2021届高三摸底测试卷理科数学一、选择题：1. 已知i 为虚数单位，则31i +=（ ）A. 2B. 1C. 0D.D由复数的运算可得311i i +=-，再由复数模的概念即可得解.因为311i i +=-，所以311i i +=-==故选：D. 2. 命题：“0x ∀≥，都有sin x x ≤”的否定为（ ） A. 0x ∃<，使得sin x x > B. 0x ∃≥，使得sin x x > C. 0x ∀≥，都有sin x x > D. 0x ∀<，都有sin x x ≤B根据全称命题的否定形式判断即可.由全称命题的否定为特称命题可知：“0x ∀≥，都有sin x x ≤”的否定为：“0x ∃≥，使得sin x x >”.故选：B.3. 爱美之心，人皆有之.健身减肥已成为很多肥胖者业余选择的项目.为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了40名肥胖者，健身之前他们的体重(单位：kg )情况如柱状图1所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如柱状图2所示.对比健身前后，关于这40名肥胖者，下面结论不正确的是（ ）A. 他们健身后，体重在区间[)90,100内的人数增加了4个B. 他们健身后，体重在区间[)100,110内的人数没有改变C. 因为体重在[)100,110内所占比例没有发生变化，所以说明健身对体重没有任何影响D. 他们健身后，原来体重在区间[)110,120内的肥胖者体重都有减少 C根据给定的柱状图分别求得健身前后各个区间上的人数，进行比较，即可求解.根据给定的健身前后的体重柱状图，可得健身前体重在区间有4030%12⨯=人，健身后有4040%16⨯=，所以体重在区间[)90,100内的人数增加了4个，所以A 正确；由健身前体重在[)100,110的人数为4050%20⨯=人，健身后有4050%20⨯=，所以健身前后体重在[)100,110的人数不变，所以B 正确；由健身前后体重再[)90,100和[)110,120的人数有明显变化，所以健身对体重有明显效果，所以C 不正确；由健身前体重在[)110,120的人数为4020%8⨯=人，健身后为0人，所以原来体重在区间[)110,120内的肥胖者体重都有减少，所以D 正确.故选：C.4. n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，满足3235a a =，10100S =，则1a =（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4A设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的通项公式及前n 项和公式列方程即可得解. 设等差数列{}n a 的公差为d ，因为3235a a =，10100S =，所以()()111325109101002a d a d a d ⎧+=+⎪⎨⨯+⋅=⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩.故选：A. 5. 已知x ，y 满足约束条件2230x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，z y x =-，则max min z z -=（ ）A. 0B. 1C. 2D. 4C作出不等式组表示的平面区域如图，利用图形确定max min ,z z ，即可算出结果.作出不等式组表示的平面区域如图，由图知直线z y x =-经过点()1,2A 时，max 211z =-=，当直线z y x =-经过点()2,1B 时，min 121z =-=-，所以max min 2z z =-.故选：C6. 若双曲线221y x m-=的离心率()1,3e ∈，则m 的取值范围为（ ）A. ()0,4B. ()0,8C. ()1,9D. ()8,+∞B利用双曲线的离心率可以建立不等式113m <+<，然后直接求解即可由已知得，0m >，双曲线221y x m-=的离心率()1,3e ∈，又由1e m =+，则113m <+<，化简得08m <<，故m 的取值范围为()0,8故选：B 由三视图画出直观图，如图，该几何体是由半圆锥和三棱锥组合而成，结合三视图可得该几何体的体积2111123423242332V ππ=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+.故选：A.8. 设0.62a =，0.43b =，3log 10c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. c b a << B. c a b << C. b a c << D. a b c <<D根据指数函数和对数函数的性质比较大小，同时借助中间值2．310.655228==，210.455339==，显然115589<，即a b <，1445559(3)22=<<，33log 10log 92>=，∴c b >．∴a b c <<．故选：D ．9. 已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若223f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A. 2ω=，6π=ϕB. 53ω=，518πϕ=C. 2ω=，3πϕ=D. 53ω=，6π=ϕC由图象结合三角函数的性质可得T π=，即可得ω，再代入特殊点即可得ϕ.