黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科(四)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.1.已知集合{}2,101,,-=A ,{}2≥=x x B ,则A B =IA .{}2,1,1- B.{}2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为A .第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是A .2xy =B .y x =C .y x =D .21y x =-+4.函数y=cos 2(x + π4)-sin 2(x + π4)的最小正周期为A. 2πB. πC. π2D. π45. 以下说法错误的是( )A .命题“若x 2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2-3x+2≠0” B .“x=2”是“x 2-3x+2=0”的充分不必要条件C .若命题p:存在x 0∈R,使得20x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2-x+1≥0D .若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S =A .80B .40C .31D .-317.如图为某几何体的三视图,则该几何体的体积为 A .π16+ B .π416+C .π8+D .π48+8.二项式621()x x+的展开式中,常数项为 A .64 B .30 C . 15 D .19.函数3()ln f x x x=-的零点所在的区间是 A .(1,2)B .(2,)e开始 10n S ==,S p <是输入p结束输出n 12n S S =+否1n n =+121221主视图左视图俯视图C . (,3)eD .(3,)+∞10.执行右边的程序框图,若0.9p =,则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 311.若抛物线y 2= 2px (p >0)上一点到焦点和抛物线的对称轴的距离分别是10和6, 则p 的值为A .2B .18C .2或18D .4或16 12.已知函数()()R f x x ∈满足()()2f x f x -=-,若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点 为()11x y ,,()22x y ,,⋯,()m m x y ,,则()1mi i i x y =+=∑( )A. 0 B . m C. 2m D. 4m第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品,产品数量之比为3∶5∶7,现用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本,其中甲种产品有18件,则样本容量n =________.14. 已知向量21a =r (,),(,1)b x =-r ,且a b -r r 与b r 共线,则x 的值为 . 15.已知随机变量X 服从正态分布2(4,)N σ,且(26)0.98P X <≤=, 则(2)P X <= .16. 设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤≥+-2,4,022y x y x 表示的平面区域为错误!未指定书签。
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D ,在区域D 内随机取一个点,则此点到直线x -5=0的距离大于7的概率是 .三、解答题:本大题共6小题,满分70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本题满分12分)在△ABC 中,已知A=π4 ,cosB=235.(I )求sinC 的值;(II )若BC=2 5 ,D 为AB 的中点,求CD 的长.18.(本题满分12分)在如图所示的几何体中,四边形ABCD 为正方形,PA ⊥平面ABCD ,PA BE 6, 3.AB PA BE ===CE PAD19.(本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为22,其中左焦点F (-2,0).(1)求椭圆C 的方程;(2)若直线y x m =+与椭圆C 交于不同的两点,A B ,且线段AB 的中点M 在 曲线222x y +=上,求m 的值.20. (本小题满分12分)如图所示的茎叶图记录了华润万家在渭南城区甲、乙连锁店四天内销售情况的某项指标统计:(I )求甲、乙连锁店这项指标的方差,并比较甲、乙该项指标的稳定性;(Ⅱ)每次都从甲、乙两店统计数据中随机各选一个进行比对分析,共选了3次(有放回选取).设选取的两个数据中甲的数据大于乙的数据的次数为X ,求X 的分布列及数学期望.21.(本题满分12分) 已知函数e =1axf x x -()(I ) 当1a =时,求曲线()f x 在(0,(0))f 处的切线方程; (Ⅱ)求函数()f x 的单调区间.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题目计分,作答时请写清题号.22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =3-22t ,y =5+22t (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为.ρθ= (1)求圆C 的直角坐标方程;(2)设圆C 与直线l 交于点A ,B .若点P 的坐标为(3,5),求|PA |+|PB |.23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f (x )=m -|x -2|,m ∈R ,且f (x +2)≥0的解集为[-1,1].(1)求m 的值;GPEDCBA(2)若a ,b ,c ∈R +,且1a +12b +13c=m ,求a +2b +3c 的最小值.数学试题(理四)参考答案一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13. 90 14. 2 15. 16. 254 三.解答题:本大题共6小题,共70分. 17.18、(本题满分12分)解:(Ⅰ)设PA 中点为G ,连结EG ,DG .