AB ,OD EF ⊥.在Rt AEF 中,AE 3sin CFD AF 5∠==,AE 6=, 则AF 10=, OD //AB ,∴△FOD ∽△FAE ,OF OD AF AE∴=, 设O 的半径为r ,10r r 106-∴=, 解得,15r 4=, 15AB AC 2r 2∴===,153EB AB AE622∴=-=-=.【点睛】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、解直角三角形的应用等,正确添加辅助线、灵活应用相关知识是解题的关键.9.如图,已知AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,∠D=60°且AB=6,过O点作OE⊥AC,垂足为E.(1)求OE的长;(2)若OE的延长线交⊙O于点F,求弦AF、AC和弧CF围成的图形(阴影部分)的面积.(结果保留π)【答案】(1)OE的长为32;(2)阴影部分的面积为3 2π【解析】(1)OE=32(2)S=32π10.如图,在⊙O中,直径AB垂直弦CD于E,过点A作∠DAF=∠DAB,过点D作AF的垂线,垂足为F,交AB的延长线于点P,连接CO并延长交⊙O于点G,连接EG.(1)求证:DF是⊙O的切线;(2)若AD=DP,OB=3,求BD的长度;(3)若DE=4,AE=8,求线段EG的长.【答案】(1)证明见解析(2)π(3)13【解析】试题分析:(1)连接OD,由等腰三角形的性质得出∠DAB=∠ADO,再由已知条件得出∠ADO=∠DAF,证出OD∥AF,由已知DF⊥AF,得出DF⊥OD,即可得出结论;(2)易得∠BOD=60°,再由弧长公式求解即可;(3)连接DG,由垂径定理得出DE=CE=4,得出CD=8,由勾股定理求出DG,再由勾股定理求出EG即可.试题解析:(1)证明:连接OD,如图1所示:∵OA=OD,∴∠DAB=∠ADO,∵∠DAF=∠DAB,∴∠ADO=∠DAF,∴OD∥AF,又∵DF⊥AF,∴DF⊥OD,∴DF是⊙O的切线;(2)∵AD=DP∴∠P=∠DAF=∠DAB =x0∴∠P+∠DAF+∠DAB =3x o=90O∴x0=300∴∠BOD=60°,∴BD的长度=(3)解:连接DG,如图2所示:∵AB⊥CD,∴DE=CE=4,∴CD=DE+CE=8,设OD=OA=x,则OE=8﹣x,在Rt△ODE中,由勾股定理得:OE2+DE2=OD2,即(8﹣x)2+42=x2,解得:x=5,∴CG=2OA=10,∵CG是⊙O的直径,∴∠CDG=90°,∴DG=2222-=-=6,108CG CD∴EG=2222+=+=213.DG DE64。

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