由图象可得函数的最小正周期T 满足766T πππ⎛⎫<--= ⎪⎝⎭，所以该函数图象在y 轴右侧的第一个对称轴648T x ππ=-+<， 又223f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以该函数图象在y 轴右侧的第二个对称轴12722312x πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，且7112f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以函数的最小正周期T 满足37341264T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭即T π=， 所以22Tπω==，()()sin 2f x x ϕ=+， 所以77sin 211212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以732,62k k Z ππϕπ+=+∈， 又2πϕ<，所以3πϕ=.故选：C.10. 若函数()22cos 38f x x a x a a =-++-有唯一零点，则a =（ ）A. 2-B. 2或4-C. 4-D. 2D由函数的奇偶性结合已知，可得(0)0f =，即2380a a a -++-=，从而可求出a 的值，然后代入函数中验证即可 解：()f x 的定义域为R ，()22()cos()38()f x x a x a a f x -=---++-=， 所以()f x 为偶函数，又()f x 有唯一零点，根据偶函数的对称性得(0)0f =，即2380a a a -++-=，2280a a +-=，解得2a =或4a =-，当4a =-时，()24cos 4f x x x =+-，因为22(0)0,()40,()8024f f f ππππ==-<=->，所以根据零点存在性定理可知()24cos 4f x x x =+-的零点不唯一，故4a =-不合题意，舍去，当2a =时，()22cos 22(1cos )20f x x x x x +=+--=≥，所以 2a =满足题意 所以2a =，故选：D.圆C ：22240x y x y +--=整理得()()22125x y -+-=， 可知圆心为()1,2O ，根据圆的性质可得，弦AB 所对的圆周角AOB ∠等于圆心角ACB ∠的一半， 锐角ABC 的面积为125，1112sin 225ABCSAC BC ACB ACB ∴=⋅∠=∠=， 24sin 25ACB ∴∠=，则24sin 225AOB ∠=，解得3sin 5AOB ∠=.故选：B.12. 已知曲线1C ：x m y e +=，2C ：2y x ，若恰好存在两条直线直线1l 、2l 与1C 、2C 都相切，则实数m 的取值范围是（ ） A. ()2ln22,-+∞ B. ()2ln 2,+∞C. (),2ln 22-∞-D. (),2ln 2-∞C设直线111:l y k x b =+，222:l y k x b =+，设1l 与1C 、2C 的切点坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，根据题目条件列出方程组()111211112121220x m x mk e x k k x b e k x b x ++⎧==>⎪+=⎨⎪+=⎩，解得11ln 14k m k =--，同理可得22ln 14k m k =--，然后将问题转化为()ln 104km k k =-->有两解. 然后构造函数()ln 14kf k k =--，利用导数讨论()f k 的单调性及最值，得出m 的范围.设直线111:l y k x b =+，222:l y k x b =+，设1l 与1C 、2C 的切点坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，则有()111211112121220x mx mk e x k k x b e k x b x ++⎧==>⎪+=⎨⎪+=⎩，可得()1111221212ln 2x m x k mk x k x x x e +⎧=-⎪⎪=⎨⎪⎪-=-⎩，故211111ln 24k k k k m k ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，整理得：11ln 14k m k =--， 同理可得，当直线222:l y k x b =+与1C 、2C 都相切时有：22ln 14k m k =--， 综上所述，只需()ln 104km k k =-->有两解，令()ln 14k f k k =--，则()11444kf k k k -'=-=，故当()0f k '>时，04k <<， 当()0f k '<时，4k >，所以()f k 在()0,4上递增，在()4,+∞递减，故()()max 44ln 412ln 224f k f ==--=-，所以只需满足2ln 22m <-即可.故选：C. 二．填空题：13. ()62x y -展开式中33x y 的系数为__________．160-利用二项展开式的通式求解.