南城一中 高三数学（理）模拟试题一一．选择题（每题5分，总共50分） 1．复数=+2)2(ii （ ）A ．-3-4iB ．-3+4iC ．3-4iD ．3+4i2. 一空间几何体的三视图如图2所示, 该几何体的体积为85123π+，则正视图中x 的值为( )A. 5B. 4C. 3D. 2 3．如图：在山脚下A 测得山顶P 的仰角为α， 沿倾斜角为β的斜坡向上走a 米到达B ，在B 处 测得山顶P 的仰角为γ，则山高PQ 为 （ ） A ．sin sin()sin()a a βγγβ--B ．sin sin()sin()a αγβγα--C ．sin()sin()sin a γαγβα--D ．sin()sin()sin a γαγββ--4．偶函数f(x)满足f(x-1) =f(x+1)，且在[]0,1x ∈时，f(x)=-x+1，则关于x 的方程1()()10x f x =，在[]0,3x ∈上解的个数是 （ ）.2 C5.定义某种运算S a b =⊗，运算原理如右图所示，则式子131100lg ln )45tan 2(-⎪⎭⎫⎝⎛⊗+⊗e π的值为（ ）A ．13B ．11C ．8D ．46、已知:p 存在x R ∈，使210mx +≤；:q 对任意x R ∈，恒有210x mx ++>。

若p q 或为假命题，则实数m 的取值范围为( )A.2≥mB.2m ≤-C.2,m 2m ≤-≥或D.22≤≤-m7.设m ∈N *，F (m )表示log 2m 的整数部分，则F (210＋1)＋F (210＋2)＋F (210＋3)＋…＋F (211)的值为( )×210 ×210＋1 ×210＋2 ×210－18．设函数2()(21)f x g x x =-+，曲线()(1,(1))y g x g =在点处的切线方程为21y x =+，则曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线方程为图2侧视图俯视图正视图4x33x 4（ ）A ．620x y --=B ．620x y --=C ．6310x y --=D ．20y -=9．点(,)M a b 在函数1y x =的图象上，点N 与点M 关于y 轴对称且在直线30x y -+=上，则函数2()()1f x abx a b x =++-在区间[)2,2-上 （ ）A ．既没有最大值也没有最小值B ．最小值为-3，无最大值C ．最小值为-3，最大值为9D ．最小值为134-，无最大值 10．已知直线)3(-=x k y 与双曲线12722=-y m x ，有如下信息：联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=127)3(22y m x x k y 消去y 后得到方程02=++C Bx Ax ，分类讨论：（1）当0=A 时，该方程恒有一解；（2）当0≠A 时，042≥-=∆AC B 恒成立。

在满足所提供信息的前提下，双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．[9,)+∞ B ．(1,9] C ．(1,2] D ．[2,)+∞二．填空题（每题5分，总共20分）11．已知00,(cos sin )aa x x dx >-⎰当取最大值21-时，a 的最小值为 。

12、给出下列五个命题：①不等式22430x ax a -+<的解集为{|3}x a x a <<；②若函数(1)y f x =+为偶函数，则()y f x =的图象关于1x =对称；③若不等式|4||3|x x a -+-<的解集为空集，必有1a ≥；④函数()y f x =的图像与直线x a =至多有一个交点。

其中所有正确命题的序号是____________13.如图，将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标数字0，点(1,0)处标数字1，点(1，－1)处标数字2，点(0，－1)处标数字3，点(－1，－1)处标数字4，点(－1,0)处标数字5，点(－1,1)处标数字6，点(0，1)处标数字7，…以此类推，①标数字50的格点的坐标为 .②记格点坐标为(m ，n)的点(m 、n均为正整数)处所标的数字为f(m ，n)，若n>m ，则f(m ，n)＝ .14．给出定义：若2121+≤<-m x m (其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作}{x ，即m x =}{. 在此基础上给出下列关于函数|}{|)(x x x f -=的四个命题：①)(x f y =的定义域是R ，值域是[0，21]；②)(x f y =的图像关于直线)(2Z k kx ∈=对称；③函数)(x f y =是周期函数，最小正周期是1；④ 函数)(x f y =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数；则其中真命题是 。

三．选做题（从下列两题中选做一题，多做则按第一题给分，总共5分） 15．（A ） 4—4(坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()42πρθ+=．圆O的参数方程为cos 2sin x r y r θθ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，（θ为参数，0r >） 则圆心的极坐标是 ； 15.（B ） 4—5(不等式证明)设对于任意实数x ，不等式|7||1|x x ++-≥m 恒成立． 则m 的取值范围是 。

四．解答题（总共75分）16、（12分）某超市元旦期间将举办“购物摇奖100％中奖”活动，凡消费者在该超市购物满20元，可享受一次摇奖机会；购物满40元，可享受两次摇奖机会，依此类推。

下图是摇奖机的结构示意图，摇奖机的旋转圆盘是均匀的，扇形A 、B 、C 、D 所对应的圆心角的比值是1﹕2﹕3﹕4，相应区域的奖金分别为4元、3元、2元、1元，摇奖时，转动圆盘，待停止后，固定指针指向哪个区域（指针落在边界线上时重摇）即可获得相应的奖金。

（Ⅰ）求摇奖两次，均获胜4元奖金的概率； （Ⅱ）某消费者购物刚好满40元，求摇奖后所获奖金超过4元的概率.17、（本小题满分12分） 在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且3C π=，a b c λ+=，(其中(Ⅰ)若2c λ==时，求AC BC ⋅的值； (Ⅱ)若41(3)6AC BC λ⋅=+时，求边长c 的最小值及判定此时ABC ∆的形状。

