第五章 矩阵的特征值与特征向量 习题
1
试用施密特法把下列向量组正交化
(1)⎪⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=931421111) , ,(321a a a
(2)⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛---=011101110111) , ,(321a a a
2 设x 为n 维列向量 x T x
1 令H E 2xx T 证明H 是对称的正交
阵
3
求下列矩阵的特征值和特征向量:
(1)⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛----20133
521
2; (2)⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛633312321.
4 设A 为n 阶矩阵 证明A T 与A 的特征值相同
5 设
0是m 阶矩阵A m n B n m 的特征值
证明
也是n 阶矩阵BA 的特
征值. 6 已知3阶矩阵A 的特征值为1 2 3 求|A 35A 2
7A | 7
已知3阶矩阵A 的特征值为1
2
3
求|A *
3A
2E |
8
设矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=50413102x A 可相似对角化
求x
9 已知p (1 1
1)T
是矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=2135212b a A 的一个特征向量
(1)求参数a b 及特征向量p 所对应的特征值
(2)问A 能不能相似对角化？并说明理由
10
试求一个正交的相似变换矩阵, 将对称阵⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛----020212022化为对角
阵.
11 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=12422421x A 与⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛-=Λy 45
相似 求x y 并
求一个正交阵P 使P 1AP
12 设3阶方阵A 的特征值为1
2
2
2
3
1 对应的特征
向量依次为p 1
(0
1 1)T
p 2(1 1 1)T p 3(1 1 0)T 求A .
13 设3阶对称矩阵A 的特征值
1
6
2
3
3
3 与特征值
1
6对应的特征向量为p 1
(1 1
1)T 求A .
14
设⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=340430241A 求A 100。