因为()62x y -的展开式的通式为：()6162rr rr T C x y -+=-， 当3r =时，()33333462160T C x y x y =-=-. 故展开式中33x y 的系数为160-. 故答案为：160-.14. 已知向量OA AB ⊥，2OA =，则OA OB ⋅=_________．4由OA AB ⊥得0OA AB ⋅=，然后将AB OB OA =-代入求解即可. 因为OA AB ⊥，则0OA AB ⋅=，即()0OB A O O A ⋅-=,所以20OA OB OA ⋅-=，将2OA =代入得4OA OB ⋅=.故答案为：4.15. 无穷数列{}n a 满足：只要()*,p q a a p q N =∈，必有11p q a a ++=，则称{}n a 为“和谐递进数列”．已知{}n a 为“和谐递进数列”，且前四项成等比数列，151a a ==，22a =，则2021S =_________． 7576根据新定义得数列是周期数列，从而易求得2021S ．∵1234,,,a a a a 成等比数列，121,2a a ==，∴344,8a a ==，又15a a =，{}n a 为“和谐递进数列”，∴26a a =，37a a =，48a a =，59a a =，…， ∴数列{}n a 是周期数列，周期为4． ∴2021505(1248)17576S =⨯++++=． 故答案为：7576．16. 集合{}26A x x m =≤≤-，{}121B x m x m =-≤≤+，若A B φ⋂≠，求实数m 的取值范围_________．17,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦由,A B 都不是空集，求得24m -≤≤，再根据A B φ⋂≠，得出16212m mm -≤-⎧⎨+≥⎩，即可求得实数m 的取值范围.由题意，集合{}26A x x m =≤≤-，{}121B x m x m =-≤≤+， 因为A B φ⋂≠，可得,A B 都不是空集，则62211m m m -≥⎧⎨+≥-⎩，解得24m -≤≤，要使得A B φ⋂≠，则只需满足16212m m m -≤-⎧⎨+≥⎩，解得1722m ≤≤，综上可得，实数m 的取值范围17,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案：17,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.三．解答题： （一）必考题：17. 已知ABC 中，3AB =，D 是边BC 上一点，2AD =，3ADC π∠=，512DAC π∠=.（1）求AC 的长； （2）求ABD △的面积. （13；（2）334-.（1）在ADC 中，由正弦定理求出AC 的长；（2）在ABD △中，求出ADB ∠，由余弦定理求出BD ，再由三角形面积公式求解即可. （1）由已知4ACD π∠=， 则ADC 中，23sin sin 322AC AD AC ADC ACD =⇒=⇒=∠∠； （2）ABD △中，3AB =2AD =23ADB ADC ππ∠=-∠=， 由余弦定理得：)22223222cos3BD BD π=+-，解得62BD -=， 所以ABD △的面积为12162333sin 2232BD AD π--⨯⨯⨯==. 18. 如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，对角面11AAC C 是矩形，且平面11AA C C ⊥平面ABCD ．（1）证明：四棱柱1111ABCD A B C D -是直四棱柱； （2）设ACBD O =，若1AB AA =，求二面角1D OB C --的余弦值．（1）证明见解析；（2257. （1）由面面垂直得1AA ⊥平面ABCD ，得直棱柱；（2）以O 为坐标原点，OB ，OC ，1OO 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．设2AB t =，写出各点坐标然后求出两个平面1DOB 和1COB 的法向量，由法向量夹角的余弦可得二面角的余弦．（1）如图，平面11AA C C ⊥平面ABCD ，且平面11AAC C 平面ABCD AC =．因对角面11AAC C 是矩形，所以1AA AC ⊥， 由面面垂直的性质定理得1AA ⊥平面ABCD ， 故四棱柱1111ABCD A B C D -是直四棱柱．（2）由四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥．设11111A C B D O ⋂=，1O O ⊥底面ABCD ，从而OB ，OC ，1OO 两两垂直．如图，以O 为坐标原点，OB ，OC ，1OO 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．不妨设2AB t =，因为60CBA ∠=︒，所以3OB t =，OC t =，又1AB AA =， 于是)13,0,2B t t ，()10,,2C t t ．易知，()10,1,0n =是平面11BDD B 的一个法向量． 设()2,,n x y z =是平面11OB C 的一个法向量，则21210,0,n OB n OC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即32020x z y z +=+=⎪⎩取3z =2x =，23y =()22,23,3n =-．