18、（12分）已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ， 底面ABCD 是直角梯形，90,//,ADC AD BC ∠=,2,AB AC AB AC G ⊥==为PAC ∆的重心， E 为PB 的中点，F 在BC 上，且2CF FB =； （1）求证：FG AC ⊥；（2）当二面角P CD A --的正切值为多少时， FG ⊥平面AEC ；（3）在（2）的条件下，求直线FG 与平面PBC 所成角的正弦值； 19.（12分）．已知数列}{n a 满足nn a n a a n n 64)33(,111+++=-=+。

（1）求数列}{n a 的通项公式； F（2）令231+=-n n n a b ，数列}{n b 的前n 项和为n S ，求证：当2≥n 时)32(2322n S S S S n n +++> ； （3）证明：54221<+++++n n n b b b 。

20、（本小题满分13分）设椭圆C 1：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是F 1、F 2，下顶点为A ，线段OA 的中点为B （O 为坐标原点），如图．若抛物线C 2：21y x =-与y 轴的交点为B ，且经过F 1，F 2点。

（Ⅰ）求椭圆C 1的方程；（Ⅱ）设M （0，45-），N 为抛物线C 2上的一动点，过点N 作抛物线C 2的切线交椭圆C 1于P 、Q 两点，求MPQ ∆面积的最大值。

21. （14分）已知函数1()(2)(1)2ln ,().()xf x a x xg x xe a -=---=∈R（1）当1,()a f x =时求的单调区间；（2）若函数1()(0,),2f x a 在上无零点求的最小值；（3）若对任意给定的(](]00,,0,(1,2)i x e e x i ∈=在上总存在两个不同的，使得 0()(),i f x g x a =成立求的取值范围。

数学答案 题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B D A A B B D D11.4π 12. ②④ 13. (4,2) (2n ＋1)2＋m －n －1，(n>m) 14. ①②③15. （A ） ,(B)8≤m16、解：设摇奖一次，获得4元、3元、2元、1元奖金的事件分别记为A 、B 、C 、D ，又因为摇奖的概率大小与扇形区域A 、B 、C 、D 所对应的圆心角的大小成正比， ∵P （A ）=110，P （B ）=210，P （C ）=310，P （D ）=410。

5(1,)4π422r -=（1）摇奖两次，均获得4元奖金的概率为1111.1010100P =⨯= （2）购物刚好满40元，可获两次摇奖机会，奖金不超过4元，设奖金为2元、3元、4元的事件分别为1H ，2H 、3H ，则14416()1010100P H =⨯=，1224324()1010100P H C =⨯=， 132423325()10101010100P H C =⨯+⨯=。

且1H ，2H 、3H 为互斥事件， ∴摇奖两次，奖金不超过4元的概率为12316242565()()().100100100100P P H P H P H =++=++=∴摇奖两次，奖金超过4元的概率为2351.100P P =-=17、解：（Ⅰ）∵a b c λ+= 由正弦定理得：sin sin sin A B C λ+=又∵22,sin sin()sin()1336C B B B πππλ==⇒+-=⇒+= ∴3B π=∴cos 2AC BC ab C ==（Ⅱ）由正弦定理得：2222222cos ()3c a b ab C a b ab a b ab =+-=+-=+-由4411(3)(3)63AC BC ab λλ=+⇒=+ 又a b c λ+= ∴42224222234(3)(1)2611c c c λλλλλλ+=-+⇒==-++≥--∴min c =当且仅当λ=时取等号。

此时4,c ab a b==+=∴a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩或a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ ∴ABC ∆为直角三角形 18、（1）连结CG 并延长交PA 于H ，连结BH ∵G 是△PAC 的重心 ∴CG:GH=2:1∵CF:FB=2:1 ∴CG:GH=CF:FB ∴FG ∥BH ∵PA ⊥平面ABCD ∴PA ⊥AC ∴AC ⊥平面PAB∴ AC ⊥BH ∵FG ∥BH ∴FG ⊥AC ------------4分 （2）如图所示，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系∵AB=AC=2且AB ⊥AC ∴∠ACB=45°在直角梯形ABCD 中 ∵∠BCD=90°∴∠ACD=45°∵AC=2 ∴ ∵PA ⊥平面ABCD ∴PA ⊥CD ∵CD ⊥AD∴CD ⊥平面PAD ∴CD ⊥PD∴∠PDA 为二面角P-CD-A 的平面角∴,,0)设P(0,0,a) ∴H(0,0,2a) E(2,2-,2a )∵FG ⊥平面AEC ∴FG⊥AE ∵FG ∥BH ∴BH⊥AE∴BH =(2a ) AE2a) ∴0BH AE ⋅= ∴a =∴PA=∴tan ∠PDA=2 ∴当二面角P-CD-A 的正切值为2时，FG ⊥平面AEC （3）∵BH ∥FG ∴FG 与平面PBC 所成的角等于BH 与平面PBC 所成的角∵BH =（2，2） BC =（0，22，0） PC =，22-）设平面PBC 的法向量n =(x,y,z) ∴00n BC n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴02y x z =⎧⎨=⎩ 令z=1 ∴n =(2,0,1)∴15cos ,BH n BHn BH n⋅<>==-⋅设直线FG 与平面PBC 所成的角为θ∴15sin cos ,BH n θ=<>= ∴直线FG 与平面PBC19. 解：（1）由已知得64)1(31+++=+n a n na n n ，两边同除以)1(+n n 得：126311+-+=++n n n a n a n n ，所以na n a n n 23121+=+++， 所以}2{n a n +是首项为1，公比为3=q 的等比数列。