因为PA BE 6PA =3BE =BE AG BE AG =BEGA EG AB EG AB =ABCD CD ABCD AB =EG CD EG CD =CDGE CE DG DG ⊂PAD CE ⊄PAD CE PAD(6,6,0)C (6,0,3)E (0,0,6)P (0,6,0)D (6,6,6)PC =-u u u r (6,0,3)PE =-u u u r (0,6,6)PD =-u u u rPCE (,,)m x y z =u r00200m PC x y z x z m PE ⎧⋅=+-=⎧⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩u r u u u r ur u u u r 1x =112x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩(1,1,2)m =u r PD PCEαsin cos ,m PD α=<u r u u u r PDPCE (本小题满分12分)解:(Ⅰ)由题意得,c a =22,c =2,解得:2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩.......................3分所以椭圆C 的方程为:x 28+y 24=1. .....................5分(Ⅱ)设点A ,B 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),线段AB 的中点为M (x 0,y 0),由22184x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得3x 2+4mx +2m 2-8=0, 由Δ=96-8m 2>0,解得-23<m <23,..............................9分 所以x 0=x 1+x 22=-2m 3,y 0=x 0+m =m 3因为点M (x 0,y 0)在曲线x 2+2y =2上,所以222233m m ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得332m m ==-或..............................................11分经检验,332m m ==-或 .....................................................12分20. (本小题满分12分)解:(Ⅰ)由茎叶图可知,甲连锁店的数据是6,7,9,10,乙连锁店的数据是5,7,10,10………2分甲、乙数据的平均值为8.设甲的方差为21S ,乙的方差为22S 则 215,2S = 229,2S = ………4分 因为2212,S S <所以甲连锁店该项指标稳定 . ............................6分 (Ⅱ)从甲、乙两组数据中各随机选一个, 甲的数据大于乙的数据概率为63=,168....................................7分由已知,3(3,),8X B X 服从的分布列.........8分X 的分布列为:........................................................10分数学期望393.88EX =⨯= ………12分21.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)'2e (-2)e 1,=,=1(1)x x x a f x f x x x =--当时()() 又(0)1f =-,'(0)2f =-,所以()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为21y x =-- ………4分(II )2e [(1)]'()(1)ax ax a f x x -+=-当0a =时,21'()0(1)f x x -=<- 又函数的定义域为{|1}x x ≠所以 ()f x 的单调递减区间为(,1),(1,)-∞+∞ ………6分 当 0a ≠时,令'()0f x =,即(1)0ax a -+=,解得1a x a+=………7分 当0a >时,11a x a+=>, 所以()f x ',()f x 随x 的变化情况如下表所以()f x 的单调递减区间为(,1)-∞,1(1,)a a+ , 单调递增区间为1(,)a a++∞ ........................................................10分 当0a <时,11a x a+=< 所以()f x ',()f x 随x 的变化情况如下表:所以()f x 的单调递增区间为1(,)a a+-∞ 单调递减区间为1(,1)a a+,(1,)+∞ ..................................12分22.本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程解 (Ⅰ)由ρ=25sin θ,得x 2+y 2-25y =0,即x 2+(y -5)2=5. .......................................4分 法一(Ⅱ)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程, 得⎝ ⎛⎭⎪⎫3-22t 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2=5,即t 2-32t +4=0. 由于Δ=(32)2-4×4=2>0,故可设t 1,t 2是上述方程的两实根,所以⎩⎨⎧t 1+t2=32,t 1·t 2=4.又直线l 过点P (3,5), 故由上式及t 的几何意义得|PA |+|PB |=|t 1|+|t 2|=t 1+t 2=3 2..................10分 法二 (Ⅱ)因为圆C 的圆心为(0,5),半径r =5, 直线l 的普通方程为:y =-x +3+ 5.222(2)5,3+2=0.3x y x x y x ⎧+-=⎪-⎨=-++⎪⎩由得得x 2-3x +2=0. 1221x x y y ==⎧⎧⎪⎪⎨⎨==+⎪⎪⎩⎩解得不妨设A (1,2+5),B (2,1+5),又点P 的坐标为(3, 5)故|PA |+|PB |=8+2=3 2..............................10分23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 解 (Ⅰ)因为f (x +2)=m -|x |, 所以f (x +2)≥0等价于|x |≤m ,由|x |≤m 有解,得m ≥0,且其解集为{x |-m ≤x ≤m }. 又f (x +2)≥0的解集为[-1,1],故m =1. .......................................5分(Ⅱ)由(1)知1a+12b +13c=1,又a ,b ,c ∈R +,由柯西不等式得 a +2b +3c =(a +2b +3c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +12b +13c≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·1a +2b ·12b +3c ·13c 2=9. 所以a +2b +3c 的最小值为9. ............................................10分。