设二面角11D OB C --的平面角为θ，易知θ是锐角， 于是12121223257cos cos ,1919n n n n n n θ⋅=〈〉===⋅． 故二面角11C OB D --257． 19. 某机构要对某职业的月收入水平做一个调研，选择了A ，B ，C 三个城市，三个城市从业人数分别为10万，20万，20万，该机构决定用分层抽样的方法从三个城市中抽取1000个样本进行调查，并分析A 、B 城市的样本数据后得到以下频率分布直方图：（1）A ，B ，C 三个城市应各抽取多少个样本？并估计A 城市从业人员月收入的平均值； （2）用频率估计概率，A ，B 城市从业人数视为无限大，若从A ，B 两城市从业人员中各随机抽取2人，X 表示这抽取的4人中月收入在3000元以上的人数，求X 的分布列和期望．（用分数作答）（1）A 城市应抽取200人，B 城市应抽取400人，C 城市应抽取400人，A 城市月收入平均值约为2900元；（2）分布列见解析，2EX =.（1）根据A ，B ，C 三个城市人数比,用分成抽样得出各城市因抽取的人数.再根据频率分布直方图求出A 城市月收入平均值；（2）设X 可能取值有0，1，2，3，4，求出概率 ()0P X =，()1P X =，()2P X =，()3P X =，4P X ，列出随机变量X 的分布列再求数学期望即可.解:（1）由题，A ，B ，C 三个城市人数比为10:20:201:2:2=，所以A 城市应抽取200人，B 城市应抽取400人，C 城市应抽取400人，因为150.25250.35350.2450.15550.0529⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=百元，所以A 城市月收入平均值约为2900元；（2）X 可能取值有0，1，2，3，4，从A 城从业人员中随机抽取一人，月收入在3000元以上的概率为25，从B 城从业人员中随机抽取一人， 月收入在3000元以上的概率为35，所以： ()223236055625P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2211222323231561555555625P X C C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2222112222332323241255555555625P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯+⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()2211222332231563555555625P X C C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()222336455625P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以随机变量X 的分布列为：所以随机变量X 的数学期望15624115636012342625625625625625EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． （或者2322255EX =⨯+⨯=）20. 已知椭圆E ：22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点分别是1F 、2F ，其离心率为2，以1F 为圆心以1为半径的圆与以2F 为圆心以3为半径的圆相交，两圆交点在椭圆E 上．（1）求椭圆E 的方程；（2）过椭圆上顶点A 斜率为k 的直线l 与椭圆的另外一个交点为B ，若2ABF 求直线l 的方程．（1）2214x y +=；（2）1y x =+或1y x =+．（1）由两圆交点在椭圆上，2134a =+=，得2a =22234a b a -=，得1b =，即可写出标准方程；（2）设直线l 的方程为1y kx =+，联立椭圆方程得()24180k x kx ++=，用k 表示出2ABF 的面积，即可求出k ，得到直线l 的方程.（1）设椭圆方程为22221x y a b+=（0a b >>）， 由两圆交点在椭圆上，2134a =+=，得2a =，由离心率为2，22234a b a -=，得1b =， 所以椭圆C 的方程为2214x y +=． （2）因为点A 的坐标为()0,1，所以直线l 的方程为1y kx =+， 代入椭圆方程得到：()()2221141804x kx k x kx ++=⇒++=，因为0A x =， 所以2841B k x k =-+，221441B k y k -=+，又因为直线l 与x 轴的交点坐标为1,0k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点2F 的坐标为)，所以22111412414k k k ⎛⎫-+⨯-= ⎪+⎝⎭，解得k =或k =所以，直线l 的方程为12y x =+或16y x =+． 21. 已知函数()2132ln 2f x x x x =-+． （1）判断()f x 零点个数，说明理由；（2）是否存在整数k ，使得直线52y kx =-与函数()f x 的图像有三个交点？若存在，求出k 的所有可能取值；若不存在，说明理由．