0 0
，即
1 1
1 1
x1 x2
0 0
1
解得基础解系 p2
1
．k
p2（k
≠
0）就是对应的特征向量．
2 1 1
例：求矩阵
A
0
2
0
的特征值和特征向量．
4 1 3
2 l 1 1
解： A l E 0
2l
2 l 1 0 (2 l)
4 3 l
4 1 3 l
3
的特征值和特征向量．
解：A 的特征多项式为
3l | A l E |
1 (3 l )2 1 8 6l l 2 (4 l )(2 l)
1 3 l
所以 A 的特征值为 l1 = 2，l2 = 4 ． 当 l2 = 4 时， 对应的特征向量应满足
34
1
1 34
x1 x2
(2 l )(l 2 l 2) (l 1)(l 2)2
所以 A 的特征值为 l1 = −1，l2 = l3 = 2 ．
2 1 1
例：求矩阵
A
0
2
0
的特征值和特征向量．
4 1 3
解（续）：当 l1 = −1 时，因为
1 1 1 1 0 1
A l1E
A
E
0
3
0
r
~
就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大无关组． 若 l 是 A 的一个特征值，则 j (l) = a0 + a1 l + … + am l m
是矩阵多项式 j (A) = a0 + a1 A + … + am A m 的特征值．
例：设3 阶方阵 A 的特征值为1, −1, 2，求 A* +3A−2E
3 2
4 3
0 0
l
0 0
,
3
2
4 2 2
3
1
1
1
一、基本概念
定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足 Ax = l x，
那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量．
例：
3
2
4 2 2
3
1
1
1
则
l
=
1
为
3 2
4 3
的特征值，
2 1
为对应于l
=
1
的特征向量.
一、基本概念
定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足 Ax = l x，
那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量．
Ax = l x = lE x 非零向量 x 满足 (A−lE) x = 0（零向量）
齐次线性方程组有非零解
系数行列式 | A−lE | = 0
特 征 方 程
特
a11 l
征 多
|
A
l
E
|
a21
项
式
an1
a12
a22 l
an2
a1n a2n 0
ann l
特征方程 特征多项式
| A−lE | = 0 | A−lE |
二、基本性质
在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值（重根按重数计 算）．
0
1
0
4 1 4 0 0 0
解方程组 (A + E) x = 0．
1
解得基础解系
p1
0
．
k
p1（k
≠
0）就是对应的特征向量．
1
2 1 1
例：求矩阵
A
0
2
0
的特征值和特征向量．
4 1 3
解（续）：当 l2 = l3 = 2 时，因为
4 1 1 4 1 1
A 2E
0
0
0
是 p．
二、基本性质
在复数范围内 n 阶矩阵 A 有n 个特征值（重根按重数计 算）．
设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, …, ln，则 ✓ l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann ✓ l1 l2 … ln = |A| 若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程组的基础解系
设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, …, ln，则 ✓ l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann ✓ l1 l2 … ln = |A|
例：求矩阵
A
3 1
1
3
的特征值和特征向量．
解：A 的特征多项式为
3l | A l E |
1 (3 l )2 1 8 6l l 2 (4 l )(2 l)
1 3 l
所以 A 的特征值为 l1 = 2，l2 = 4 ． 当 l1 = 2 时， 对应的特征向量应满足
32
1
1 32
x1 x2
0 0
，即
1
1
1 1
x1 x2
0 0
1
解得基础解系
p1
1
．
k
p1（k
≠
0）就是对应的特征向量．
例：求矩阵
A
3 1
1Hale Waihona Puke 就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大无关组．
例：设 l 是方阵 A 的特征值，证明 (1) l2 是 A2 的特征值； (2) 当 A 可逆时，1/l 是 A−1 的特征值．
结论：若非零向量 p 是 A 对应于特征值 l 的特征向量，则 l2 是 A2 的特征值，对应的特征向量也是 p ． lk 是 Ak 的特征值，对应的特征向量也是 p ． 当 A 可逆时，1/l 是 A−1 的特征值，对应的特征向量仍然
§2 方阵的特征值与特征向量
引言
纯量阵 lE 与任何同阶矩阵的乘法都满足交换律，即 (lEn)An = An (lEn) = lAn ．
矩阵乘法一般不满足交换律，即AB ≠ BA ． 数乘矩阵与矩阵乘法都是可交换的，即
l (AB) = (lA)B = A(lB)． Ax = l x ?
例：
r
~
0
0
0
4 1 1 0 0 0
解方程组 (A−2E) x = 0． 1
0
解得基础解系
p2
0
,
p3
1
．
4
1
k2 p2 + k3 p3 （k2 , k3 不同时为零）就是对应的特征向量．
二、基本性质
在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值（重根按重数计 算）．
设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, …, ln，则 ✓ l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann ✓ l1 l2 … ln = |A| 若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程组的基础解系
的特征值．
解： A* +3A−2E = |A| A−1 +3A−2E = −2A−1 +3A−2E = j (A)
其中|A| = 1×(−1) ×2 = −2 ．
设 l 是 A 的一个特征值， p 是对应的特征向量．令