（参考数据ln 20.69≈）（1）()f x 在定义域()0,∞+上有且仅有一个零点；（2）不存在整数k 满足条件，理由见解析. （1）求导，讨论原函数的单调性及极值，再结合零点的存在性定理判断零点的个数；（2）假设()52f x kx =-有三解，则可以得到：()2152ln 322x x k x ++=+， 即12ln 5322x x k x x ++=+，构造函数()12ln 522x g x x x x=++，然后求导讨论函数()g x 的单调区间及极值，结合单调性及极值判断当()12ln 522x g x x x x =++图象与3y k =+图象有三个交点时k 的取值范围，判断是否存在整数k 满足条件.（1）()()()1223x x f x x x x--'=-+=，所以因为()62ln60f =>，所以()f x 在定义域()0,∞+上有且仅有一个零点；（2）由方程()52f x kx =-，可以得到：()2152ln 322x x k x++=+， 即12ln 5322x x k x x ++=+，记()12ln 522x g x x x x =++， ()2222122ln54ln 1222x x x g x x x x ---'=+-=， 记()24ln 1h x x x =--，()()22242x h x x x x -'=-=， 所以()h x 在(单调递减，在)+∞上单调递增， 又()10h =，()10h h <<，()234ln20h =->，所以存在)0x ∈使得()00h x =， 且()0,1x ∈时()0h x >，()0gx '>，()01,x x∈时，()0h x <，()0g x '<，()0,x x ∈+∞时，()0h x >，()0g x '>，所以()g x 的极大值()13g =，()g x 的极小值()20000000000012ln 5115222222x x g x x x x x x x x x -=++=++=+， 因02x <<，所以()03g x <<，所以()01330g x -<-<-<，由题意两图象三个交点，所以()()003330g x k g x k <+<⇒-<<，因此10k -<<，所以不存在整数k 满足条件．（二）选考题：选修4-4：坐标系与参数方程22. 直角坐标系中，曲线C 的参数方程为cos cos 2x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，直线l 的参数方程为5x t y =⎧⎪⎨=-+⎪⎩(t 为参数). （1）求曲线C 和直线l 的普通方程；（2）设P ，Q 分别是直线l 和曲线C 上的动点，求PQ 的最小值.（1）C ：()22111y x x =--≤≤，l：5y =-；（2）1.（1）直接消参将参数方程化为普通方程.（2）设y b =+与曲线C 相切，则PQ 最小值为l 与l '的距离，先方程联立由判别式为0，先求出b 的值，然后可求出答案.（1）因为2cos22cos 1y θθ==-，所以C ：()22111y x x =--≤≤，直线l：55x t y y =⎧⎪⇒=-⎨+=⎪⎩； （2）作直线l '：y b =+与曲线C 相切，则PQ 最小值为l 与l '的距离.将l '与C 的方程联立，消去y可得：()2210x b --+=，则()88102b b ∆=++=⇒=-，故l '：2y =-，从而l 与l '1=，即PQ 的最小值为1(当且仅当切点Q 时取到最小值). 选修4-5：不等式选讲23. 已知()211f x x x =++-. （1）求不等式()2f x ≥的解集；（2）若()f x a x ≥恒成立，求a 的取值范围.（1）[)2,0,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦；（2）(],3-∞. （1）分12x ≤-、112x -<<、1≥x 三种情况解不等式()2f x ≥，综合可得出原不等式的解集； （2）分0x =和0x ≠两种情况讨论，在0x =时验证即可；在0x ≠时，由参变量分离法可得出1121a x x ≤++-，利用绝对值三角不等式求得1121x x++-的最小值，进而可求得实数a 的取值范围.综合可得结果.（1）由已()2112f x x x =++-≥. ①当12x ≤-时，由()21132f x x x x =---+=-≥，解得23x ≤-，此时23x ≤-； ②当112x -<<时，由()21122f x x x x =+-+=+≥，解得0x ≥，此时01x ≤<； ③当1≥x 时，由()21132f x x x x =++-=≥，解得23x ≥，此时1≥x . 综上所述，不等式()2f x ≥的解集为[)2,0,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦； （2）由题意知211x x a x ++-≥恒成立，①当0x =时，20a ≥⋅恒成立，得a R ∈； ②当0x ≠时，2111121x x a x x x++-=++-≥恒成立， 由绝对值三角不等式可得111121213x x x x++-≥++-=， 当且仅当11210x x ⎛⎫⎛⎫+-≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭时等号成立，故3a ≤. 综上所述，符合条件的实数a 的范围是(],3-∞.。